Sayı doğrusunda tam sayılar
Sayı doğrusunda tam sayılar, 0'dan ileri ya da geri saydığında durduğun, aralarında eşit mesafe olan noktalardır. 1/2, 3,5 ya da √2 gibi sayılar bu noktaların arasındaki boşluklarda kalır, bu yüzden tam sayı değildir. Aşağıda tam sayıları nasıl ayırt edeceğini, sıfırın neden tam sayı olduğunu ve işaret kurallarının aslında nasıl işlediğini bulacaksın.
Bir sayının tam sayı olduğunu nasıl anlarsın?
Bir sayıyı kesir ya da ondalık kısım olmadan yazabiliyorsan o sayı bir tam sayıdır. Pozitif, negatif ya da sıfır olabilir. OpenStax Prealgebra 2e (İngilizce) ders kitabı bunu basitçe özetler, tam sayılar sayma sayıları, bunların ters işaretlileri ve sıfırdır. Yani 7, −7 ve 0 tam sayıdır, ama 7,5 değildir.
Örnek
Şu hızlı kontrolleri dene.
- −12 bir tam sayıdır, çünkü 12 sayma sayısının ters işaretlisidir.
- 0 bir tam sayıdır.
- 3,5 tam sayı değildir, çünkü ondalık kısmı vardır.
- 1/2 tam sayı değildir.
- 8/2 bir tam sayıdır, çünkü 8/2 = 4.
- √9 bir tam sayıdır, çünkü √9 = 3.
- √2 tam sayı değildir, çünkü yaklaşık 1,41'dir.
Son örnekler faydalı bir alışkanlığı gösterir. Önce değerini hesapla, sonra karar ver. Bir sayı kesir ya da köklü ifade gibi görünse de tam sayı çıkabilir.
0 bir tam sayı mıdır?
Evet, 0 bir tam sayıdır. Sayı doğrusunun ortasında, negatif ve pozitif tam sayıların arasında yer alır. OpenStax'ın da açıkça belirttiği gibi sıfır ne pozitif ne de negatiftir. Ama çift sayıdır, çünkü 0 = 2 × 0, yani 2'ye kalansız bölünür.
Negatif sayılar tam sayı mıdır?
Negatif sayılar ancak kesirli ya da ondalıklı kısımları yoksa tam sayıdır. −5 ve −100 tam sayıdır. −2,5 ve −3/4 negatiftir, ama tam sayı değildir. Aynı test, işareti ne olursa olsun her sayı için işe yarar.
Tam sayılar ile doğal sayılar arasındaki fark nedir?
Türkiye'deki ders kitaplarında doğal sayılar 0, 1, 2, 3 diye devam eder ve negatif sayı içermez. 1, 2, 3 diye başlayan sayılara ise sayma sayıları denir. Tam sayılar bütün doğal sayıları ve bunlara ek olarak −1, −2, −3 gibi negatif sayıları kapsar. Bu yüzden −4 bir tam sayıdır ama doğal sayı değildir. Bazı kaynaklar doğal sayıları 1'den başlatır, bu yüzden çocuğunuzun okulunun hangi tanımı kullandığına bakmakta fayda var.
Örnek
Temel sayı kümeleri birbirinin içine şöyle yerleşir.
- Sayma sayıları: 1, 2, 3, 4, …
- Doğal sayılar: 0, 1, 2, 3, 4, …
- Tam sayılar: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
- Rasyonel sayılar: iki tam sayının kesri olarak yazılabilen bütün sayılar, örneğin 1/2, −3/4 ve 7 (yani 7/1)
Matematikçiler tam sayılar kümesini ℤ ile gösterir. Bu harf, “sayılar” anlamına gelen Almanca Zahlen kelimesinden gelir. Doğal sayılar için de ℕ sembolünü görebilirsin. Doğal sayılar konusunda bile küçük bir anlaşmazlık vardır, çünkü bazı kitaplar onları 0'dan, bazıları 1'den başlatır.
Tam sayıları günlük hayatta nerede görürüz?
Tam sayılar, bir sıfır noktasından yukarı ve aşağı saydığımız her yerde karşımıza çıkar. Sıfırın altındaki sıcaklıklar, zemin katın altındaki katlar, deniz seviyesinin altındaki derinlikler ve bir futbol takımının averajı, negatif olabilen tam sayılardır. Bu durumların hepsinde 0 “hiçbir şey” değil, bir başlangıç noktasıdır.
Örnek
Sabah hava −4 °C ve öğle yemeğine kadar sıcaklık 7 derece yükseliyor. −4'ten başla ve sayı doğrusunda 7 adım yukarı say, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. Öğlen sıcaklık 3 °C olur, yani −4 + 7 = 3.
