Om det låter fel är du i gott sällskap. Tusentals människor, en del av dem disputerade, vägrade först att tro på det. Här nedan kommer gåtan och sedan några olika sätt att se varför det lönar sig att byta. Något av dem får det förmodligen att klicka.
Hur fungerar Monty Hall-problemet?
Du är med i ett tv-program och står framför tre stängda dörrar. Bakom en av dem står en bil, bakom de andra två står en get. Du väljer en dörr. Programledaren, som vet var bilen är, öppnar en av de två andra dörrarna och visar en get. Sedan frågar han om du vill stanna kvar vid din dörr eller byta till den sista stängda.
De flesta rycker på axlarna och säger att det inte spelar någon roll. Två dörrar är kvar, så det måste vara 50/50. Det är det inte. Byter du vinner du bilen 2 gånger av 3.
Gåtan har fått sitt namn efter Monty Hall, som ledde tv-programmet Let's Make a Deal. Det berömda svaret bygger på tre regler.
- Programledaren öppnar alltid en dörr som du inte har valt.
- Programledaren visar alltid en get, aldrig bilen.
- Programledaren erbjuder dig alltid att byta.
Varför vinner man 2 gånger av 3 genom att byta?
Ditt första val är fel 2 gånger av 3. Varje gång det är fel har programledaren inget val. Han måste öppna den andra dörren med en get, och då står bilen bakom den dörr du kan byta till. Du vinner alltså på att byta varje gång din första gissning var fel och förlorar bara när du råkade välja bilen direkt.
Exempel
Säg att du alltid väljer dörr 1. Bilen kan bara stå på tre ställen, och varje ställe är lika sannolikt.
- Bilen står bakom dörr 1. Programledaren öppnar dörr 2 eller dörr 3. Stannar du vinner du, byter du förlorar du.
- Bilen står bakom dörr 2. Programledaren måste öppna dörr 3. Stannar du förlorar du, byter du vinner du.
- Bilen står bakom dörr 3. Programledaren måste öppna dörr 2. Stannar du förlorar du, byter du vinner du.
Räkna efter. Att stanna vinner en gång, att byta vinner två gånger. Det fungerar likadant oavsett vilken dörr du börjar med.
Här är ett annat sätt att se det. Din dörr börjar med chansen 1 på 3, och de två andra dörrarna delar på de återstående 2 på 3. När programledaren öppnar en av dem flyttar sig inte bilen. Han visar bara vilken av de två dörrarna som nu har hela chansen 2 på 3.
Varför är det inte 50/50 när två dörrar är kvar?
Därför att programledaren inte öppnar en dörr på måfå. Han vet var bilen är och undviker den alltid, så dörren han låter vara stängd är vald med den kunskapen. Din egen dörr valdes i blindo och behåller sin chans på 1 på 3. Den andra stängda dörren får resten, 2 på 3.
En artikel om gåtan i Scientific American förklarar misstaget med något som psykologer kallar equiprobability bias. Vi tenderar att anta att de utfall vi har framför oss är lika sannolika. Två dörrar ser ut som krona eller klave, så vi slutar tänka.
Den andra fällan är att programledarens drag inte verkar säga något. I själva verket säger det en hel del. Varje gång din dörr döljer en get är programledaren tvungen att låta bildörren vara stängd. Det tvingade valet är den dolda informationen.
Blir det lättare med 100 dörrar?
För många blir det det. Tänk dig 100 dörrar och en bil. Du väljer en, och programledaren, som vet var bilen är, öppnar 98 av de andra och visar 98 getter. En dörr förblir stängd. Din dörr hade chansen 1 på 100. Dörren som programledaren noga hoppade över har nu de övriga 99 på 100.
Exempel
Du väljer dörr 37. Programledaren öppnar alla dörrar från 1 till 100 utom 37 och 82. Tror du verkligen att ditt slumpmässiga första val var det lyckliga? Det är mycket troligare att han hoppade över dörr 82 för att bilen står bakom den.
