Doğru denklemi (y = mx + n) adım adım anlatım

y = mx + n biçimi neden bu kadar kullanışlı

Denklem bu biçimde yazıldığında eğimi ve başlangıç noktasını doğrudan okuyabilir, doğruyu birkaç saniyede çizebilirsiniz. Aşağıda bu denklemi nasıl okuyacağınızı, iki noktadan ya da başka bir biçimden nasıl elde edeceğinizi ve en sık yapılan hataları bulacaksınız.

İki noktası bilinen doğrunun denklemi nasıl bulunur?

y = mx + n denklemini bulmak için iki şeye ihtiyacınız var, eğim m ve y eksenini kestiği değer n. Eğimi iki noktadan m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁) ile hesaplayın. Sonra bir noktayı ve eğimi y = mx + n denkleminde yerine koyup n değerini bulun. Sonucu, m ve n yerine kendi sayılarınızı yazarak ifade edin.

Örnek

(1, 5) ve (3, 9) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulun.

1. Eğim: m = (9 − 5) : (3 − 1) = 4 : 2 = 2
2. (1, 5) noktasını kullanın: 5 = 2 · 1 + n, yani n = 3
3. Denklem: y = 2x + 3
4. Diğer nokta (3, 9) ile kontrol edin: 2 · 3 + 3 = 9. Doğru.

Bu son kontrol on saniye sürer ve hataların çoğunu yakalar, bu yüzden alışkanlık hâline getirmeye değer.

Eğim kesirli çıkarsa ne olur?

Kesirler burada tamamen normaldir ve kesir çıkması yanlış yaptığınız anlamına gelmez. (4, 0) ve (−2, 4) noktalarını alalım. Eğim (4 − 0) : (−2 − 4) = 4 : (−6) = −2/3 olur. Ardından 0 = −2/3 · 4 + n eşitliğinden n = 8/3 bulunur, yani y = −2/3x + 8/3. (−2, 4) ile kontrol edelim: 4/3 + 8/3 = 12/3 = 4.

Eğimi yuvarlanmış bir ondalık sayı yerine kesir olarak bırakın, çünkü kesir tam değerdir ve kontrol kusursuz çıkar. Sizi yavaşlatan kesirlerse, kesirler oyununda birkaç tur oynamak denk kesirleri bulmayı ve sadeleştirmeyi çok hızlandırır.

Yukarıdaki turda 7/10 = 70/100, çünkü pay ve payda 10 ile genişletilir.

y = mx + n denkleminde m ve n ne anlama gelir?

y = mx + n denkleminde m eğimdir, n ise doğrunun y eksenini kestiği değerdir. Eğim, x değeri 1 arttığında y değerinin ne kadar değiştiğini, yani doğrunun sağa doğru her adımda ne kadar yükseldiğini gösterir. n ise x = 0 olduğunda y değeridir ve doğrunun y eksenini kestiği (0, n) noktasına karşılık gelir.

Örnek

y = 3x − 2 doğrusunda eğim 3, n değeri −2'dir. Doğru y eksenini (0, −2) noktasında keser ve sağa doğru atılan her 1 birimlik adımda 3 birim yükselir. y = −2x + 4 doğrusunda eğim −2'dir, bu yüzden doğru sağa doğru her adımda 2 birim alçalır ve y eksenini (0, 4) noktasında keser.

OpenStax College Algebra 2e (İngilizce) ders kitabı eğimi "rise over run", yani dikey değişimin yatay değişime oranı olarak, y eksenini kestiği noktayı da girdi değerinin sıfır olduğu nokta olarak tanımlar. Eğim pozitifse doğru soldan sağa yükselir, negatifse alçalır ve sayı (işaretine bakmadan) ne kadar büyükse doğru o kadar diktir.

m ve n değerini günlük hayatta düşünmek

Bir mum 20 cm boyundadır ve her saat 2 cm kısalır. t saat sonraki boyu h = −2t + 20 olur. 20 başlangıç değeridir (n), −2 ise her saatteki değişimdir (m). 3 saat sonra mum 14 cm olur, 10 saat sonra tamamen biter. Birçok öğrenci n değerini başlangıç değeri, m değerini de her adımdaki değişim olarak düşünmeyi daha kolay bulur.

y = mx + n doğrusunun grafiği nasıl çizilir?

y = mx + n doğrusunu çizmek için y eksenindeki (0, n) noktasından başlayın. Oradan eğimi dikey değişimin yatay değişime oranı olarak kullanın. Yatay değişim kadar sağa, dikey değişim kadar yukarı (eğim negatifse aşağı) giderek ikinci bir nokta bulun. İki noktadan geçen bir doğru çizin ve uzatın.

Örnek

y = 2x + 1 doğrusunun grafiğini çizin.

1. y eksenindeki (0, 1) noktasını işaretleyin.
2. Eğim 2, yani 2/1 demektir, bu yüzden 1 birim sağa ve 2 birim yukarı gidin. (1, 3) noktasına varırsınız.
3. (0, 1) ve (1, 3) noktalarından geçen doğruyu çizin.

−2/3 gibi bir eğimde 3 birim sağa ve 2 birim aşağı gidin. Paydayı yatay adım olarak kullanmak sizi hep kareli kâğıdın köşe noktalarında tutar, böylece doğruyu daha doğru çizersiniz.

Genel denklem y = mx + n biçimine nasıl çevrilir?

