Nokta-eğim formu nedir, y = mx + n yerine ne zaman kullanılır?

Nokta-eğim formunda denklem nasıl yazılır?

Eğimi m'nin yerine, bildiğin bir noktanın koordinatlarını da x₁ ve y₁'in yerine yaz. x ve y harf olarak kalsın. Bunlar doğru üzerindeki diğer tüm noktaları temsil eder. Doğrunun bir noktasını ve eğimini biliyorsan nokta-eğim formunu, yani bir noktası ve eğimi bilinen doğru denklemini kullan.

Örnek

(2, 3) noktasından geçen ve eğimi 2 olan doğrunun denklemini yaz.

1. Nokta x₁ = 2 ve y₁ = 3 verir.
2. Eğim m = 2 verir.
3. Yerine koy: y − 3 = 2(x − 2).

Bu kadar, sadeleştirecek bir şey yok. Emin olmak istersen ikinci bir noktayı dene. (2, 3) noktasından bir adım sağa ve iki adım yukarı gidince (3, 5) noktasına varırsın. Bu sayıları yerine koy: sol tarafta 5 − 3 = 2, sağ tarafta 2(3 − 2) = 2. İkisi eşit.

(2, 3) noktasının doğrudan denklemin içinde durduğuna dikkat et. Grafiği çizerken kalemini önce bu noktaya koyup oradan devam edebilirsin.

İki noktadan nokta-eğim formu nasıl bulunur?

Önce eğimi m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) ile hesapla. Sonra iki noktadan birini al ve bu eğimle birlikte y − y₁ = m(x − x₁) içine yerleştir. Hangi noktayı seçtiğin fark etmez. Denklemler farklı görünür ama sadeleştirince ikisi de aynı doğruyu anlatır.

Örnek

(1, −2) ve (4, 7) noktalarından geçen doğruyu bul.

1. Eğim: m = (7 − (−2)) ÷ (4 − 1) = 9 ÷ 3 = 3
2. (1, −2) ile: y − (−2) = 3(x − 1), yani y + 2 = 3(x − 1)
3. (4, 7) ile: y − 7 = 3(x − 4)

Hangisinin parantezini açarsan aç y = 3x − 5 elde edersin. Ödevi cevap anahtarıyla karşılaştırmadan önce bunu bilmek işe yarar. (4, 7) noktasını kullanan bir öğrenci ile (1, −2) noktasını kullanan bir cevap anahtarı iki farklı denklem gösterir ve ikisi de yanlış değildir.

Negatif bir nokta işaretleri neden değiştirir?

Formül, noktanın koordinatlarını çıkarır. Koordinat negatifse negatif bir sayıyı çıkarmış olursun ve bu artıya dönüşür. Bu yüzden (−4, −1) noktası y + 1 ve x + 4 verir. İşaretin yanlış yöne dönmesini önlemenin en kolay yolu, sadeleştirmeden önce parantezleri tam olarak yazmaktır.

Örnek

(−4, −1) noktasından geçen ve eğimi 1/2 olan doğruyu yaz.

1. Parantezlerle: y − (−1) = 1/2(x − (−4))
2. Sadeleşmiş hâli: y + 1 = 1/2(x + 4)

Tersi de geçerli. y + 5 = −2(x − 6) verilmişse doğru üzerindeki nokta (6, 5) değil, (6, −5) olur. Denklemin içinde hangi işareti görürsen koordinatın işareti onun tersidir.

Nokta-eğim formu y = mx + n biçimine nasıl çevrilir?

Parantezi aç, sonra sol taraftaki sayıyı karşıya geçirerek y'yi yalnız bırak. Elde ettiğin şey eğim-kesişim formu, yani y = mx + n. Dönüşüm sırasında eğim değişmez ve sonda tek başına kalan sayı, doğrunun y eksenini kestiği yeri gösteren n'dir.

Örnek

y − 3 = 2(x − 2) denklemini çevir.

1. Parantezi aç: y − 3 = 2x − 4
2. İki tarafa 3 ekle: y = 2x − 1

Eğim hâlâ 2 ve doğru y eksenini (0, −1) noktasında kesiyor. Bu noktayı yukarıdaki grafikte görebilirsin. Ters yönde de aynı hızla gidilir. y = −3x + 5 al, x = 1 seç ve y = 2 bul. (1, 2) noktası ve −3 eğimi y − 2 = −3(x − 1) verir.

Hangi formu kullanmalısın?

Zaten bildiklerine hangi form uyuyorsa onu kullan.

• Nokta-eğim formu, bir noktan ve eğimin ya da iki noktan varsa.
• Eğim-kesişim formu, eğimi ve y eksenini kestiği noktayı okumak ya da grafiği çizmek istiyorsan.
• Genel form, Ax + By = C, doğrunun iki ekseni kestiği noktalar gerekiyorsa.

