Hur använder man prioriteringsreglerna steg för steg?
Med prioriteringsreglerna (på engelska PEMDAS) räknar du dig igenom en uträkning i fyra omgångar. Först det som står inom parentes, sedan potenser, sedan multiplikation och division från vänster till höger och allra sist addition och subtraktion från vänster till höger. Skriv om hela raden efter varje omgång, så är det lätt att hitta ett fel i efterhand.
Exempel
Räkna ut 3 + 4 · (6 − 2)² / 8.
- Parenteser: 6 − 2 = 4, kvar blir 3 + 4 · 4² / 8
- Potenser: 4² = 16, kvar blir 3 + 4 · 16 / 8
- Multiplikation och division från vänster till höger: 4 · 16 = 64, sedan 64 / 8 = 8, kvar blir 3 + 8
- Addition och subtraktion: 3 + 8 = 11
Det känns långsamt att skriva av raden igen. Ändå är det det bästa skyddet mot fel. Ett vanligt misstag är att lägga ihop 3 och 4 direkt i början. Då får man 7, och svaret blir fel.
Kommer multiplikation före division i PEMDAS?
Nej. Multiplikation och division ligger på samma nivå, och det gör addition och subtraktion också. Inom varje par går du helt enkelt från vänster till höger. PEMDAS har M före D bara för att ett ord måste ha sina bokstäver i någon ordning. Att läsa bokstäverna som en fast rangordning är ett av de vanligaste felen med prioriteringsreglerna.
Exempel
Räkna ut 24 / 4 · 2.
- Divisionen kommer först från vänster: 24 / 4 = 6
- Sedan multiplikationen: 6 · 2 = 12
Multiplicerar du först får du 24 / 8 = 3, och det är fel. Addition och subtraktion fungerar på samma sätt. I 10 − 4 + 3 ger vänster till höger 6 + 3 = 9. Adderar du först får du 10 − 7 = 3, och det är också fel.
Den kostnadsfria läroboken OpenStax Prealgebra 2e säger det rakt ut. Multiplikation och division görs i ordning från vänster till höger, eftersom de har samma prioritet. Många vuxna minns inte den detaljen från skolan, och den ligger bakom många av bråken om mattegåtor på nätet.
Vad är skillnaden mellan PEMDAS, BODMAS och BIDMAS?
Det finns ingen skillnad i reglerna, bara i orden. PEMDAS börjar med P för parentheses (parenteser), medan BODMAS och BIDMAS börjar med B för brackets. E (exponents), O (orders) och I (indices) betyder alla potenser och rötter. Alla versioner sätter multiplikation och division på en nivå och addition och subtraktion på nästa.
Exempel
Räkna ut 2 + 3 · 4² med varje version i tankarna.
- Potenser först: 4² = 16
- Sedan multiplikation: 3 · 16 = 48
- Sedan addition: 2 + 48 = 50
BODMAS råkar skriva D före M, och PEMDAS skriver M före D. Båda ger 50 här, och de två versionerna ger samma svar i alla uträkningar. Om bokstävernas ordning fortsätter att ställa till det kan det hjälpa att skriva regeln som fyra nivåer i stället för sex bokstäver: parenteser, potenser, multiplikation eller division, addition eller subtraktion.
Varför behöver vi prioriteringsregler?
Utan en gemensam ordning skulle en rad som 2 + 3 · 4 kunna betyda två olika saker. Adderar du först får du 20. Multiplicerar du först får du 14. Överenskommelsen säger att multiplikation kommer först, så svaret är 14. Hela poängen med regeln är helt enkelt att alla som läser samma uträkning får samma resultat.
Exempel
En kompis köper 3 skrivhäften för 4 mynt styck och en penna för 2 mynt. Totalt blir det 2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14 mynt. Att addera först skulle ge 5 · 4 = 20, som om pennan hade köpts fyra gånger.