Marilyn vos Savant, som gjorde gåtan berömd, använde en ännu större version med en miljon dörrar. Tanken är densamma med tre dörrar, den är bara svårare att känna. Om 100 dörrar inte hjälper dig kan du i stället tänka på att ha fel. Ditt första val är fel 2 gånger av 3, och när du byter blir varje felaktigt val en vinst.
Vad händer om programledaren inte vet var bilen är?
Då hjälper det inte längre att byta. Om programledaren öppnar en dörr på måfå och det råkar stå en get bakom den, vinner du hälften av gångerna oavsett om du stannar eller byter. Svaret 2 på 3 gäller bara när programledaren vet var bilen är, alltid öppnar en dörr med en get och alltid erbjuder dig att byta.
Exempel
Du väljer dörr 1, och en programledare som inte vet något öppnar dörr 2 eller dörr 3 på måfå. Ibland visar han bilen av misstag, och de omgångarna är förstörda. I de omgångar där en get dyker upp står bilen bakom din dörr precis hälften av gångerna.
Den riktiga Monty Hall pekade själv på samma hake. I en artikel i New York Times från 1991 varnade han för att en deltagare ska akta sig om programledaren själv kan välja om han alls ska erbjuda ett byte. I ett riktigt program kan själva erbjudandet vara en fälla.
Hur kan du testa Monty Hall-problemet själv?
Du behöver bara tre spelkort och en kompis. Ett ess är bilen, två andra kort är getterna. Kompisen blandar dem med baksidan upp, du pekar på ett, och kompisen vänder upp en get som du inte valde. Spela 30 omgångar och byt varje gång. Du bör vinna ungefär 20 av dem.
Spela sedan 30 omgångar till och stanna varje gång. Den här gången bör du vinna ungefär 10. Med så få omgångar svajar siffrorna lite, men skillnaden syns snabbt.
Till och med berömda matematiker behövde se det med egna ögon. Scientific American nämner att den otroligt produktive matematikern Paul Erdős också gick på gåtan. Så om det fortfarande känns fel, spela med korten.
Det gåtan egentligen tränar är att räkna alla möjliga fall rättvist. Sannolikhetsspelet ställer samma slags fråga i varje omgång. I striden nedan ska du till exempel räkna på hur många sätt 4 mynt kan visa exakt 1 krona. Svaret är 4, eftersom kronan kan ligga på vilket som helst av de fyra mynten.
Varför har så många fel om Monty Hall-problemet?
Två stängda dörrar ser helt enkelt ut som ett val på 50/50, och det är lätt att missa att programledaren vet något som du inte vet. Ånger spelar nog också in. Det känns värre att förlora för att du bytte bort bilen än att förlora för att du stannade, så många håller fast vid sin första dörr även när de förstår matematiken.
Gåtan dök upp första gången 1975, i brev från statistikern Steve Selvin. Den blev berömd 1990, när Marilyn vos Savant besvarade den i sin spalt Ask Marilyn i tidningen Parade och sa åt läsarna att byta. Enligt Scientific American fick hon uppskattningsvis 10 000 brev där folk skrev att hon hade fel. New York Times lade till att nästan 1 000 av dem var undertecknade av disputerade personer.
Hon hade förstås rätt. Breven är i dag en del av historien, och de är den bästa påminnelsen om att en säker magkänsla om slump kan vara helt fel.
Byt, så länge programledaren vet och alltid öppnar en dörr med en get
Med de vanliga reglerna fördubblar du din chans att vinna genom att byta, från 1 på 3 till 2 på 3. Ändrar du reglerna kan svaret också ändras, till exempel med en programledare som öppnar dörrar på måfå eller bara erbjuder ett byte när det passar honom. Det är lärdomen som gäller långt utanför tv-studion. Innan du litar på en sannolikhet, fråga dig hur informationen framför dig har valts ut.
Träna dessa härnäst