Heltal på tallinjen
På en tallinje är heltalen de jämnt fördelade punkterna som du hamnar på när du räknar framåt eller bakåt från 0. Tal som 1/2, 3,5 eller √2 ligger i mellanrummen, och därför är de inte heltal. Här ser du hur du skiljer dem åt, varför noll också räknas och hur teckenreglerna egentligen fungerar.
Hur vet man om ett tal är ett heltal?
Ett tal är ett heltal om du kan skriva det utan bråk och utan decimaler. Det kan vara positivt, negativt eller noll. Läroboken OpenStax Prealgebra 2e (på engelska) säger det enkelt, heltalen är de tal vi räknar med, deras motsatta tal och noll. Alltså är 7, −7 och 0 heltal, men inte 7,5.
Exempel
Testa de här snabba kollarna.
- −12 är ett heltal, eftersom det är det motsatta talet till 12.
- 0 är ett heltal.
- 3,5 är inte ett heltal, eftersom det har decimaler.
- 1/2 är inte ett heltal.
- 8/2 är ett heltal, eftersom 8/2 = 4.
- √9 är ett heltal, eftersom √9 = 3.
- √2 är inte ett heltal, eftersom det är ungefär 1,41.
De sista exemplen visar en bra vana. Räkna ut värdet först och bestäm dig sedan. Ett tal kan se ut som ett bråk eller en rot och ändå visa sig vara ett heltal.
Är 0 ett heltal?
Ja, 0 är ett heltal. Det ligger mitt på tallinjen, mellan de negativa och de positiva heltalen. Noll är varken positivt eller negativt, vilket OpenStax också skriver. Däremot är noll ett jämnt tal, eftersom 0 = 2 · 0, så det går att dela med 2 utan rest.
Är negativa tal heltal?
Negativa tal är heltal bara om de inte har någon bråkdel eller decimaler. −5 och −100 är heltal. −2,5 och −3/4 är negativa, men de är inte heltal. Samma test fungerar för alla tal, oavsett tecken.
Vad är skillnaden mellan heltal och naturliga tal?
I svensk skola är de naturliga talen 0, 1, 2, 3 och så vidare, utan negativa tal. Heltalen innehåller alla naturliga tal och dessutom de negativa talen −1, −2, −3 och så vidare. Så −4 är ett heltal men inte ett naturligt tal. En del böcker låter de naturliga talen börja på 1, så kolla vilken definition ditt barns lärobok använder.
Exempel
Så här passar de viktigaste talmängderna in i varandra.
- Positiva heltal: 1, 2, 3, 4, …
- Naturliga tal: 0, 1, 2, 3, 4, …
- Heltal: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
- Rationella tal: alla tal som kan skrivas som ett bråk av två heltal, till exempel 1/2, −3/4 och 7 (som är 7/1)
Matematiker skriver mängden av heltal som ℤ. Bokstaven kommer från det tyska ordet Zahlen, som betyder ”tal”. Du kan också se ℕ för de naturliga talen. Inte ens om dem är alla helt överens, eftersom vissa böcker börjar på 0 och andra på 1.
Var ser man heltal i vardagen?
Heltal dyker upp så fort man räknar uppåt och nedåt från en nollpunkt. Minusgrader, våningar under marknivå, djup under havsytan och målskillnaden för ett fotbollslag är alla heltal som kan vara negativa. I varje fall är 0 en referenspunkt, inte ”ingenting”.
Exempel
På morgonen är det −4 °C och till lunch har temperaturen stigit med 7 grader. Börja på −4 och räkna 7 steg uppåt på tallinjen, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. Vid lunch är det 3 °C, så −4 + 7 = 3.
En mås flyger 5 meter över havet och en dykare simmar 2 meter under ytan, alltså på −2 meter. Avståndet mellan dem är 7 meter, eftersom 5 − (−2) = 7.
Hur adderar och subtraherar man heltal?
När du adderar heltal kan du tänka dig en tallinje. Att addera ett positivt tal flyttar dig åt höger, och att addera ett negativt tal flyttar dig åt vänster. Subtraktion är motsatsen till addition, så att subtrahera ett negativt tal flyttar dig åt höger. Därför blir svaret större när du drar bort ett negativt tal.
Exempel
Räkna ut −3 + 5. Börja på −3 och ta 5 steg åt höger. Du passerar −2, −1, 0 och 1 och stannar på 2. Alltså är −3 + 5 = 2.
Några fler att testa.
- −6 + 2 = −4, eftersom 2 steg åt höger från −6 hamnar på −4.
- −2 − 5 = −7, eftersom 5 steg åt vänster från −2 hamnar på −7.
- 4 − (−3) = 7, eftersom att subtrahera −3 är samma sak som att addera 3.
Varför blir svaret större när man subtraherar ett negativt tal?
Att subtrahera betyder att fråga ”vad är skillnaden?”. Skillnaden mellan 4 och −3 på tallinjen är 7 steg, så 4 − (−3) = 7. OpenStax skriver den allmänna regeln som a − (−b) = a + b. Många barn fastnar på −5 + 4, eftersom de ser ett plustecken och väntar sig ett större tal. Börjar du på −5 och går 4 steg åt höger ser du att svaret är −1.
Varför blir minus gånger minus plus?
När du multiplicerar två heltal blir svaret positivt om tecknen är lika och negativt om de är olika. Ett negativt tal gånger ett negativt tal blir positivt på grund av ett mönster. Varje gång det första talet minskar med 1 ändras svaret lika mycket, och mönstret fortsätter bara om svaret blir positivt.
Exempel
Se vad som händer med 3 · (−2) när det första talet minskar med 1 varje gång.
- 3 · (−2) = −6
- 2 · (−2) = −4
- 1 · (−2) = −2
- 0 · (−2) = 0
- (−1) · (−2) = 2
- (−2) · (−2) = 4
Varje svar är 2 mer än det föregående. För att mönstret ska fortsätta förbi noll måste (−1) · (−2) vara 2. Ett annat sätt att se det är att multiplikation med −1 vänder dig på tallinjen. Vänd dig två gånger, så tittar du åt samma håll igen.
Gäller samma teckenregler vid division?
Ja. (−12)/3 = −4 och (−12)/(−3) = 4, med samma regel om lika och olika tecken. Men det finns en skillnad. Addition, subtraktion och multiplikation av två heltal ger alltid ett heltal, men division gör det inte alltid. 8/2 = 4 är ett heltal, medan 7/2 = 3,5 inte är det.
Hur blir man snabbare på heltal?
Snabbhet med heltal kommer av att göra många korta uppgifter tills tallinjen sitter i huvudet. I spelet med negativa tal är varje attack en snabb uppgift med negativa tal, så barnen tränar teckenreglerna medan de är upptagna med att vinna striden.
I rundan ovan är att subtrahera −17 samma sak som att addera 17, så −1 − (−17) = −1 + 17 = 16.
Avståndet från ett tal till noll kallas absolutbelopp, så absolutbeloppet av −5 är 5. Det är nästa idé som de flesta elever möter efter heltal, och spelet med absolutbelopp gör om det till en serie snabba rundor.
Heltal är talen du kan räkna dig fram till, framåt eller bakåt
Varje heltal är ett steg du kan nå genom att räkna från 0, åt höger för positiva tal och åt vänster för negativa. Noll ligger i mitten och hör också till gruppen. Om ett barn kan se den tallinjen framför sig slutar reglerna för addition, subtraktion och multiplikation att vara regler att plugga in och börjar i stället bli begripliga.
Träna dessa härnäst