Bu size yanlış geliyorsa yalnız değilsiniz. Aralarında doktoralı kişilerin de olduğu binlerce insan başta buna inanmayı reddetti. Aşağıda önce bulmacayı, ardından değiştirmenin neden işe yaradığını gösteren birkaç farklı bakış açısını bulacaksınız. Muhtemelen bunlardan biri taşları yerine oturtacak.
Monty Hall problemi nasıl işler?
Bir yarışma programındasınız ve karşınızda kapalı üç kapı var. Birinin arkasında araba, diğer ikisinin arkasında birer keçi var. Bir kapı seçiyorsunuz. Arabanın yerini bilen sunucu, diğer iki kapıdan birini açıp size bir keçi gösteriyor. Sonra kendi kapınızda mı kalmak istediğinizi, yoksa kapalı kalan son kapıya mı geçmek istediğinizi soruyor.
Çoğu insan omuz silkip fark etmeyeceğini söyler. İki kapı kaldı, o halde şans yarı yarıya olmalı. Öyle değil. Değiştirirseniz arabayı 3 seferde 2 kez kazanırsınız.
Bulmaca adını, Let's Make a Deal adlı televizyon yarışmasının sunucusu Monty Hall'dan alır. Meşhur cevap üç kurala dayanır.
- Sunucu her zaman sizin seçmediğiniz bir kapıyı açar.
- Sunucu her zaman keçi gösterir, asla arabayı göstermez.
- Sunucu size her zaman değiştirme teklif eder.
Değiştirmek neden 3 seferde 2 kez kazandırır?
İlk seçiminiz 3 seferde 2 kez yanlıştır. Her yanlış olduğunda sunucunun başka seçeneği yoktur. Diğer keçili kapıyı açmak zorundadır ve araba, geçebileceğiniz kapının arkasında kalır. Yani ilk tahmininiz her yanlış olduğunda değiştirmek kazandırır, yalnızca arabayı ilk seferde tutturduysanız kaybettirir.
Örnek
Diyelim ki hep 1 numaralı kapıyı seçiyorsunuz. Araba yalnızca üç yerde olabilir ve her birinin olasılığı eşittir.
- Araba 1 numaralı kapının arkasında. Sunucu 2 ya da 3 numaralı kapıyı açar. Kalırsanız kazanırsınız, değiştirirseniz kaybedersiniz.
- Araba 2 numaralı kapının arkasında. Sunucu 3 numaralı kapıyı açmak zorundadır. Kalırsanız kaybedersiniz, değiştirirseniz kazanırsınız.
- Araba 3 numaralı kapının arkasında. Sunucu 2 numaralı kapıyı açmak zorundadır. Kalırsanız kaybedersiniz, değiştirirseniz kazanırsınız.
Sayın bakalım. Kalmak bir kez, değiştirmek iki kez kazanıyor. Hangi kapıyla başlarsanız başlayın sonuç aynıdır.
Bunu başka bir şekilde de düşünebilirsiniz. Sizin kapınız 3'te 1 şansla başlar, diğer iki kapı kalan 3'te 2'yi paylaşır. Sunucu bunlardan birini açtığında araba yer değiştirmez. Sunucu size yalnızca o iki kapıdan hangisinin artık 3'te 2'nin tamamını taşıdığını gösterir.
İki kapı kalınca neden yarı yarıya değil?
Çünkü sunucu kapıyı rastgele açmaz. Arabanın yerini bilir ve ondan hep kaçınır, yani kapalı bıraktığı kapı bu bilgiyle seçilmiştir. Sizin kapınız ise körlemesine seçildi ve 3'te 1 şansını korur. Kapalı kalan diğer kapı da geri kalanı, yani 3'te 2'yi alır.
Bulmacayla ilgili bir Scientific American makalesi bu hatayı psikologların eş olasılık yanılgısı dediği şeye bağlar. Önümüzdeki sonuçların hepsinin eşit olasılıklı olduğunu varsayma eğilimindeyiz. İki kapı yazı tura gibi görünür ve düşünmeyi bırakırız.
Diğer tuzak, sunucunun hamlesinin size hiçbir şey söylemiyormuş gibi görünmesidir. Aslında çok şey söyler. Kapınızın arkasında keçi olduğu her seferde sunucu arabalı kapıyı kapalı bırakmak zorundadır. İşte bu zorunlu seçim, gizli bilgidir.
100 kapılı versiyon işi kolaylaştırır mı?
Pek çok kişi için evet. 100 kapı ve bir araba düşünün. Bir kapı seçiyorsunuz, arabanın yerini bilen sunucu da diğerlerinden 98'ini açıp 98 keçi gösteriyor. Bir kapı kapalı kalıyor. Sizin kapınızın şansı 100'de 1'di. Sunucunun özenle atladığı kapı ise artık geri kalan 100'de 99'a sahip.
Örnek
37 numaralı kapıyı seçiyorsunuz. Sunucu 1'den 100'e kadar 37 ve 82 dışındaki bütün kapıları açıyor. Rastgele yaptığınız ilk seçimin şanslı çıktığına gerçekten inanıyor musunuz? Sunucunun 82 numaralı kapıyı, arkasında araba olduğu için atlamış olması çok daha olası.
