Dairenin alanı nasıl hesaplanır?
Dairenin alanını hesaplamak için merkezden kenara olan uzaklık, yani yarıçapın karesini alın ve sonucu yaklaşık 3,14 olan π ile çarpın. Alan bir uzunluğu değil bir yüzeyi ölçtüğü için cevabı cm² veya m² gibi kare birimlerle yazın.
Örnek
Yarıçapı 5 cm olan bir dairenin alanını bulun.
- Yarıçapın karesini alın. 5 × 5 = 25
- π ile çarpın. 25 × π ≈ 78,54
- Kare birimi ekleyin. Alan yaklaşık 78,54 cm²
Cevabı 25π cm² olarak da bırakabilirsiniz. Bu kesin yazım, yuvarlamayı önlediği için üst sınıflarda sık kullanılır.
3,14 mü kullanmalı, π tuşu mu?
İkisi de olur, yeter ki öğretmenin ya da sorunun istediğini yapın. Britannica'nın açıkladığı gibi π irrasyonel bir sayıdır, bu yüzden ondalık basamakları hiç bitmez ve kendini tekrar etmez. 3,14 ile 25 × 3,14 = 78,5 cm² bulursunuz, π tuşu ise 78,54 cm² verir. Aradaki küçük fark yalnızca π'nin yuvarlanmasından gelir.
Formülle ilgili sık yapılan hatalar
En sık yapılan hata, yarıçapın karesini almak yerine yarıçapı 2 ile çarpmaktır. Yarıçap 5 cm ise 5 × 2 = 10 olur, ama 5² = 25'tir. Başka bir hata da önce π'yi yarıçapla çarpıp sonra tüm sonucun karesini almaktır. İşlem önceliği üs almanın önce geldiğini söyler, bu yüzden π ile çarpmadan önce yarıçapın karesini alın.
Çapı bilinen dairenin alanı nasıl bulunur?
Alanı çaptan bulmak için çapı ikiye bölerek yarıçapı bulun, sonra A = πr² formülünü kullanın. Çap, merkezden geçerek dairenin bir ucundan diğerine uzanır, bu yüzden yarıçapın iki katıdır. Tek adımda formül A = πd² ÷ 4 olur ve tam olarak aynı sonucu verir.
Örnek
Bir dairenin çapı 10 cm. İkiye bölünce yarıçap 5 cm olur. Sonra 5² × π = 25π ≈ 78,54 cm².
Tek adımlık formülle 10² = 100, sonra 100 × π ÷ 4 = 25π ≈ 78,54 cm². İki yol da aynı sonucu verir.
Çok sık yapılan bir hata, çapı doğrudan πr² formülüne koymaktır. 10 cm ile bu 100π ≈ 314,16 cm² verir ve bu dört kat fazladır. Bir cevap şaşırtıcı derecede büyük görünüyorsa yanlışlıkla çapı kullanıp kullanmadığınızı kontrol edin.
Çevresi bilinen dairenin alanı nasıl bulunur?
Alanı çevreden bulmak için önce çevreyi 2π'ye bölerek yarıçapı bulun. Sonra A = πr² formülünü kullanın. Çevre, dairenin etrafındaki uzunluktur, yani çemberin uzunluğudur ve 2πr'ye eşittir. Tek adımda yapmak isterseniz formül A = C² ÷ (4π) olur, burada C çevredir.
Örnek
Yuvarlak bir çiçek tarhının çevresi 30 m. Alanını bulun.
- Yarıçapı bulun. 30 ÷ (2 × π) ≈ 4,77 m
- Alanı bulun. Yarıçapın tam değerini hesap makinesinde tutun. π × 4,7746² ≈ 71,6 m²
- Tek adımlık formülle kontrol edin. 30² ÷ (4 × π) = 900 ÷ 12,566 ≈ 71,6 m²
Yarıçapı önce 4,77'ye yuvarlarsanız π × 4,77² ≈ 71,5 m² bulursunuz. Bu küçük fark yüzünden yuvarlamayı en sona bırakmak en iyisidir.
Dairenin alanı neden πr²'dir?
Bir daireyi pizza gibi birçok eşit dilime kesin ve dilimleri sırayla bir yukarı, bir aşağı bakacak şekilde yan yana dizin. Dilimler neredeyse bir dikdörtgen olan bir şekil oluşturur. Bu şeklin yüksekliği yarıçap, yani r, uzunluğu ise çevrenin yarısı, yani πr'dir. Bu yüzden alanı πr × r, yani πr²'dir.
Örnek
Yarıçapı 5 cm olan bir dairenin 16 dilime kesildiğini düşünün. Dilimlerin yarısı yukarı, yarısı aşağı bakar. Sıranın uzunluğu çevrenin yarısı kadardır, π × 5 ≈ 15,7 cm, yüksekliği de yarıçap kadardır, 5 cm. Yani alan yaklaşık 15,7 × 5 ≈ 78,5 cm² olur ve formülle aynı sonucu verir.