Asansörde zemin kat genellikle 0'dır, otopark −2. katta olabilir ve beşinci kat 5'tir. −2'den 5'e çıkmak 7 kat yol almak demektir, çünkü 5 − (−2) = 7.
Tam sayılarla toplama ve çıkarma nasıl yapılır?
Tam sayıları toplarken bir sayı doğrusu hayal et. Pozitif bir sayı eklemek seni sağa, negatif bir sayı eklemek sola götürür. Çıkarma toplamanın tersidir, bu yüzden negatif bir sayıyı çıkarmak seni sağa götürür. Negatif bir sayıyı çıkarınca sonucun büyümesinin nedeni budur.
Örnek
−3 + 5 işlemini yap. −3'ten başla ve sağa 5 adım at. −2, −1, 0 ve 1'i geçip 2'de durursun. Yani −3 + 5 = 2.
Denemen için birkaç örnek daha.
- −6 + 2 = −4, çünkü −6'dan sağa 2 adım seni −4'e götürür.
- −2 − 5 = −7, çünkü −2'den sola 5 adım seni −7'ye götürür.
- 4 − (−3) = 7, çünkü −3'ü çıkarmak 3 eklemekle aynıdır.
Negatif bir sayıyı çıkarmak neden sonucu büyütür?
Çıkarma, “fark ne kadar?” diye sormaktır. Sayı doğrusunda 4 ile −3 arasındaki fark 7 adımdır, bu yüzden 4 − (−3) = 7. OpenStax genel kuralı a − (−b) = a + b olarak yazar. Pek çok çocuk −5 + 4 işleminde takılır, çünkü artı işareti görüp daha büyük bir sayı bekler. −5'ten başlayıp 4 adım sağa gidince sonucun −1 olduğu görülür.
Eksi ile eksinin çarpımı neden artıdır?
İki tam sayıyı çarptığında işaretler aynıysa sonuç pozitif, farklıysa negatiftir. Negatif ile negatifin çarpımı bir örüntü yüzünden pozitiftir. İlk sayı her seferinde 1 azaldığında sonuç aynı miktarda değişir ve bu örüntü ancak sonuç pozitif olursa devam eder.
Örnek
İlk sayı her seferinde 1 azalırken 3 × (−2) işlemine ne olduğuna bak.
- 3 × (−2) = −6
- 2 × (−2) = −4
- 1 × (−2) = −2
- 0 × (−2) = 0
- (−1) × (−2) = 2
- (−2) × (−2) = 4
Her sonuç bir öncekinden 2 fazladır. Örüntünün sıfırı geçince de sürmesi için (−1) × (−2) sonucunun 2 olması gerekir. Bunu şöyle de düşünebilirsin, −1 ile çarpmak seni sayı doğrusunda geri döndürür. İki kez dönersen yine aynı yöne bakarsın.
Tam sayılarla bölmede de aynı işaret kuralı geçerli mi?
Evet. (−12) ÷ 3 = −4 ve (−12) ÷ (−3) = 4, aynı ve farklı işaretlerle ilgili aynı kurala göre. Ama bir fark var. İki tam sayıyı toplamak, çıkarmak ya da çarpmak her zaman bir tam sayı verir, bölmek ise her zaman vermez. 8 ÷ 2 = 4 bir tam sayıdır, ama 7 ÷ 2 = 3,5 değildir.
Tam sayılarla nasıl daha hızlı işlem yapılır?
Tam sayılarda hız, sayı doğrusu kafana yerleşene kadar çok sayıda kısa işlem yapmakla gelir. Negatif sayılar oyununda her saldırı negatif sayılarla yapılan hızlı bir işlemdir, böylece çocuklar dövüşü kazanmaya çalışırken işaret kurallarını da çalışmış olur.
Yukarıdaki turda −17'yi çıkarmak 17 eklemekle aynıdır, bu yüzden −1 − (−17) = −1 + 17 = 16.
Bir sayının sıfıra olan uzaklığına mutlak değer denir, yani −5'in mutlak değeri 5'tir. Öğrencilerin çoğu tam sayılardan sonra bu konuyla tanışır ve mutlak değer oyunu onu bir dizi hızlı tura dönüştürür.
Tam sayılar ileri ya da geri sayarak ulaşabildiğin sayılardır
Her tam sayı, 0'dan sayarak ulaşabileceğin bir adımdır, pozitif sayılar için sağa, negatif sayılar için sola. Sıfır ortadadır ve o da bu gruba aittir. Bir çocuk bu sayı doğrusunu gözünün önüne getirebiliyorsa toplama, çıkarma ve çarpma kuralları ezberlenecek kurallar olmaktan çıkar ve anlam kazanmaya başlar.
Sırada bunları çalış