Silindirin hacmi nasıl hesaplanır?
Silindirin hacmini hesaplamak için daire şeklindeki tabanın yarıçapının karesini al, yaklaşık 3,14 olan π ile çarp ve sonra yükseklikle çarp. Bu, V = πr²h formülüdür. Cevabı cm³ veya m³ gibi küp birimlerle yaz, çünkü hacim bir uzunluğu ya da yüzeyi değil, bir cismin içindeki boşluğu ölçer.
Örnek
Yarıçapı 3 cm ve yüksekliği 10 cm olan bir silindirin hacmini bul.
- Yarıçapın karesini al. 3 · 3 = 9
- Taban alanını bulmak için π ile çarp. 9 · π ≈ 28,27 cm²
- Yükseklikle çarp. 9π · 10 = 90π
- Küp birimi ekle. Hacim yaklaşık 282,74 cm³ olur
Cevabı 90π cm³ olarak da bırakabilirsin. Bu tam gösterim yuvarlamayı önler ve üst sınıflarda sık kullanılır.
En sık yapılan hata, yarıçapın karesini almak yerine yarıçapı 2 ile çarpmaktır. Yarıçap 3 cm ise 3 · 2 = 6, ama 3² = 9. Bir diğer hata da yüksekliğin de karesini almaktır. Yalnızca yarıçapın karesi alınır, çünkü yalnızca taban bir dairedir.
Silindirin hacmi neden πr²h'dir?
Silindir, üst üste dizilmiş bozuk paralar gibi, birbirinin aynısı dairelerden oluşan bir yığındır. Her dairenin alanı πr²'dir ve yığının yüksekliği h birimdir. Bu yüzden hacim, taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır. Prizmalar da aynı kurala uyar, V = taban alanı · yükseklik.
Örnek
Her birinin alanı 20 cm² olan ince, yuvarlak krakerlerden oluşan bir yığın düşün. Yığın 5 cm yüksekliğindeyse 20 · 5 = 100 cm³ yer kaplar. Taban alanı 20 cm² ve yüksekliği 5 cm olan bir silindirin hacmi de aynıdır.
Bu görüntü, silindirin şekli değiştiğinde ne olduğunu da açıklar. Yüksekliği iki katına çıkarırsan katman sayısı da iki katına çıkar, yani hacim iki katına çıkar. Yarıçapı iki katına çıkarırsan her katman dört kat büyür, çünkü yarıçapın karesi alınır. Böylece hacim dört katına çıkar.
Silindir, iki yuvarlak cisimle de güzel bir ilişki içindedir. Aynı tabana ve yüksekliğe sahip bir koni, silindirin tam olarak üçte biri kadar hacme sahiptir. Silindirin içine tam oturan bir küre ise silindirin üçte ikisini kaplar. Britannica'ya göre Arşimet bu sonuçla o kadar gurur duyuyordu ki mezarına işlenmesini istedi.
Çapı bilinen bir silindirin hacmi nasıl bulunur?
Hacmi çaptan bulmak için çapı ikiye bölerek yarıçapı bul, sonra V = πr²h formülünü kullan. Çap, daire şeklindeki tabanın merkezinden geçerek bir kenardan diğerine uzanan uzaklıktır, yani yarıçapın iki katıdır. Tek adımda formül V = πd²h : 4 olur ve tam olarak aynı sonucu verir.
Örnek
Bir konserve kutusunun çapı 8 cm, yüksekliği 12 cm. Çapı ikiye bölersen yarıçap 4 cm olur. O zaman 4² · π · 12 = 192π ≈ 603,19 cm³.
Tek adımlı formülle 8² = 64, sonra 64 · π · 12 : 4 = 192π ≈ 603,19 cm³. İki yol da aynı sonucu verir.
Çapı doğrudan πr²h'ye koymak çok yaygın bir hatadır. Yukarıdaki kutu için bu, 64 · π · 12 ≈ 2.412,74 cm³ verir ve bu dört kat fazladır. Bir cevap şaşırtıcı derecede büyük görünüyorsa önce çapı ikiye bölüp bölmediğini kontrol et.
Silindirin hacmi litreye nasıl çevrilir?
Silindirin hacmini litreye çevirmek için hacmi santimetreküp olarak hesapla ve 1.000'e böl, çünkü 1 litre 1.000 cm³'tür. Hacim metreküp olarak verilmişse bunun yerine 1.000 ile çarp, çünkü 1 m³ 1.000 litre alır. Başlamadan önce bütün ölçülerin aynı birimde olduğundan emin ol.
