Enpunktsformen förklarad, och när den passar bättre än y = kx + m

Hur skriver du en ekvation på enpunktsformen?

Sätt in lutningen i stället för k och koordinaterna för en punkt du känner till i stället för x₁ och y₁. Låt x och y stå kvar som bokstäver. De står för alla andra punkter på linjen. Använd enpunktsformen när du känner till en punkt på linjen och dess lutning.

Exempel

Skriv ekvationen för linjen genom (2, 3) med lutningen 2.

1. Punkten ger x₁ = 2 och y₁ = 3.
2. Lutningen ger k = 2.
3. Sätt in: y − 3 = 2(x − 2).

Klart, och det finns inget att förenkla. Om du vill vara säker kan du testa en punkt till. Går du ett steg åt höger och två steg upp från (2, 3) hamnar du i (3, 5). Sätt in de talen: 5 − 3 = 2 i vänsterledet, 2(3 − 2) = 2 i högerledet. Det stämmer.

Lägg märke till att (2, 3) står direkt i ekvationen. När du ritar linjen kan du sätta pennan på den punkten först och utgå därifrån.

Hur får du enpunktsformen från två punkter?

Räkna först ut lutningen med k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Ta sedan någon av de två punkterna och sätt in den i y − y₁ = k(x − x₁) tillsammans med lutningen. Det spelar ingen roll vilken punkt du väljer. Ekvationerna ser olika ut, men efter förenkling beskriver båda samma linje.

Exempel

Bestäm linjen genom (1, −2) och (4, 7).

1. Lutning: k = (7 − (−2)) / (4 − 1) = 9 / 3 = 3
2. Med (1, −2): y − (−2) = 3(x − 1), alltså y + 2 = 3(x − 1)
3. Med (4, 7): y − 7 = 3(x − 4)

Multiplicera ut vilken som helst av dem så får du y = 3x − 5. Det är bra att veta innan du rättar läxan mot facit. En elev som använde (4, 7) och ett facit som använde (1, −2) visar två olika ekvationer, och ingen av dem är fel.

Varför ändras tecknen när punkten är negativ?

Formeln drar bort punktens koordinater. Om en koordinat är negativ drar du alltså bort ett negativt tal, och det blir ett plus. Punkten (−4, −1) ger därför y + 1 och x + 4. Det enklaste sättet att undvika att tecknet slår åt fel håll är att skriva ut parenteserna helt innan du förenklar.

Exempel

Skriv linjen genom (−4, −1) med lutningen 1/2.

1. Med parenteser: y − (−1) = 1/2(x − (−4))
2. Förenklat: y + 1 = 1/2(x + 4)

Det fungerar åt andra hållet också. Om du har y + 5 = −2(x − 6) är punkten på linjen (6, −5), inte (6, 5). Vilket tecken du än ser i ekvationen har koordinaten det motsatta.

Hur gör du om enpunktsformen till k-form?

Multiplicera ut parentesen och flytta över talet i vänsterledet så att y står ensamt. Då har du k-formen, y = kx + m. Lutningen ändras inte på vägen, och talet som står ensamt till sist är m-värdet, där linjen skär y-axeln.

Exempel

Gör om y − 3 = 2(x − 2).

1. Multiplicera ut parentesen: y − 3 = 2x − 4
2. Addera 3 i båda leden: y = 2x − 1

Lutningen är fortfarande 2, och linjen skär y-axeln i (0, −1). Den punkten syns i grafen ovan. Åt andra hållet går det lika snabbt. Ta y = −3x + 5, välj x = 1, så får du y = 2. Punkten (1, 2) och lutningen −3 ger y − 2 = −3(x − 1).

Vilken form ska du använda?

Använd den form som passar det du redan vet.

• Enpunktsformen, när du har en punkt och en lutning, eller två punkter.
• k-formen, när du vill läsa av lutningen och m-värdet eller rita grafen.
• Allmän form, Ax + By = C, när du behöver punkterna där linjen skär båda axlarna.

