Fibonacci dizisi nedir ve doğada nerede karşımıza çıkar?

Fibonacci dizisi nasıl oluşturulur?

Fibonacci dizisini oluşturmak için 0 ve 1 yazın, sonra bir sonraki sayıyı bulmak için son iki sayıyı toplayın ve bu adımı tekrarlayıp durun. Her yeni sayı yalnızca kendinden önceki iki sayıya bağlıdır, bu yüzden liste sonsuza kadar devam edebilir. Bu şekilde yazdığınız sayılara Fibonacci sayıları denir.

Örnek

Diziyi adım adım oluşturun. 0 ve 1 ile başlayın.

1. 0 + 1 = 1
2. 1 + 1 = 2
3. 1 + 2 = 3
4. 2 + 3 = 5
5. 3 + 5 = 8
6. 5 + 8 = 13
7. 8 + 13 = 21

Her yeni sayı için yalnızca son iki sayı gerekir. Sayılar hızla büyüdüğü ama kural hiç değişmediği için bu, çocuklar için iyi bir zihinden toplama alıştırmasıdır. Kural küçük bir çocuğun anlayabileceği kadar basittir, ama aynı sayılar ayçiçeklerinde, çam kozalaklarında ve altın oranda karşımıza çıkar.

Dizi 0 ile mi başlar, 1 ile mi?

İki biçim de yaygındır. Pek çok kitap 0, 1, 1, 2, 3 ile başlar, bazıları ise 1, 1, 2, 3 ile. Sonra gelen sayılar iki durumda da aynıdır. Matematikçiler kuralı genellikle Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ biçiminde, F₀ = 0 ve F₁ = 1 olarak yazar. Bu, "her terim kendinden önceki iki terimin toplamıdır" demektir.

Dizideki gizli örüntüler

Dizide çocukların bulmaktan hoşlandığı küçük örüntüler vardır. Her üçüncü sayı çifttir (0, 2, 8, 34, 144, 610), diğerlerinin hepsi tektir. Her beşinci sayı 5'e tam bölünür (0, 5, 55, 610). Çocuğunuzdan bu örüntüleri listenin ilerisinde de kontrol etmesini isteyin. Bu, toplama alıştırması yapmanın ve aynı anda yapıyı fark etmenin eğlenceli bir yoludur.

Fibonacci dizisi nereden gelir?

Dizi, adını Fibonacci olarak bilinen İtalyan matematikçi Pisalı Leonardo'dan alır. Leonardo diziyi 1202'de yazdığı Liber abaci adlı kitabında, tavşanlarla ilgili bir problem üzerinden anlatmıştır. Britannica'ya göre bu, Avrupa'da bilinen ilk özyinelemeli sayı dizisidir, yani her terim önceki terimlerden elde edilir.

Örnek

Tavşan problemi şöyledir. Yeni doğmuş bir çift tavşanla başlarsınız. Bir çiftin büyümesi bir ay sürer ve bundan sonra her yetişkin çift her ay yeni bir çift doğurur. Hiçbir tavşan ayrılmaz. Her ayın başında çiftleri sayın.

• 1. ay: 1 çift (yeni doğmuş)
• 1. ay: 1 çift (artık yetişkin)
• 1. ay: 2 çift (yetişkinler ve ilk yavruları)
• 1. ay: 3 çift
• 1. ay: 5 çift
• 1. ay: 8 çift

Her ayın toplamı, bir önceki ayın toplamına yetişkin çiftlerin sayısı eklenerek bulunur. Yetişkin çiftlerin sayısı da tam olarak iki ay önceki toplama eşittir. İşte Fibonacci kuralı budur. Elbette gerçek tavşanlar bu kadar düzenli davranmaz. Bu problem örüntüyü anlatmanın bir yoluydu, hayvanlar üzerine bir çalışma değil.

Fibonacci dizisinde bir sonraki sayı nasıl bulunur?

Bir sonraki Fibonacci sayısını bulmak için listedeki son iki sayıyı toplayın. 21 ve 34'ten sonra 21 + 34 = 55 gelir, 34 ve 55'ten sonra da 89 gelir. Dizinin çok ilerisindeki bir sayıyı bulmak için listeyi yazmaya devam edebilir ya da altın oranı kullanarak herhangi bir terimi doğrudan hesaplayan Binet formülünü kullanabilirsiniz.

Örnek

F₀ = 0'ı başlangıç sayarak 10. Fibonacci sayısını bulun. Listeyi yazınca 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 elde edilir, yani F₁₀ = 55.

Binet formülü listeye gerek kalmadan aynı sonucu verir. Altın oran φ'yi (yaklaşık 1,618) 10. kuvvete yükseltin ve √5'e bölün. Bu yaklaşık 122,99 ÷ 2,236 ≈ 55,004 eder ve en yakın tam sayıya yuvarlayınca 55 bulunur. Büyük öğrenciler için bu hoş bir sürprizdir, çünkü karekökten oluşan bir sayı her seferinde bir tam sayıya bu kadar yakın çıkar.

Bir sayı listesinin ardındaki kuralı fark etmek, Fibonacci'nin çok ötesine geçen bir beceridir. Sayı dizileri oyunu bunu bir dövüşe dönüştürür. Her saldırı bir dizidir ve eksik sayıyı bulmanız gerekir. Hiçbir şey yazmadan "son ikisini topla" gibi örüntüleri görmeyi çalışmanın hızlı bir yoludur.

Fibonacci dizisinin altın oranla ilişkisi nedir?

