Standart sapma nedir? Adım adım örnekle basit anlatım

Standart sapma adım adım nasıl hesaplanır?

Standart sapmayı hesaplamak için ortalamayı bulun, her değerden çıkarın, her farkın karesini alın ve kareleri toplayın. Bu toplamı değer sayısına bölün, böylece varyansı elde edersiniz. Son olarak varyansın karekökünü alın. Sonuç, verinin orijinal biriminde ifade edilen standart sapmadır.

Örnek

8 oyunculu iki takım, 10 soruluk aynı bilgi yarışmasını cevaplıyor. Puanları 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 ve 9 olan B takımını ele alalım.

1. Ortalamayı bulun. 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40 ve 40 ÷ 8 = 5
2. Ortalamayı her değerden çıkarın. Bu, −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4 sonucunu verir
3. Her farkın karesini alın. Bu, 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16 sonucunu verir
4. Kareleri toplayın. 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32
5. Değer sayısına bölün. 32 ÷ 8 = 4, bu da varyanstır
6. Karekökünü alın. √4 = 2, yani standart sapma 2'dir

Aynı işlemleri değer değer yazmak takip etmeyi kolaylaştırır.

• 2 − 5 = −3 ve (−3)² = 9
• 4 − 5 = −1 ve (−1)² = 1, üç kez
• 5 − 5 = 0 ve 0² = 0, iki kez
• 7 − 5 = 2 ve 2² = 4
• 9 − 5 = 4 ve 4² = 16

Farkların kendilerinin, yani −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 ve 4'ün toplamının 0 olduğuna dikkat edin. Bu her zaman böyledir ve bir sonraki bölümde görüleceği gibi kare alma adımının nedenini açıklar. Son adım bir karekök gerektirir ve birkaç tur karekök çalışması, bunları kafadan tahmin etmeyi çok hızlandırır.

Standart sapmanın formülü nedir?

Popülasyon standart sapması σ = √(Σ(x − μ)² ÷ N) şeklindedir. Burada x her bir değer, μ ortalama, N değer sayısıdır ve Σ "hepsini topla" anlamına gelir. Daha büyük bir gruptan alınan bir örneklem için N yerine n − 1'e bölünür. Bu versiyon s ile gösterilir.

Örnek

İlgilendiğiniz grubun tamamı B takımıysa N'yi kullanın. Varyans 32 ÷ 8 = 4 ve σ = √4 = 2 olur.

8 oyuncu bütün bir okulu temsil etmesi için seçilmiş bir örneklemse n − 1'i kullanın. Varyans 32 ÷ 7 ≈ 4,57 ve s = √4,57 ≈ 2,14 olur.

Örneklemde neden n − 1'e bölünür?

Bir örneklem genellikle tüm gruptaki en uç değerlerin bazılarını kaçırır, bu yüzden yayılımı biraz küçük çıkma eğilimindedir. Biraz daha küçük bir sayı olan n − 1'e bölmek sonucu biraz büyütür ve bunu düzeltir. Büyük örneklemlerde iki versiyon arasındaki fark çok küçülür.

Hesap makineleri ve elektronik tablolar çoğu zaman iki versiyonu da sunar. σ veya "popülasyon" yazan bir tuş ya da fonksiyon N'ye, s veya "örneklem" yazan ise n − 1'e böler. Öğretmenin veya ders kitabının hangisini beklediğini kontrol edin, çünkü ikisi de kendi durumunda doğrudur.

Standart sapmada farkların karesi neden alınır?

Ortalamadan farkların toplamı her zaman sıfırdır, çünkü ortalamanın üstündeki değerler altındakileri dengeler. Kare almak her farkı pozitif yapar, böylece birbirlerini artık götürmezler. Sondaki karekök de sonucu orijinal birime geri getirir, böylece puan cinsinden bir yayılım puanla ölçülür.

Örnek

B takımı için farklar −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 ve 4'tü. Toplamları 0'dır, dolayısıyla düz ortalamaları da 0'dır ve bu, yayılım hakkında hiçbir şey söylemez. Karesi alındıktan sonra 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 ve 16 olurlar ve toplamları 32'dir.

Kare almak, uzaktaki değerlere de daha fazla ağırlık verir. NIST Engineering Statistics Handbook bunu açık bir şekilde gösterir. Ortalamadan 2 birim uzaktaki bir nokta toplama 4 eklerken 10 birim uzaktaki bir nokta 100 ekler. Bu da standart sapmayı tek bir uç değere karşı duyarlı yapar, örneğin geri kalanı iyi puan almış bir gruptaki tek bir 0 puan gibi.

Kare almayı atlayan daha basit bir ölçü de vardır. Ortalama mutlak sapma, her değerin ortalamaya olan uzaklığını alır, eksi işaretlerini yok sayar ve bu uzaklıkların ortalamasını bulur. B takımı için 3, 1, 1, 1, 0, 0, 2 ve 4 uzaklıklarının toplamı 12'dir ve 12 ÷ 8 = 1,5'tir. Elle hesaplaması daha kolaydır, ancak çoğu istatistik aracı ve formülü standart sapma üzerine kuruludur.