Många lärare vill ha svaret på formen y = kx + m. Inget hindrar dig från att börja med enpunktsformen och göra om den på slutet.

Var kommer enpunktsformen ifrån?

Det är formeln för lutningen, omskriven. Välj en fast punkt (x₁, y₁) på en linje och en annan godtycklig punkt (x, y) på samma linje. Lutningen mellan dem är k = (y − y₁) / (x − x₁). Multiplicera båda leden med (x − x₁) så har du y − y₁ = k(x − x₁).

Exempel

Håll dig till linjen genom (2, 3) med lutningen 2, och testa punkten (5, 9). Lutningen från (2, 3) till (5, 9) är (9 − 3) / (5 − 2) = 6 / 3 = 2. Samma lutning, alltså ligger (5, 9) på linjen. Det är precis vad enpunktsformen säger: 9 − 3 = 2(5 − 2).

Den fria läroboken OpenStax Elementary Algebra 2e härleder formeln på samma sätt. Sedan använder den formeln för linjer genom två punkter och för parallella och vinkelräta linjer, och där tar nästa avsnitt vid.

Hur använder du enpunktsformen för parallella och vinkelräta linjer?

En parallell linje har samma lutning som den ursprungliga linjen. En vinkelrät linje har den negativa inversen, så du vänder på bråket och byter tecken. Lutningen 2 blir −1/2, och lutningen −3/4 blir 4/3. När du har den nya lutningen sätter du in den i enpunktsformen tillsammans med den punkt du fått.

Exempel

Bestäm linjen genom (2, 3) som är vinkelrät mot y = 2x − 1.

1. Den ursprungliga lutningen är 2, eller 2/1.
2. Vänd på bråket och byt tecken: −1/2.
3. Enpunktsformen: y − 3 = −1/2(x − 2)
4. k-formen: y = −1/2x + 4

Snabb kontroll med x = 2: −1/2 · 2 + 4 = 3, vilket är y-värdet för vår punkt. För en parallell linje genom (6, 0) behåller du lutningen 2: y − 0 = 2(x − 6), alltså y = 2x − 12.

Kan alla linjer skrivas på enpunktsformen?

Nästan alla. Undantaget är en lodrät linje. Alla dess punkter har samma x-värde, så förändringen i x är 0, och en lutning skulle innebära division med noll. En lodrät linje genom (3, 1) skriver du i stället som x = 3. Vågräta linjer ställer inte till några problem alls, eftersom deras lutning helt enkelt är 0.

Exempel

Ta den vågräta linjen genom (1, 4). På enpunktsformen blir det y − 4 = 0(x − 1). Noll gånger vad som helst är noll, så ekvationen krymper till y − 4 = 0, alltså y = 4.

Hur kan du öva på enpunktsformen?

Man blir snabb på linjer genom att se många av dem. I spelet om linjära funktioner slåss du med frågor om linjer. En omgång kan fråga efter lutningen från (−2, 2) till (0, −6), och rätt svar gör att ditt anfall träffar. Den blir (−6 − 2) / (0 − (−2)) = −8 / 2 = −4.

Omskrivningen är en liten ekvation varje gång. Om det är där det går trögt hjälper några omgångar i ekvationsspelet. Du använder samma grepp varje gång du skriver om en formel.

Bokstaven för lutningen skiljer sig också mellan länder. I Sverige skriver vi k, och m står i stället för m-värdet, medan engelska böcker använder m för lutningen och vissa länder använder a. Oavsett bokstav är talet framför parentesen lutningen, och talen inne i parentesen kommer från en punkt på linjen.

En punkt och en lutning bestämmer linjen

En enda punkt och en lutning bestämmer en rät linje helt, och enpunktsformen skriver ner det direkt. Sätt in noggrant, behåll parenteserna tills tecknen är klara, och testa resultatet med en punkt till. Därefter är det bara två korta steg till y = kx + m.