Standardavvikelse förklarad enkelt, med ett exempel steg för steg

Hur räknar man ut standardavvikelse steg för steg?

För att räkna ut standardavvikelsen tar du fram medelvärdet, drar bort det från varje värde, kvadrerar varje differens och adderar kvadraterna. Dividera summan med antalet värden, så får du variansen. Till sist drar du kvadratroten ur variansen. Resultatet är standardavvikelsen, i samma enhet som de ursprungliga data.

Exempel

Två lag med 8 spelare svarar på samma frågesport med 10 frågor. Ta lag B, som fick poängen 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 och 9.

1. Ta fram medelvärdet. 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40, och 40 / 8 = 5
2. Dra bort medelvärdet från varje värde. Det ger −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4
3. Kvadrera varje differens. Det ger 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16
4. Addera kvadraterna. 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32
5. Dividera med antalet värden. 32 / 8 = 4, vilket är variansen
6. Dra kvadratroten. √4 = 2, så standardavvikelsen är 2

Samma uträkning, värde för värde, gör det lättare att hålla koll.

• 2 − 5 = −3, och (−3)² = 9
• 4 − 5 = −1, och (−1)² = 1, tre gånger
• 5 − 5 = 0, och 0² = 0, två gånger
• 7 − 5 = 2, och 2² = 4
• 9 − 5 = 4, och 4² = 16

Lägg märke till att själva differenserna, −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 och 4, har summan 0. Det händer alltid, och det förklarar varför man kvadrerar, som nästa avsnitt visar. Det sista steget kräver en kvadratrot, och några rundor med kvadratrötter gör det mycket snabbare att uppskatta dem i huvudet.

Vad är formeln för standardavvikelse?

Standardavvikelsen för en population är σ = √(Σ(x − μ)² / N). Här är x varje värde, μ är medelvärdet, N är antalet värden och Σ betyder ”addera alla”. För ett stickprov ur en större grupp dividerar du med n − 1 i stället för N. Den versionen skrivs s.

Exempel

Om lag B är hela gruppen du bryr dig om använder du N. Variansen är 32 / 8 = 4, och σ = √4 = 2.

Om de 8 spelarna är ett stickprov som ska representera en hel skola använder du n − 1. Variansen är 32 / 7 ≈ 4,57, och s = √4,57 ≈ 2,14.

Varför dividerar man med n − 1 för ett stickprov?

Ett stickprov missar oftast några av de mest extrema värdena i hela gruppen, så spridningen brukar bli lite för liten. Att dividera med n − 1, ett något mindre tal, gör resultatet lite större och rättar till det. Med stora stickprov blir skillnaden mellan de två versionerna mycket liten.

Miniräknare och kalkylprogram har ofta båda versionerna. En knapp eller funktion märkt σ eller ”population” dividerar med N, och en märkt s eller ”stickprov” dividerar med n − 1. Kolla vilken läraren eller läroboken förväntar sig, eftersom båda är rätt i sin egen situation.

Varför kvadrerar man differenserna i standardavvikelse?

Differenserna från medelvärdet har alltid summan noll, eftersom värdena över medelvärdet väger upp värdena under det. När man kvadrerar blir varje differens positiv, så de tar inte längre ut varandra. Kvadratroten i slutet för sedan tillbaka resultatet till den ursprungliga enheten, så att en spridning i poäng mäts i poäng.

Exempel

För lag B var differenserna −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 och 4. Summan är 0, så deras vanliga medelvärde är också 0, och det säger ingenting om spridningen. Efter kvadreringen blir de 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 och 16, som har summan 32.

Kvadreringen ger också värden långt bort större vikt. NIST Engineering Statistics Handbook ger en tydlig illustration. En punkt 2 enheter från medelvärdet bidrar med 4 till summan, medan en punkt 10 enheter bort bidrar med 100. Det gör standardavvikelsen känslig för ett enda extremt värde, till exempel ett resultat på 0 i en grupp som annars fick bra resultat.

Det finns ett enklare mått som hoppar över kvadreringen. Medelabsolutavvikelsen tar avståndet från varje värde till medelvärdet, struntar i minustecknen och tar medelvärdet av avstånden. För lag B har avstånden 3, 1, 1, 1, 0, 0, 2 och 4 summan 12, och 12 / 8 = 1,5. Det är lättare att räkna ut för hand, men standardavvikelsen är det mått som de flesta statistikverktyg och formler bygger på.

