Räta linjens ekvation (y = kx + m) förklarad steg för steg

Varför formen y = kx + m är så användbar

När ekvationen står på den här formen kan du läsa av lutningen och startpunkten direkt och skissa linjen på några sekunder. Här nedanför ser du hur du läser ekvationen, hur du tar fram den från två punkter eller från en annan form och vilka misstag som oftast ställer till det.

Hur tar man fram räta linjens ekvation?

För att ta fram ekvationen y = kx + m behöver du två saker, k-värdet och m-värdet. k-värdet räknar du ut från två punkter med k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Sedan sätter du in en punkt och k-värdet i y = kx + m och löser ut m. Skriv till sist ekvationen med dina tal i stället för k och m.

Exempel

Bestäm linjen genom punkterna (1, 5) och (3, 9).

1. k-värde: k = (9 − 5)/(3 − 1) = 4/2 = 2
2. Sätt in punkten (1, 5): 5 = 2 · 1 + m, alltså m = 3
3. Ekvation: y = 2x + 3
4. Kontrollera med den andra punkten (3, 9): 2 · 3 + 3 = 9. Det stämmer.

Den sista kontrollen tar tio sekunder och fångar de flesta fel, så det lönar sig att göra den till en vana.

Vad händer om k-värdet är ett bråk?

Bråk är helt normala här, och ett bråk betyder inte att du har räknat fel. Ta punkterna (4, 0) och (−2, 4). k-värdet är (4 − 0)/(−2 − 4) = 4/(−6) = −2/3. Sedan ger 0 = −2/3 · 4 + m att m = 8/3, så y = −2/3x + 8/3. Kontrollera med (−2, 4): 4/3 + 8/3 = 12/3 = 4.

Låt k-värdet stå kvar som bråk i stället för ett avrundat decimaltal, eftersom bråket är exakt och kontrollen går jämnt ut. Om det är bråken som saktar ner dig gör några rundor i bråkspelet det mycket snabbare att förlänga och förkorta bråk.

I rundan ovan är 7/10 = 70/100, eftersom både täljare och nämnare multipliceras med 10.

Vad betyder k och m i y = kx + m?

I y = kx + m är k linjens lutning och m det värde där linjen skär y-axeln. k-värdet talar om hur mycket y ändras när x ökar med 1, alltså hur mycket linjen stiger för varje steg åt höger. m-värdet är y-värdet när x = 0, det vill säga punkten (0, m) där linjen skär y-axeln.

Exempel

I y = 3x − 2 är k-värdet 3 och m-värdet −2. Linjen skär y-axeln i (0, −2), och varje steg på 1 åt höger tar den 3 uppåt. I y = −2x + 4 är k-värdet −2, så linjen går 2 nedåt för varje steg åt höger, och den skär y-axeln i (0, 4).

Läroboken OpenStax College Algebra 2e (på engelska) beskriver lutningen som ”rise over run”, alltså hur mycket linjen stiger delat med hur långt den går i sidled, och skärningen med y-axeln som punkten där indatavärdet är noll. Med positivt k-värde stiger linjen från vänster till höger, med negativt sjunker den, och ju större talet är (om man bortser från tecknet), desto brantare är linjen.

Ett vardagligt sätt att tänka på k och m

Ett stearinljus är 20 cm högt och brinner ner 2 cm i timmen. Höjden efter t timmar är h = −2t + 20. Talet 20 är startvärdet (m), och −2 är förändringen per timme (k). Efter 3 timmar är ljuset 14 cm högt, och efter 10 timmar är det slut. Många elever tycker att det är lättare att se m som startvärdet och k som förändringen per steg.

Hur ritar man grafen till y = kx + m?

För att rita y = kx + m börjar du i punkten (0, m) på y-axeln. Därifrån använder du k-värdet som förändringen i y delat med förändringen i x. Gå åt höger lika mycket som förändringen i x och uppåt lika mycket som förändringen i y (eller nedåt om k-värdet är negativt), så hittar du en andra punkt. Dra en rät linje genom de två punkterna och förläng den.

Exempel

Rita grafen till y = 2x + 1.

1. Markera punkten (0, 1) på y-axeln.
2. k-värdet 2 betyder 2/1, så gå 1 åt höger och 2 uppåt. Då hamnar du i (1, 3).
3. Dra linjen genom (0, 1) och (1, 3).

Med ett k-värde som −2/3 går du 3 åt höger och 2 nedåt. När du använder nämnaren som steget i sidled hamnar du alltid i rutnätets skärningspunkter, och det blir lättare att rita linjen noggrant.