Bulmacayı ünlü yapan Marilyn vos Savant, bir milyon kapılı daha da büyük bir versiyon kullanmıştı. Üç kapıda da mantık aynıdır, sadece hissetmesi daha zordur. 100 kapı size yardımcı olmuyorsa bir de yanılmayı düşünün. İlk seçiminiz 3 seferde 2 kez yanlıştır ve değiştirmek her yanlış seçimi kazanca çevirir.
Sunucu arabanın yerini bilmiyorsa ne olur?
O zaman değiştirmek işe yaramaz. Sunucu rastgele bir kapı açar ve arkasından tesadüfen keçi çıkarsa, kalmak da değiştirmek de yarı yarıya kazandırır. 3'te 2 cevabı yalnızca sunucu arabanın yerini bildiğinde, her zaman keçili bir kapı açtığında ve her zaman değiştirme teklif ettiğinde geçerlidir.
Örnek
1 numaralı kapıyı seçiyorsunuz ve hiçbir şey bilmeyen bir sunucu rastgele 2 ya da 3 numaralı kapıyı açıyor. Bazen yanlışlıkla arabayı gösteriyor ve o oyunlar bozuluyor. Keçinin çıktığı oyunlarda araba tam olarak yarı yarıya sizin kapınızın arkasında.
Gerçek Monty Hall da aynı püf noktasına dikkat çekmişti. 1991 tarihli bir New York Times makalesinde, sunucu değiştirme teklif edip etmemeye kendisi karar verebiliyorsa yarışmacının dikkatli olması gerektiği uyarısında bulunmuştu. Gerçek bir yarışmada teklifin kendisi bir tuzak olabilir.
Monty Hall problemini kendiniz nasıl test edebilirsiniz?
Tek ihtiyacınız üç oyun kâğıdı ve bir arkadaş. Bir as araba, diğer iki kâğıt keçiler olsun. Arkadaşınız kâğıtları kapalı olarak karıştırır, siz birini gösterirsiniz, arkadaşınız da sizin seçmediğiniz bir keçiyi açar. 30 tur oynayın ve her seferinde değiştirin. Yaklaşık 20'sini kazanmanız gerekir.
Sonra 30 tur daha oynayın ve her seferinde kendi seçiminizde kalın. Bu kez yaklaşık 10'unu kazanmalısınız. Bu kadar az turda sayılar biraz oynar ama fark çabucak ortaya çıkar.
Ünlü matematikçiler bile bunu gözleriyle görmek zorunda kaldı. Scientific American, son derece üretken matematikçi Paul Erdős'ün de bu bulmacada çuvalladığını anlatır. Yani hâlâ yanlış geliyorsa kâğıtlarla oynayın.
Bulmacanın asıl öğrettiği, olası bütün durumları adil biçimde saymaktır. Olasılık oyunu her turda aynı türden bir soru sorar. Örneğin aşağıdaki dövüşte 4 madeni paranın kaç farklı şekilde tam olarak 1 tura gösterebileceğini saymanız gerekiyor. Cevap 4, çünkü tura dört paradan herhangi birinde olabilir.
Neden bu kadar çok insan Monty Hall probleminde yanılıyor?
Kapalı iki kapı düpedüz yarı yarıya bir seçim gibi görünür ve sunucunun gizli bilgisini gözden kaçırmak kolaydır. Pişmanlık da muhtemelen rol oynar. Arabanın olduğu kapıdan vazgeçip kaybetmek, kalıp kaybetmekten daha kötü hissettirir. Bu yüzden pek çok kişi matematiği anladığında bile ilk kapısından ayrılmaz.
Bulmaca ilk kez 1975'te istatistikçi Steve Selvin'in mektuplarında ortaya çıktı. 1990'da Marilyn vos Savant, Parade dergisindeki Ask Marilyn köşesinde soruyu yanıtlayıp okurlara değiştirmelerini söyleyince ün kazandı. Scientific American'a göre kendisine yanıldığını söyleyen tahminen 10.000 mektup geldi. New York Times, bunların 1.000'e yakınının doktoralı kişilerce imzalandığını ekledi.
Elbette haklıydı. O mektuplar artık hikâyenin bir parçası ve şansa dair kendinden emin bir içgüdünün tamamen yanlış çıkabileceğini en iyi onlar hatırlatıyor.
Sunucu biliyorsa ve hep keçili kapıyı açıyorsa değiştirin
Olağan kurallarda değiştirmek kazanma şansınızı ikiye katlar, 3'te 1'den 3'te 2'ye çıkarır. Kurallar değişirse cevap da değişebilir. Örneğin kapıları rastgele açan ya da yalnızca işine geldiğinde değiştirme teklif eden bir sunucuyla. Yarışma programlarının ötesine geçen ders de budur. Bir olasılığa güvenmeden önce, önünüzdeki bilginin nasıl seçildiğini sorun.
Sırada bunları çalış