Örnek
Bir su bardağının içten ölçülen çapı 7 cm, yüksekliği 10 cm.
- Yarıçapı bul. 7 : 2 = 3,5 cm
- Hacmi bul. 3,5² · π · 10 ≈ 384,85 cm³
- Litreye çevir. 384,85 : 1.000 ≈ 0,38 litre, yani yaklaşık 385 mL
Daha büyük bir örnek olarak yarıçapı 0,5 m ve yüksekliği 1,2 m olan bir su deposunu ele al. Hacmi 0,5² · π · 1,2 ≈ 0,94 m³'tür. 1.000 ile çarparsan deponun yaklaşık 942 litre su aldığını bulursun.
Sık karşılaşılan bir sorun karışık birimlerdir, örneğin yarıçapın santimetre, yüksekliğin metre olarak verilmesi. Önce her şeyi tek bir birime çevir. Birkaç tur birim dönüştürme oyunuyla cm³, m³, mililitre ve litre arasında geçiş yapmak çok daha hızlı hale gelir.
Hacmi bilinen bir silindirin yüksekliği veya yarıçapı nasıl bulunur?
Yüksekliği bulmak için hacmi taban alanına böl, yani h = V : (πr²). Yarıçapı bulmak için hacmi π ile yüksekliğin çarpımına böl, sonra karekökünü al, yani r = √(V : (πh)). İki formül de V = πr²h'nin adım adım tersten çözülmüş halidir.
Örnek
Silindir şeklindeki bir sürahi 1 litre, yani 1.000 cm³ su almalı ve yarıçapı 5 cm. Yüksekliği 1.000 : (π · 5²) = 1.000 : 78,54 ≈ 12,73 cm olmalıdır.
Şimdi tersini yapalım. Yüksekliği 10 cm olan bir silindir 500 cm³ alıyor. Yarıçapı √(500 : (π · 10)) = √15,92 ≈ 3,99 cm olur.
İki cevabı da kontrol etmek için sayıları tekrar V = πr²h'ye koy. Sürahi için π · 5² · 12,73 ≈ 1.000 cm³, yani yükseklik doğru.
Formül, farklı sayılarla sık kullandığında en iyi akılda kalır. Geometri oyununda bir dövüşteki her saldırı bir şekil sorusudur, bu yüzden πr²h'yi hızlıca hatırlamak bir turu kazanmanın parçası olur. Oyunda π, 3 olarak alınır, bu yüzden her cevap kafandan hesaplayabileceğin bir tam sayıdır. Kısa ve sık turlar, tek bir uzun oturumdan daha iyi sonuç verir.
İçi boş silindirin hacmi nasıl bulunur?
Boru gibi içi boş bir silindir, ortasından daha küçük bir silindir çıkarılmış büyük bir silindirdir. Dış silindirin hacmini bul, boşluğun hacmini çıkar, geriye kalan malzemedir. Formül olarak bu V = π(R² − r²)h şeklindedir, burada R dış yarıçap, r ise iç yarıçaptır.
Örnek
Bir boru 100 cm uzunluğunda, dış yarıçapı 5 cm ve iç yarıçapı 4 cm.
- İki yarıçapın da karesini al. 5² = 25 ve 4² = 16
- Çıkar. 25 − 16 = 9
- π ve uzunlukla çarp. 9 · π · 100 = 900π ≈ 2.827,43 cm³
Yaygın bir hata, yarıçapların karesini almadan önce onları birbirinden çıkarmaktır. Bu, (5 − 4)² · π · 100 = 100π ≈ 314,16 cm³ verir ve çok küçüktür. Önce her yarıçapın karesini al, sonra çıkar.
Önce taban alanını bul, sonra yükseklikle çarp
Silindirin hacmiyle ilgili her soru aynı iki adıma dayanır. Daire şeklindeki tabanın alanını bul, sonra yükseklikle çarp. Doğru başlangıç noktasını seçmek için bu listeyi kullan.
- Yarıçap r ve yükseklik h verilmişse: V = πr²h
- Çap d verilmişse: r = d : 2 veya V = πd²h : 4
- Yüksekliği bulmak için: h = V : (πr²)
- Yarıçapı bulmak için: r = √(V : (πh))
- İçi boş silindir: V = π(R² − r²)h
- Litre: cm³ : 1.000 veya m³ · 1.000
Cevabı küp birimlerle yaz ve hacim doğru bulunduktan sonra, en sonda litreye çevir.