Hur bygger man Fibonaccis talföljd?
För att bygga Fibonaccis talföljd skriver du 0 och 1, adderar sedan de två sista talen för att få nästa tal och upprepar det steget om och om igen. Varje nytt tal beror bara på de två före det, så följden kan fortsätta hur länge som helst. Talen du skriver på det här sättet kallas Fibonaccital.
Exempel
Bygg följden steg för steg. Börja med 0 och 1.
- 0 + 1 = 1
- 1 + 1 = 2
- 1 + 2 = 3
- 2 + 3 = 5
- 3 + 5 = 8
- 5 + 8 = 13
- 8 + 13 = 21
Varje nytt tal behöver bara de två sista. Det gör följden till en bra utmaning i huvudräkning för barn, eftersom talen växer snabbt men regeln aldrig ändras. Regeln är så enkel att ett litet barn förstår den, och ändå dyker samma tal upp i solrosor, kottar och det gyllene snittet.
Börjar följden med 0 eller 1?
Båda varianterna är vanliga. Många böcker börjar med 0, 1, 1, 2, 3, medan andra börjar med 1, 1, 2, 3. Talen som kommer efter är desamma i båda fallen. Matematiker skriver oftast regeln som Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂, med F₀ = 0 och F₁ = 1, vilket betyder ”varje tal är summan av de två föregående”.
Dolda mönster i följden
Följden har små mönster som barn tycker om att hitta. Vart tredje tal är jämnt (0, 2, 8, 34, 144, 610), och alla andra är udda. Vart femte tal är delbart med 5 (0, 5, 55, 610). Be ett barn kontrollera mönstren längre fram i följden. Det är ett roligt sätt att träna addition och upptäcka strukturer på samma gång.
Var kommer Fibonaccis talföljd ifrån?
Följden är uppkallad efter Leonardo från Pisa, känd som Fibonacci, en italiensk matematiker. Han beskrev den i sin bok Liber abaci, skriven år 1202, genom en uppgift om kaniner. Enligt Britannica är det den första rekursiva talföljden som är känd i Europa, vilket betyder att varje tal byggs av tidigare tal.
Exempel
Kaninuppgiften fungerar så här. Du börjar med ett nyfött kaninpar. Ett par behöver en månad för att bli vuxet, och från och med då får varje vuxet par ett nytt par varje månad. Inga kaniner försvinner. Räkna paren i början av varje månad.
- Månad 1: 1 par (nyfött)
- Månad 2: 1 par (nu vuxet)
- Månad 3: 2 par (de vuxna och deras första ungar)
- Månad 4: 3 par
- Månad 5: 5 par
- Månad 6: 8 par
Varje månads summa är förra månadens summa plus antalet vuxna par, och de vuxna är precis summan från två månader tidigare. Det är Fibonaccis regel. Riktiga kaniner beter sig förstås inte så prydligt. Uppgiften var ett sätt att beskriva mönstret, inte en studie av djur.
Hur hittar man nästa tal i Fibonaccis talföljd?
För att hitta nästa Fibonaccital adderar du de två sista talen i följden. Efter 21 och 34 kommer 21 + 34 = 55, och efter 34 och 55 kommer 89. För att hitta ett tal långt fram i följden kan du fortsätta skriva listan, eller använda Binets formel, som räknar ut vilket tal som helst direkt med hjälp av det gyllene snittet.
Exempel
Hitta det tionde Fibonaccitalet, om du räknar F₀ = 0 som början. Skriver du ut listan får du 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, så F₁₀ = 55.
Binets formel ger samma svar utan listan. Upphöj det gyllene snittet φ (ungefär 1,618) till 10 och dividera med √5. Det ger ungefär 122,99 : 2,236 ≈ 55,004, och avrundat till närmaste heltal blir det 55. För äldre elever är det en trevlig överraskning, eftersom ett tal byggt av kvadratrötter hamnar så nära ett heltal varje gång.
Att se regeln bakom en rad tal är en färdighet som går långt utöver Fibonacci. Talföljdsspelet gör det till en strid, där varje attack är en talföljd och du måste hitta talet som saknas. Det är ett snabbt sätt att träna på att se mönster som ”addera de två sista” utan att skriva något.
Hur hänger Fibonaccis talföljd ihop med det gyllene snittet?