Vad är en hög eller låg standardavvikelse?

Det finns inget enskilt tal som räknas som en hög eller låg standardavvikelse. Det beror på hur stora värdena är och vad de mäter. En standardavvikelse på 2 poäng är stor för frågesportspoäng av 10, men pytteliten för poäng av 1 000. Jämför den med medelvärdet och med variationsbredden för de möjliga värdena.

Exempel

Jämför nu lag B med lag A från samma frågesport.

• Lag A: 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 7
• Lag B: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9

Båda lagen har medelvärdet 5, eftersom varje lista har summan 40 och 40 / 8 = 5. Men lag A:s poäng samlas kring 5, medan lag B:s är utspridda från 2 till 9. Lag A:s standardavvikelse är 1 poäng, och lag B:s är 2 poäng.

Medelvärdet ensamt skulle få lagen att se likadana ut. Standardavvikelsen visar att lag A är mycket jämnt, medan lag B har några spelare långt före och några långt efter.

Ett exempel till

Två bagerier säljer båda limpor med en genomsnittlig vikt på 500 g. Hos det första är standardavvikelsen 5 g, så nästan varje limpa väger nära 500 g. Hos det andra är den 40 g, så vissa limpor är märkbart lättare och vissa tyngre. Medelvärdena är lika, men det första bageriet är mycket jämnare.

En låg standardavvikelse är inte alltid bättre. I ett klassrum kan en hög standardavvikelse i provresultat helt enkelt visa att barnen har kommit olika långt, vilket är bra för en lärare att veta. I en fabrik betyder en låg standardavvikelse oftast att maskinerna är pålitliga. Talet beskriver spridningen, och sammanhanget avgör om spridningen är goda nyheter.

En standardavvikelse kan aldrig vara negativ, eftersom den kommer från en kvadratrot ur kvadrerade tal. Den är 0 bara när alla värden är lika.

Vad betyder 68-95-99,7-regeln?

För data som följer en normalfördelning, den välkända klockformade kurvan, ligger ungefär 68 % av värdena inom en standardavvikelse från medelvärdet. Ungefär 95 % ligger inom två standardavvikelser, och ungefär 99,7 % inom tre. Det kallas den empiriska regeln, och den gör om en standardavvikelse till en snabb bild av data.

Exempel

Anta att tiderna för ett 1 km-lopp i en stor grupp följer en klockkurva med medelvärdet 6 minuter och standardavvikelsen 1 minut. Då går ungefär 68 % av löparna i mål mellan 5 och 7 minuter. Ungefär 95 % går i mål mellan 4 och 8 minuter, och nästan alla går i mål mellan 3 och 9 minuter.

Regeln fungerar bara bra för klockformade data. Små grupper, som de två frågesportslagen, följer den sällan särskilt noga. För sneda data, som inkomster eller väntetider, kan medelvärdet och standardavvikelsen ge en missvisande bild, och medianen och variationsbredden beskriver ofta data bättre.

Medelvärdet är utgångspunkten för varje standardavvikelse, så det hjälper att kunna räkna ut medelvärden snabbt. I statistikspelet är varje attack i en strid en statistikfråga, så att räkna ut ett medelvärde i huvudet blir en del av att vinna en runda. Korta, täta rundor bygger upp den farten bättre än ett långt pass.

Standardavvikelsen är det typiska avståndet från medelvärdet

Standardavvikelsen svarar på en fråga. Hur långt från medelvärdet ligger ett typiskt värde? Använd de här stegen när du behöver räkna ut den för hand.

1. Ta fram medelvärdet.
2. Dra bort medelvärdet från varje värde.
3. Kvadrera varje differens.
4. Addera kvadraterna.
5. Dividera med N för en hel population, eller med n − 1 för ett stickprov.
6. Dra kvadratroten.

Ett litet svar betyder att värdena ligger nära varandra, och ett stort svar betyder att de är utspridda. Läs det alltid tillsammans med medelvärdet och enheten, eftersom en spridning bara blir begriplig i sitt sammanhang.