Hur räknar du ut volymen av en cylinder?
För att räkna ut volymen av en cylinder kvadrerar du radien i den cirkelformade basytan, multiplicerar med π, som är ungefär 3,14, och multiplicerar sedan med höjden. Det är formeln V = πr²h. Skriv svaret i kubikenheter, till exempel cm³ eller m³, eftersom volym mäter utrymmet inuti en kropp och inte en längd eller en yta.
Exempel
Beräkna volymen av en cylinder med radien 3 cm och höjden 10 cm.
- Kvadrera radien. 3 · 3 = 9
- Multiplicera med π för att få basytans area. 9 · π ≈ 28,27 cm²
- Multiplicera med höjden. 9π · 10 = 90π
- Lägg till kubikenheter. Volymen är ungefär 282,74 cm³
Du kan också låta svaret stå som 90π cm³. Den exakta formen undviker avrundning och är vanlig i högre årskurser.
Det vanligaste misstaget är att multiplicera radien med 2 i stället för att kvadrera den. Med radien 3 cm blir 3 · 2 = 6, men 3² = 9. Ett annat är att kvadrera höjden också. Bara radien kvadreras, eftersom bara basytan är en cirkel.
Varför är volymen av en cylinder πr²h?
En cylinder är en stapel av likadana cirklar, som en hög med mynt. Varje cirkel har arean πr², och stapeln är h enheter hög. Volymen är alltså basytans area multiplicerad med höjden. Prismor följer samma regel, V = basytans area · höjden.
Exempel
Tänk dig en stapel tunna, runda kex, var och en med arean 20 cm². Om stapeln är 5 cm hög fyller den 20 · 5 = 100 cm³. En cylinder med basytan 20 cm² och höjden 5 cm har samma volym.
Den här bilden förklarar också vad som händer när cylindern ändrar form. Fördubblar du höjden fördubblar du antalet lager, så volymen fördubblas. Fördubblar du radien blir varje lager fyra gånger så stort, eftersom radien kvadreras. Då blir volymen fyra gånger så stor.
En cylinder hör också ihop med två andra runda kroppar. En kon med samma basyta och höjd rymmer exakt en tredjedel av cylindern. Ett klot som passar precis inuti en cylinder rymmer två tredjedelar av den. Enligt Britannica var Arkimedes så stolt över det resultatet att han bad om att få det markerat på sin grav.
Hur räknar du ut volymen av en cylinder med diametern?
För att räkna ut volymen med diametern halverar du diametern för att få radien och använder sedan V = πr²h. Diametern är avståndet rakt över den cirkelformade basytan genom medelpunkten, så den är dubbelt så lång som radien. I ett steg blir formeln V = πd²h/4, som ger exakt samma svar.
Exempel
En konservburk har diametern 8 cm och höjden 12 cm. Halvera diametern så får du radien 4 cm. Då blir 4² · π · 12 = 192π ≈ 603,19 cm³.
Med formeln i ett steg blir 8² = 64, och sedan 64 · π · 12/4 = 192π ≈ 603,19 cm³. Båda vägarna ger samma svar.
Att sätta in diametern direkt i πr²h är ett mycket vanligt misstag. Med burken ovan blir det 64 · π · 12 ≈ 2412,74 cm³, vilket är fyra gånger för stort. Om ett svar ser förvånansvärt stort ut, kontrollera att du halverade diametern först.
Hur räknar du om volymen av en cylinder till liter?
För att räkna om volymen av en cylinder till liter räknar du ut volymen i kubikcentimeter och delar med 1000, eftersom 1 liter är 1000 cm³. Om volymen är i kubikmeter multiplicerar du i stället med 1000, eftersom 1 m³ rymmer 1000 liter. Se till att alla mått har samma enhet innan du börjar.
Exempel
Ett dricksglas har diametern 7 cm och höjden 10 cm, mätt på insidan.
- Bestäm radien. 7/2 = 3,5 cm
- Bestäm volymen. 3,5² · π · 10 ≈ 384,85 cm³
- Räkna om till liter. 384,85/1000 ≈ 0,38 liter, eller ungefär 385 ml
Ett större exempel är en vattentank med radien 0,5 m och höjden 1,2 m. Volymen är 0,5² · π · 1,2 ≈ 0,94 m³. Multiplicera med 1000, så rymmer tanken ungefär 942 liter.
Ett vanligt problem är blandade enheter, till exempel radien i centimeter och höjden i meter. Gör om allt till samma enhet först. Att växla mellan cm³, m³, milliliter och liter går mycket snabbare efter några rundor enhetsomvandling.
Hur räknar du ut höjden eller radien på en cylinder från volymen?
För att räkna ut höjden delar du volymen med basytans area, alltså h = V/(πr²). För att räkna ut radien delar du volymen med π gånger höjden och drar sedan kvadratroten ur, alltså r = √(V/(πh)). Båda formlerna är helt enkelt V = πr²h baklänges, ett steg i taget.
Exempel
En cylinderformad tillbringare ska rymma 1 liter, alltså 1000 cm³, och radien är 5 cm. Höjden måste vara 1000/(π · 5²) = 1000/78,54 ≈ 12,73 cm.
Nu åt andra hållet. En cylinder med höjden 10 cm rymmer 500 cm³. Radien är √(500/(π · 10)) = √15,92 ≈ 3,99 cm.
För att kontrollera svaret sätter du in talen i V = πr²h igen. För tillbringaren blir π · 5² · 12,73 ≈ 1000 cm³, så höjden stämmer.
Formeln fastnar bäst när du använder den ofta, med olika tal. I geometrispelet är varje attack i en strid en fråga om former, så att snabbt komma ihåg πr²h blir en del av att vinna en runda. I spelet räknas π som 3, så varje svar blir ett heltal som du kan räkna ut i huvudet. Korta, täta rundor fungerar bättre än ett långt pass.
Hur räknar du ut volymen av en ihålig cylinder?
En ihålig cylinder, till exempel ett rör, är en stor cylinder där en mindre cylinder har tagits bort från mitten. Räkna ut volymen av den yttre cylindern, dra bort volymen av hålet, och det som blir kvar är materialet. Som formel blir det V = π(R² − r²)h, där R är den yttre radien och r är den inre radien.
Exempel
Ett rör är 100 cm långt, med den yttre radien 5 cm och den inre radien 4 cm.
- Kvadrera båda radierna. 5² = 25 och 4² = 16
- Subtrahera. 25 − 16 = 9
- Multiplicera med π och längden. 9 · π · 100 = 900π ≈ 2827,43 cm³
Ett vanligt misstag är att subtrahera radierna innan man kvadrerar dem. Det ger (5 − 4)² · π · 100 = 100π ≈ 314,16 cm³, vilket är alldeles för litet. Kvadrera varje radie först och subtrahera sedan.
Räkna ut basytan först och multiplicera sedan med höjden
Varje uppgift om en cylinders volym handlar om samma två steg. Räkna ut arean av den cirkelformade basytan och multiplicera sedan med höjden. Använd listan för att välja rätt startpunkt.
- Radien r och höjden h är givna: V = πr²h
- Diametern d är given: r = d/2, eller V = πd²h/4
- För att hitta höjden: h = V/(πr²)
- För att hitta radien: r = √(V/(πh))
- Ihålig cylinder: V = π(R² − r²)h
- Liter: cm³/1000, eller m³ · 1000
Skriv svaret i kubikenheter och räkna om till liter först i slutet, när volymen är rätt.