Om du dividerar varje Fibonaccital med talet före, kommer svaren närmare och närmare det gyllene snittet, ungefär 1,618. Till exempel är 8 : 5 = 1,6, 13 : 8 = 1,625 och 89 : 55 ≈ 1,618. Själva det gyllene snittet är (1 + √5) : 2, ett tal vars decimaler aldrig tar slut och aldrig upprepas.
Exempel
Se hur kvoterna stabiliseras när talen växer.
- 3 : 2 = 1,5
- 5 : 3 ≈ 1,667
- 8 : 5 = 1,6
- 13 : 8 = 1,625
- 21 : 13 ≈ 1,615
- 34 : 21 ≈ 1,619
- 55 : 34 ≈ 1,618
Svaren hamnar omväxlande över och under 1,618 och kommer närmare för varje gång. Britannica skriver att sambandet beskrevs av matematikern Robert Simson år 1753.
Vad är Fibonaccispiralen?
Rita en kvadrat med sidan 1, sedan en till kvadrat med sidan 1 bredvid, sedan en kvadrat med sidan 2, sedan 3, sedan 5, sedan 8, där varje kvadrat läggs mot den rektangel du har hittills. Förbind motsatta hörn i varje kvadrat med en kvartscirkel, så får du Fibonaccispiralen. Den ligger mycket nära den gyllene spiralen, som växer med det gyllene snittet för varje kvarts varv.
Var finns Fibonaccis talföljd i naturen?
Fibonaccital dyker ofta upp i växter. Fröna i en solros bildar två uppsättningar spiraler, och antalet spiraler åt varje håll är oftast två närliggande Fibonaccital, till exempel 34 och 55 eller 55 och 89. Kottar har liknande spiraler, och många blommor har 3, 5, 8, 13 eller 21 kronblad.
Exempel
Ta en kotte eller en bild på en solros och räkna spiralerna som böjer sig medurs. Räkna sedan spiralerna som böjer sig åt andra hållet. Sidorna om Fibonacci i naturen av dr Ron Knott vid University of Surrey visar solrosor med 55 spiraler åt ena hållet och 34 åt det andra, och större solrosor med 89 och 55.
Samma sidor listar blommor efter antal kronblad, till exempel riddarsporre med 8, stånds och vissa prästkragar med 13, och astrar med 21. Att räkna tillsammans är en härlig praktisk aktivitet, och den visar barn att tal beskriver verkliga saker omkring dem.
Varför växer växter i Fibonaccispiraler?
Många växter placerar varje nytt frö eller blad med ungefär samma vridningsvinkel från det förra, cirka 137,5°. Den vinkeln, som hänger ihop med det gyllene snittet, packar fröna tätt utan onödiga mellanrum, och spiralerna du kan räkna är en bieffekt av den jämna vridningen. Andra delen av Ron Knotts guide visar varför vinkeln fungerar så bra.
Finns Fibonaccis talföljd verkligen överallt i naturen?
Nej. Fibonaccital är vanliga i växter, men de är ingen naturlag. Ron Knotts sidor från Surrey påpekar att du inte alltid hittar Fibonaccital i kronblad eller fröställningar, och vissa blommor, som fuchsior, har 4 kronblad. Många påståenden på nätet, särskilt om snäckskal, ansikten och kända byggnader, drar bevisen för långt.
Exempel
Pärlbåtens skal visas ofta med en gyllene spiral ritad ovanpå. Skalet växer visserligen i en logaritmisk spiral, en kurva som behåller samma form när den blir större. Men Knotts sidor påpekar att tillväxtfaktorn varierar och kanske inte är det gyllene snittet, och att det är fel att kalla den en gyllene spiral. Pärlbåten är alltså en vacker spiral, men inget bevis för Fibonacci.
Det här är en nyttig lärdom för äldre barn också. Ett mönster som dyker upp ofta är värt att lägga märke till, men den ärliga frågan är alltid ”hur ofta, och hur nära?”. Att räkna spiralerna på en riktig kotte är ett bättre test än någon bild på nätet.
Två starttal och en regel bygger hela följden
Varje Fibonaccital kommer från samma steg, att addera de två talen före. Här är de första 21 talen, med start från F₀ = 0, så att du kan kontrollera din egen lista.
- 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34
- 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987
- 1 597, 2 584, 4 181, 6 765
Om ett barn tappar tråden, gå tillbaka till de två sista talen det är säkert på och addera igen. Regeln ändras aldrig, så ett fel är alltid lätt att rätta till.
Träna dessa härnäst