2x + 3y = 6 gibi bir denklemi y = mx + n biçimine çevirmek için y değerini yalnız bırakın. x içeren terimi eşitliğin diğer tarafına geçirin, sonra her terimi y'nin katsayısına bölün. x'in katsayısı artık eğimdir, tek başına kalan sayı da n değeridir.

Örnek

2x + 3y = 6 denklemini çevirin.

1. İki taraftan 2x çıkarın: 3y = −2x + 6
2. Her terimi 3'e bölün: y = −2/3x + 2

Eğim −2/3, n değeri 2'dir. Sık yapılan bir dikkatsizlik, eğimi 2x + 3y = 6 denkleminden doğrudan 2 olarak okumaktır. Sayılar ancak y bir tarafta yalnız kaldığında eğimi ve n değerini gösterir.

Bir noktası ve eğimi bilinen doğru mu, y = mx + n mi?

Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemi, y − y₁ = m(x − x₁), bir noktayı ve eğimi bildiğinizde işe yarar, çünkü hemen yazılabilir. (1, 5) noktası ve 2 eğimi için y − 5 = 2(x − 1) elde edilir. Parantezi açıp sadeleştirdiğinizde, y = 2x − 2 + 5, yine y = 2x + 3 denklemine ulaşırsınız. İki biçim de aynı doğruyu anlatır.

Hangi doğrular y = mx + n biçiminde yazılamaz?

Dikey doğrular y = mx + n biçiminde yazılamaz. Dikey bir doğrunun bütün noktalarının x değeri aynıdır, bu yüzden yatay değişim 0 olur ve eğimi hesaplamak sıfıra bölmek anlamına gelir. Bu nedenle dikey doğrunun eğimi tanımsızdır. x = 3 noktasından geçen dikey doğru kısaca x = 3 diye yazılır.

Örnek

(3, 1) ve (3, 6) noktaları dikey bir doğru üzerindedir. Eğim (6 − 1) : (3 − 3) = 5 : 0 olurdu ve bunun bir sonucu yoktur. Demek ki doğru x = 3'tür. Ayrıca dikey bir doğru, y ekseninin kendisi değilse, y eksenini hiç kesmez, bu yüzden n yerine konacak bir değer de yoktur.

Yatay doğrularda sorun yoktur. (−1, 4) ve (5, 4) noktaları 0 : 6 = 0 eğimini verir, yani doğru y = 0x + 4, kısaca y = 4 olur.

y = mx + n ile en sık yapılan hatalar nelerdir?

y = mx + n ile yapılan hataların çoğu konuyu anlamamaktan değil, küçük dikkatsizliklerden kaynaklanır. Öğrenciler bir noktanın koordinatlarını karıştırır, eğim formülünün payında ve paydasında farklı sırayla çıkarma yapar ya da y yalnız kalmadan m ve n değerlerini okur. Bulunan denklemi verilen noktalardan biriyle kontrol etmek bu hataların neredeyse hepsini yakalar.

Her dikkatsizlik için hızlı çözüm

Tekrar tekrar karşılaşılan dikkatsizlikler ve her biri için hızlı bir çözüm şöyle.

• Bir noktada x ile y'yi karıştırmak. (5, 7), x = 5 ve y = 7 demektir. Okurken "önce yatay, sonra dikey" diye düşünün.
• Çıkarma sırasını değiştirmek. Pay kısmında 9 − 5 yaptıysanız payda kısmında 3 − 1 yapın, iki seferde de aynı noktayı öne alarak.
• m ile n değerini karıştırmak. y = 4 + 3x denkleminde eğim yine 3'tür, çünkü m nerede durursa dursun x'in katsayısıdır.
• Eksi işaretini unutmak. y = −x + 2 denkleminde eğim 1 değil, −1'dir.
• Kesirli sonucun mutlaka yanlış olduğunu sanmak. 3/4 ya da −2/3 gibi eğimler 2 kadar geçerlidir.

y = mx + n otomatikleşene kadar pratik yapın

Doğruları hızlı okumak, çok sayıda doğru görmekle gelir. Doğrusal fonksiyonlar oyununda her saldırı bir doğruyla ilgili bir sorudur, böylece ödev yapıyormuş gibi hissetmeden eğim ve n değerini bulma konusunda bolca pratik yaparsınız.

n değerini bulmak da tek adımlık küçük bir denklemdir. Yavaşladığınız yer bu adımsa, denklemler oyunu iyi bir ısınma olur.

Harfler ülkeden ülkeye değişir. Türkiye'de okullarda y = mx + n yazılırken, İngilizce konuşulan ülkelerde aynı fikir y = mx + b olarak yazılır. Fransa ve Polonya'da y = ax + b, Rusya'da y = kx + b, İtalya'da ise y = mx + q kullanılır. Harfler ne olursa olsun, x'in katsayısı her zaman eğimdir ve tek başına duran sayı doğrunun y eksenini nerede kestiğini gösterir.

Dikey olmayan her doğruyu iki sayı anlatır

Dikey olmayan her doğru y = mx + n biçiminde yazılabilir, bu yüzden onu tam olarak anlatmak için iki sayı yeterlidir. Eğim doğrunun ne kadar dik olduğunu ve hangi yöne gittiğini, n değeri de nereden başladığını söyler. Bu iki sayıyı bulun, denkleminizi bir noktayla kontrol edin, gerisi kendiliğinden gelir.