Överenskommelsen är mycket äldre än förkortningarna. Enligt MacTutor, arkivet för matematikens historia vid University of St Andrews, var multiplikation före addition och subtraktion redan regeln i de tidigaste böckerna om symbolisk algebra på 1500-talet. Samma sida citerar en historiker som i slutet av 1920-talet skrev att man fortfarande inte var överens om huruvida ÷ eller × skulle komma först.
Vad är svaret på 8 ÷ 2(2 + 2)?
Om du följer prioriteringsreglerna som de lärs ut i skolan ger 8 ÷ 2(2 + 2), eller 8 / 2(2 + 2) som det oftast skrivs i svenska läroböcker, svaret 16. Parentesen kommer först och ger 4. Tvåan som står direkt framför parentesen betyder multiplikation, och division och multiplikation görs från vänster till höger, så 8 / 2 · 4 = 4 · 4 = 16.
Exempel
Här är de två tolkningarna sida vid sida.
- Från vänster till höger: 8 / 2 · 4 = 4 · 4 = 16
- Med 2(2 + 2) som ett block: 8 / (2 · 4) = 8 / 8 = 1
Det verkliga problemet är hur uträkningen är skriven. En text på matematikinstitutionens webbplats vid Berkeley påpekar att det inte finns någon fast konvention för sådana uttryck, eftersom ett tal som skrivs tätt intill en parentes ger intrycket att de hör ihop. Matematiker undviker hela diskussionen med extra parenteser: (8 / 2)(2 + 2) eller 8 / (2(2 + 2)).
Ett bråkstreck grupperar på samma sätt. Om 6 + 4 står ovanför ett bråkstreck och 2 under det, adderar du först, så svaret blir 10 / 2 = 5.
Vilka är de vanligaste felen med prioriteringsreglerna?
De flesta fel kommer av att man läser förkortningen som sex separata steg i fast ordning. Då multiplicerar man före division eller adderar före subtraktion. Andra misstag är att glömma att ett bråkstreck grupperar det som står ovanför och under det, och att kvadrera ett negativt tal utan dess parentes. Skriver du om raden efter varje steg fångar du de flesta av dem.
Misstagen som hela tiden kommer tillbaka
- Att multiplicera före division. I 24 / 4 · 2 går du från vänster till höger: 6 · 2 = 12.
- Att addera före subtraktion. I 10 − 4 + 3 går du från vänster till höger: 6 + 3 = 9.
- Att kvadrera ett negativt tal. −3² betyder −(3²) = −9, men (−3)² = 9. Parentesen avgör om minustecknet kvadreras.
- Att börja med den yttre parentesen. I 2 · [5 + (3 − 1)²] börjar du innerst: 3 − 1 = 2, sedan 2² = 4, sedan 5 + 4 = 9 och till sist 2 · 9 = 18.
- Att strunta i bråkstrecket. Räkna först ut täljaren och nämnaren var för sig, och dividera sedan.
Hur kan man öva på prioriteringsreglerna?
Korta uträkningar, ofta, är det bästa sättet att öva på den här regeln. I spelet om prioriteringsregler är varje attack en blandad uträkning som (5 + 3) · 7. Du räknar ut parentesen, multiplicerar och skriver 56 för att få in attacken.
Potenser bromsar många, särskilt med negativa tal. Om det är där du kör fast kan du prova potensspelet först. Efter det är längre uträkningar med potenser lättare att ta sig igenom.
Vad regeln heter beror på var man lär sig den. I USA heter den PEMDAS och i Storbritannien BODMAS eller BIDMAS. Andra språk har sina egna korta uttryck, men regeln bakom är densamma överallt. På svenska kallar vi den prioriteringsregler.
En gemensam regel gör att alla får samma svar
Prioriteringsreglerna är en överenskommelse, inte en naturlag, och de fungerar bara för att alla använder samma regler. Parenteser först, sedan potenser, sedan multiplikation och division från vänster till höger, sedan addition och subtraktion från vänster till höger. Om en uträkning fortfarande kan läsas på två sätt, sätt ut parenteser, så är diskussionen över.
Träna dessa härnäst