Yalnızca 16 dilimle kenarlar hâlâ biraz dalgalıdır. 100 ya da 1.000 dilimle şekil mükemmel bir dikdörtgene giderek daha çok yaklaşır. Formülün arkasındaki fikir budur ve bunu hatırlamak, formülü tek başına ezberlemekten çok daha kolaydır.
Yunan matematikçi Arşimet bu problem üzerinde 2.000 yılı aşkın bir süre önce çalıştı. Britannica, onun bir dairenin alanının yarıçapının karesine bölümünün her zaman aynı sayı olduğunu nasıl kanıtladığını ve π'nin 223/71 ile 22/7 arasında olduğunu göstermek için çemberin içine ve dışına çizilen çokgenleri nasıl kullandığını anlatır.
Cevabınızı kontrol etmenin hızlı bir yolu
Bir daire, kenar uzunluğu çapa eşit olan bir karenin içine tam olarak sığar. Bu karenin alanı 2r × 2r = 4r²'dir. Daire karenin dörtte üçünden biraz fazlasını, yaklaşık %78,5'ini kaplar, çünkü π ÷ 4 ≈ 0,785. Yani yarıçapı 5 cm olan bir daire, kenarı 10 cm ve alanı 100 cm² olan bir karenin içindeyse alanı 80 cm²'nin biraz altında olmalıdır. Alan 78,54 cm²'dir.
Formül en iyi, onu farklı sayılarla sık sık kullandığınızda akılda kalır. Geometri oyununda bir dövüşteki her saldırı bir şekil sorusudur, bu yüzden πr²'yi hızlıca hatırlamak bir raundu kazanmanın parçası olur. Oyunda π 3 olarak sayılır, bu yüzden her cevap kafadan hesaplayabileceğiniz bir tam sayıdır. Kısa ve sık raundlar, tek bir uzun çalışmadan daha iyi sonuç verir.
Alanı bilinen dairenin yarıçapı nasıl bulunur?
Alandan yarıçapı bulmak için formülü tersten uygulayın. Alanı π'ye bölün, sonra sonucun karekökünü alın. Formül olarak bu r = √(A ÷ π) olur. Çap gerekiyorsa yarıçapı iki katına çıkarın.
Örnek
Bir dairenin alanı 50 cm². π'ye bölün. 50 ÷ π ≈ 15,92. Sonra karekökünü alın. √15,92 ≈ 3,99, yani yarıçap yaklaşık 3,99 cm, çap ise yaklaşık 7,98 cm'dir.
Kontrol etmek için yarıçapı formüle geri koyun. π × 3,99² ≈ 50,0 cm². Karekökler biraz paslandıysa birkaç raund karekök çalışması bu adımı çok hızlandırır.
Bir büyük pizza iki küçük pizzadan büyük müdür?
Çoğu zaman evet. Yarıçapın karesi alındığı için bir dairenin çapını iki katına çıkarmak alanını dört katına çıkarır. Çapı 30 cm olan bir pizzanın alanı yaklaşık 707 cm²'dir. Çapı 20 cm olan iki pizzanın toplam alanı yaklaşık 628 cm²'dir, yani tek büyük pizza size daha fazlasını verir.
Örnek
30 cm'lik pizzada yarıçap 15 cm'dir, bu yüzden alan π × 15² ≈ 706,9 cm² olur. 20 cm'lik bir pizzada yarıçap 10 cm'dir, bu yüzden alan π × 10² ≈ 314,2 cm² olur. İkisi birlikte yaklaşık 628,3 cm² eder, yani tek büyük pizzadan yaklaşık 79 cm² daha az.
Bu tür bir karşılaştırma, çocuklara kare almanın neden önemli olduğunu göstermenin harika bir yoludur. Yalnızca biraz daha geniş bir daire çok daha fazla yüzey kaplar.
Yarım dairenin alanı nedir?
Yarım daire, bir dairenin yarısıdır, bu yüzden alanı πr²'nin yarısı, yani πr² ÷ 2'dir. Yarıçapı 5 cm olan bir yarım dairenin alanı 25π ÷ 2 ≈ 39,27 cm²'dir. Düz kenarın uzunluğunu değil yarıçapı kullanmayı unutmayın, çünkü düz kenar çaptır.
Önce yarıçapı bulun, gerisi kendiliğinden gelir
Yarıçapı bildiğinizde dairenin alanıyla ilgili neredeyse her soru kolaylaşır. Doğru ilk adımı seçmek için bu listeyi kullanın.
- Yarıçap r verilmişse: A = πr²
- Çap d verilmişse: r = d ÷ 2 veya A = πd² ÷ 4
- Çevre C verilmişse: r = C ÷ (2π) veya A = C² ÷ (4π)
- Alan verilmiş ve yarıçap aranıyorsa: r = √(A ÷ π)
- Yarım daire: A = πr² ÷ 2
Sonunda birimleri kare birim olarak yazın ve cevabın yaklaşık doğru büyüklükte olup olmadığını görmek için kare kontrolünü kullanın.
Sırada bunları çalış