Birçok öğretmen son cevabı y = mx + n biçiminde ister. Nokta-eğim formuyla başlayıp sonda çevirmene hiçbir engel yok.

Nokta-eğim formülü nereden gelir?

Aslında eğim formülünün yeniden düzenlenmiş hâlidir. Bir doğru üzerinde sabit bir (x₁, y₁) noktası ve aynı doğru üzerinde herhangi başka bir (x, y) noktası seç. Aralarındaki eğim m = (y − y₁) ÷ (x − x₁) olur. İki tarafı (x − x₁) ile çarparsan y − y₁ = m(x − x₁) elde edersin.

Örnek

(2, 3) noktasından geçen ve eğimi 2 olan doğruyla devam edelim ve (5, 9) noktasını deneyelim. (2, 3) ile (5, 9) arasındaki eğim (9 − 3) ÷ (5 − 2) = 6 ÷ 3 = 2. Eğim aynı, yani (5, 9) doğrunun üzerinde. Nokta-eğim formu da tam olarak bunu söyler: 9 − 3 = 2(5 − 2).

Ücretsiz ders kitabı OpenStax Elementary Algebra 2e formülü aynı şekilde türetir. Ardından onu iki noktadan geçen doğrular ile paralel ve dik doğrular için kullanır, bir sonraki bölüm de tam oradan devam ediyor.

Paralel ve dik doğrular için nokta-eğim formu nasıl kullanılır?

Paralel bir doğrunun eğimi orijinal doğrununkiyle aynıdır. Dik bir doğrunun eğimi ise ters işaretli çarpmaya göre tersidir. Yani kesri ters çevirir ve işaretini değiştirirsin. 2 eğimi −1/2 olur, −3/4 eğimi de 4/3 olur. Yeni eğimi bulunca onu verilen noktayla birlikte nokta-eğim formuna yerleştir.

Örnek

(2, 3) noktasından geçen ve y = 2x − 1 doğrusuna dik olan doğruyu bul.

1. Orijinal eğim 2, yani 2/1.
2. Ters çevir ve işaretini değiştir: −1/2.
3. Nokta-eğim formu: y − 3 = −1/2(x − 2)
4. Eğim-kesişim formu: y = −1/2x + 4

x = 2 ile hızlı kontrol: −1/2 · 2 + 4 = 3, bu da noktamızın y değeri. (6, 0) noktasından geçen paralel bir doğru için eğimi 2 olarak bırak: y − 0 = 2(x − 6), yani y = 2x − 12.

Her doğru nokta-eğim formunda yazılabilir mi?

Neredeyse her doğru yazılabilir. İstisnası dikey doğrudur. Tüm noktalarının x değeri aynıdır, bu yüzden yatay değişim 0 olur ve eğim sıfıra bölmek anlamına gelir. (3, 1) noktasından geçen dikey doğruyu bunun yerine x = 3 olarak yazarsın. Yatay doğrular hiç sorun çıkarmaz, çünkü eğimleri basitçe 0'dır.

Örnek

(1, 4) noktasından geçen yatay doğruyu al. Nokta-eğim formunda bu y − 4 = 0(x − 1) olur. Sıfır çarpı herhangi bir sayı sıfırdır, bu yüzden denklem y − 4 = 0'a, yani y = 4'e iner.

Nokta-eğim formunu nasıl çalışabilirsin?

Doğrularda hız, çok sayıda doğru görmekle gelir. Doğrusal fonksiyonlar oyununda doğru sorularıyla savaşırsın. Bir tur, (−2, 2) noktasından (0, −6) noktasına eğimi sorabilir ve doğru cevap saldırını hedefe ulaştırır. Bunun cevabı (−6 − 2) ÷ (0 − (−2)) = −8 ÷ 2 = −4.

Dönüştürme adımı her seferinde küçük bir denklemdir. İşler orada yavaşlıyorsa denklemler oyununda birkaç tur işe yarar. Bir formülü her yeniden düzenlediğinde aynı hamleleri kullanırsın.

Eğimin harfi de ülkeden ülkeye değişir. Türkiye'de de İngilizce kitaplarda da m kullanılır, bazı ülkelerde ise k ya da a. Harf ne olursa olsun parantezin önündeki sayı eğimdir, parantezlerin içindeki sayılar da doğru üzerindeki bir noktadan gelir.

Bir nokta ve bir eğim doğruyu belirler

Tek bir nokta ve bir eğim, bir doğruyu tamamen belirler ve nokta-eğim formu bunu doğrudan yazar. Dikkatle yerine koy, işaretler netleşene kadar parantezleri koru ve sonucu ikinci bir noktayla dene. Ondan sonra y = mx + n'ye ulaşmak iki kısa adım sürer.