Hur skriver man om en ekvation på allmän form till k-form?

För att skriva om en ekvation som 2x + 3y = 6 till formen y = kx + m löser du ut y. Flytta x-termen till andra sidan och dela sedan varje term med talet framför y. Talet framför x är då k-värdet, och talet som står ensamt är m-värdet.

Exempel

Skriv om 2x + 3y = 6.

1. Subtrahera 2x från båda leden: 3y = −2x + 6
2. Dela varje term med 3: y = −2/3x + 2

k-värdet är −2/3 och m-värdet är 2. Ett vanligt slarvfel är att läsa av k-värdet som 2 direkt från 2x + 3y = 6. Talen betyder k och m först när y står ensamt i ena ledet.

Enpunktsformeln eller y = kx + m?

Enpunktsformeln, y − y₁ = k(x − x₁), är praktisk när du känner till en punkt och k-värdet, eftersom du kan skriva upp den direkt. För punkten (1, 5) och k = 2 får du y − 5 = 2(x − 1). Multiplicera in och förenkla, y = 2x − 2 + 5, så är du tillbaka vid y = 2x + 3. Båda formerna beskriver samma linje.

Vilka linjer kan inte skrivas som y = kx + m?

Lodräta linjer kan inte skrivas som y = kx + m. Alla punkter på en lodrät linje har samma x, så förändringen i x är 0, och k-värdet skulle kräva division med noll. Därför är k-värdet för en lodrät linje inte definierat. Den lodräta linjen genom x = 3 skrivs helt enkelt x = 3.

Exempel

Punkterna (3, 1) och (3, 6) ligger på en lodrät linje. k-värdet skulle bli (6 − 1)/(3 − 3) = 5/0, vilket saknar svar. Linjen är alltså x = 3. En lodrät linje skär heller aldrig y-axeln, om den inte är y-axeln själv, så det finns inget m-värde att sätta in.

Vågräta linjer är inga problem. Punkterna (−1, 4) och (5, 4) ger k-värdet 0/6 = 0, så linjen är y = 0x + 4, alltså bara y = 4.

Vilka är de vanligaste misstagen med y = kx + m?

De flesta misstagen med y = kx + m är små slarvfel snarare än missförstånd. Elever byter plats på koordinaterna i en punkt, subtraherar i olika ordning i täljare och nämnare i formeln för k eller läser av k och m innan y står ensamt. Om du kontrollerar den färdiga ekvationen med en av de ursprungliga punkterna fångar du nästan alla.

Snabba lösningar på varje slarvfel

Här är slarvfelen som dyker upp gång på gång, med en snabb lösning på vart och ett.

• Att blanda ihop x och y i en punkt. (5, 7) betyder x = 5 och y = 7. Tänk ”först i sidled, sedan uppåt” när du läser.
• Att byta ordning i subtraktionen. Räknar du 9 − 5 i täljaren ska du räkna 3 − 1 i nämnaren, med samma punkt först båda gångerna.
• Att blanda ihop k och m. I y = 4 + 3x är k-värdet fortfarande 3, eftersom k är talet som står framför x, var det än står.
• Att tappa ett minustecken. I y = −x + 2 är k-värdet −1, inte 1.
• Att tro att ett bråk måste vara fel. k-värden som 3/4 eller −2/3 är lika giltiga som 2.

Öva på y = kx + m tills det sitter

Man blir snabb på att läsa av linjer genom att se många av dem. I spelet om linjära funktioner är varje attack en fråga om en linje, så du får mycket träning i att se k- och m-värden utan att det känns som läxor.

Att lösa ut m är också bara en liten ekvation i ett steg. Om det är där du fastnar är ekvationsspelet en bra uppvärmning.

Bokstäverna skiljer sig mellan länder. I svensk skola skriver vi y = kx + m, medan man i engelsktalande länder skriver samma sak som y = mx + b. Där betyder m alltså lutningen, inte skärningen med y-axeln, så se upp om du läser engelska förklaringar. I Norge och Polen skriver man y = ax + b, i Ryssland y = kx + b och i Italien y = mx + q. Vilka bokstäver som än används är talet framför x alltid lutningen, och talet som står ensamt visar var linjen skär y-axeln.

Två tal beskriver varje linje som inte är lodrät

Varje linje som inte är lodrät kan skrivas som y = kx + m, så två tal räcker för att beskriva den helt. k-värdet säger hur brant den är och åt vilket håll den lutar, och m-värdet säger var den börjar. Hitta de två talen, kontrollera ekvationen med en punkt, så löser sig resten.