Her Fibonacci sayısını kendinden önceki sayıya bölerseniz, sonuçlar altın orana, yani yaklaşık 1,618'e giderek yaklaşır. Örneğin 8 ÷ 5 = 1,6, 13 ÷ 8 = 1,625 ve 89 ÷ 55 ≈ 1,618 olur. Altın oranın kendisi (1 + √5) ÷ 2'dir. Bu sayının ondalık basamakları hiç bitmez ve kendini tekrar etmez.

Örnek

Sayılar büyüdükçe oranların nasıl dengelendiğine bakın.

• 3 ÷ 2 = 1,5
• 5 ÷ 3 ≈ 1,667
• 8 ÷ 5 = 1,6
• 13 ÷ 8 = 1,625
• 21 ÷ 13 ≈ 1,615
• 34 ÷ 21 ≈ 1,619
• 55 ÷ 34 ≈ 1,618

Sonuçlar 1,618'in bir üstüne bir altına geçer ve her seferinde biraz daha yaklaşır. Britannica, bu ilişkinin 1753'te matematikçi Robert Simson tarafından açıklandığını belirtir.

Fibonacci sarmalı nedir?

Kenarı 1 olan bir kare çizin, yanına kenarı 1 olan bir kare daha, sonra kenarı 2 olan bir kare, sonra 3, 5 ve 8 çizin. Her kareyi o ana kadar oluşan dikdörtgenin yanına yerleştirin. Her karenin karşı köşelerini çeyrek çemberle birleştirince Fibonacci sarmalı ortaya çıkar. Bu sarmal, her çeyrek dönüşte altın oran kadar büyüyen altın sarmala çok yakındır.

Fibonacci dizisi doğada nerede görülür?

Fibonacci sayıları bitkilerde sık sık görülür. Ayçiçeğinin tohumları iki grup sarmal oluşturur ve her yöndeki sarmal sayısı genellikle 34 ve 55 ya da 55 ve 89 gibi ardışık iki Fibonacci sayısıdır. Çam kozalaklarında da benzer sarmallar vardır ve pek çok çiçeğin 3, 5, 8, 13 ya da 21 taç yaprağı olur.

Örnek

Bir çam kozalağı ya da bir ayçiçeği fotoğrafı alın ve saat yönünde kıvrılan sarmalları sayın. Sonra öbür yöne kıvrılanları sayın. Surrey Üniversitesi'nden Dr. Ron Knott'un doğada Fibonacci sayfaları, bir yönde 55, öbür yönde 34 sarmalı olan ayçiçeklerini ve 89 ile 55 sarmallı daha büyüklerini gösterir.

Aynı sayfalar çiçekleri taç yaprağı sayısına göre de listeler. Örneğin hezarende 8, kanarya otunda ve bazı papatyalarda 13, yıldız çiçeklerinde 21 taç yaprağı vardır. Birlikte saymak çok güzel bir uygulamalı etkinliktir ve çocuklara sayıların çevrelerindeki gerçek şeyleri anlattığını gösterir.

Bitkiler neden Fibonacci sarmalları halinde büyür?

Pek çok bitki her yeni tohumu ya da yaprağı bir öncekine göre yaklaşık aynı dönme açısıyla, yaklaşık 137,5° ile yerleştirir. Altın oranla bağlantılı olan bu açı, tohumları boşluk bırakmadan sıkıca yerleştirir. Sayabildiğiniz sarmallar da bu düzenli dönüşün bir yan sonucudur. Ron Knott'un rehberinin ikinci bölümü bu açının neden bu kadar iyi işlediğini gösterir.

Fibonacci dizisi gerçekten doğanın her yerinde mi?

Hayır. Fibonacci sayıları bitkilerde yaygındır ama bir doğa yasası değildir. Ron Knott'un Surrey sayfaları, taç yapraklarında ya da tohum başlarında her zaman Fibonacci sayıları bulamayacağınızı belirtir. Küpe çiçeği gibi bazı çiçeklerin 4 taç yaprağı vardır. İnternetteki pek çok iddia, özellikle deniz kabukları, yüzler ve ünlü binalar hakkındakiler, kanıtları fazla zorlar.

Örnek

Nautilus kabuğu çoğu zaman üzerine altın sarmal çizilmiş olarak gösterilir. Kabuk gerçekten de logaritmik bir sarmal, yani büyüdükçe aynı şekli koruyan bir eğri boyunca büyür. Ama Knott'un sayfalarına göre büyüme katsayısı değişkendir ve altın oran olmayabilir, bu yüzden ona altın sarmal demek yanlıştır. Yani nautilus güzel bir sarmaldır ama Fibonacci'nin kanıtı değildir.

Bu, büyük çocuklar için de faydalı bir derstir. Sık görülen bir örüntü dikkat etmeye değer, ama dürüst soru her zaman "ne sıklıkla ve ne kadar yakın?" sorusudur. Gerçek bir çam kozalağının sarmallarını saymak, internetteki herhangi bir resimden daha iyi bir testtir.

İki başlangıç sayısı ve tek bir kural bütün diziyi oluşturur

Her Fibonacci sayısı aynı adımdan, kendinden önceki iki sayıyı toplamaktan gelir. Kendi listenizi kontrol edebilmeniz için F₀ = 0'dan başlayarak ilk 21 terim şunlardır.

• 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34
• 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987
• 1.597, 2.584, 4.181, 6.765

Çocuğunuz kafası karışırsa, emin olduğu son iki sayıya geri dönün ve yeniden toplayın. Kural hiç değişmez, bu yüzden bir hata her zaman kolayca düzeltilir.