Yüksek veya düşük standart sapma nedir?

Yüksek veya düşük standart sapma sayılan tek bir sayı yoktur. Bu, değerlerin büyüklüğüne ve neyi ölçtüklerine bağlıdır. 2 puanlık bir standart sapma, 10 üzerinden yarışma puanları için büyüktür ama 1.000 üzerinden puanlar için çok küçüktür. Onu ortalamayla ve olası değerlerin aralığıyla karşılaştırın.

Örnek

Şimdi B takımını aynı yarışmadaki A takımıyla karşılaştıralım.

• A takımı: 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 7
• B takımı: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9

İki takımın da ortalaması 5'tir, çünkü her listenin toplamı 40'tır ve 40 ÷ 8 = 5'tir. Ama A takımının puanları 5 civarında toplanırken B takımınınkiler 2'den 9'a kadar dağılmıştır. A takımının standart sapması 1 puan, B takımınınki ise 2 puandır.

Yalnızca ortalamaya bakılsa bu takımlar aynı görünürdü. Standart sapma, A takımının çok tutarlı olduğunu, B takımında ise çok önde ve çok geride oyuncular bulunduğunu gösterir.

Bir örnek daha

İki fırın da ortalama ağırlığı 500 g olan ekmekler satıyor. Birincisinde standart sapma 5 g'dır, yani neredeyse her ekmek 500 g'a yakın gelir. İkincisinde 40 g'dır, yani bazı ekmekler belirgin şekilde daha hafif, bazıları daha ağırdır. Ortalamalar aynıdır ama birinci fırın çok daha tutarlıdır.

Düşük standart sapma her zaman daha iyi değildir. Bir sınıfta sınav sonuçlarındaki yüksek standart sapma, yalnızca çocukların çok farklı aşamalarda olduğunu gösteriyor olabilir ve bu, öğretmen için faydalı bir bilgidir. Bir fabrikada düşük standart sapma genellikle makinelerin güvenilir olduğu anlamına gelir. Sayı yayılımı anlatır, bu yayılımın iyi haber olup olmadığına ise bağlam karar verir.

Standart sapma asla negatif olamaz, çünkü karesi alınmış sayıların karekökünden elde edilir. Yalnızca bütün değerler aynı olduğunda 0'dır.

68-95-99,7 kuralı ne anlama gelir?

Normal dağılıma, yani bilinen çan eğrisine uyan verilerde değerlerin yaklaşık %68'i ortalamadan bir standart sapma uzaklık içinde yer alır. Yaklaşık %95'i iki standart sapma, yaklaşık %99,7'si de üç standart sapma içinde yer alır. Buna ampirik kural denir ve bir standart sapmayı verinin hızlı bir resmine dönüştürür.

Örnek

Büyük bir gruptaki 1 km koşu sürelerinin, ortalaması 6 dakika ve standart sapması 1 dakika olan bir çan eğrisine uyduğunu varsayalım. O zaman koşucuların yaklaşık %68'i 5 ile 7 dakika arasında bitirir. Yaklaşık %95'i 4 ile 8 dakika arasında bitirir ve neredeyse herkes 3 ile 9 dakika arasında bitirir.

Kural yalnızca çan şeklindeki verilerde iyi çalışır. İki yarışma takımı gibi küçük gruplar ona nadiren tam uyar. Gelirler veya bekleme süreleri gibi çarpık verilerde ortalama ve standart sapma yanıltıcı bir resim verebilir ve medyan ile açıklık çoğu zaman veriyi daha iyi anlatır.

Ortalama her standart sapmanın başlangıç noktasıdır, bu yüzden ortalamaları hızlı bulabilmek işe yarar. İstatistik oyununda bir dövüşteki her saldırı bir istatistik sorusudur, bu yüzden kafadan ortalama bulmak bir turu kazanmanın parçası olur. Kısa ve sık turlar bu hızı tek bir uzun oturumdan daha iyi geliştirir.

Standart sapma, ortalamaya olan tipik uzaklıktır

Standart sapma tek bir soruyu cevaplar. Tipik bir değer ortalamadan ne kadar uzaktadır? Elle hesaplamanız gerektiğinde bu adımları kullanın.

1. Ortalamayı bulun.
2. Ortalamayı her değerden çıkarın.
3. Her farkın karesini alın.
4. Kareleri toplayın.
5. Bütün bir popülasyon için N'ye, bir örneklem için n − 1'e bölün.
6. Karekökünü alın.

Küçük bir sonuç değerlerin birbirine yakın olduğunu, büyük bir sonuç ise dağınık olduklarını gösterir. Onu her zaman ortalama ve birimlerle birlikte okuyun, çünkü bir yayılım ancak bağlam içinde anlam kazanır.