φ，一个名气很大的数
数学家用希腊字母 φ（读作“fai”）来表示它。传说它藏在向日葵、著名建筑和漂亮的脸庞里。这些名声有一部分是实至名归，但很大一部分并不是。下面先讲数学，再老老实实地说说它到底在哪里真正出现。
黄金分割比怎么计算？
黄金分割比用公式 φ = (1 + √5) ÷ 2 来计算。5 的平方根约等于 2.236，加上 1，再除以 2，就得到约 1.618。因为 φ 是无理数，它的小数部分无限不循环。日常使用时，取 1.618 就足够精确了。
例子
用计算器分三步算出来。
- √5 ≈ 2.236
- 1 + 2.236 = 3.236
- 3.236 ÷ 2 = 1.618
所以 φ ≈ 1.618。如果需要更精确，保留十位小数是 φ = 1.6180339887。
φ 的公式是怎么来的？
取一条线段，把它分成较长的一段 a 和较短的一段 b。如果整条线段与长段之比，等于长段与短段之比，这种分法就叫黄金分割。用符号写就是 (a + b) ÷ a = a ÷ b。这个相等的比值就是 φ。
现在设短段为 1，那么长段就是 φ。上面的规则变成 (φ + 1) ÷ φ = φ。两边同乘 φ，得到 φ² = φ + 1，也就是 φ² − φ − 1 = 0。这是一个一元二次方程，它的正根就是 (1 + √5) ÷ 2。大英百科全书（英文）也介绍了同样的变形，得到 x² − x − 1 = 0。
为什么 1.618、0.618 和 2.618 长得这么像？
因为 φ² = φ + 1，所以把 φ 平方就相当于加上 1，于是 φ² ≈ 2.618。把同一个方程两边除以 φ，得到 φ = 1 + 1 ÷ φ，也就是 1 ÷ φ = φ − 1 ≈ 0.618。这就是三个不同的数小数部分相同的原因。
黄金分割比为什么这么特别？
黄金分割比之所以特别，是因为 φ 是唯一一个满足“平方等于它加 1、倒数等于它减 1”的正数。它还把几何和计数联系在一起。把线段均衡地分开、画一个正五边形、用相邻的斐波那契数相除，都会得到同一个值。
例子
在边长为 1 的正五边形里，每条对角线（连接两个不相邻顶点的线段）的长度正好是 φ，约 1.618。所以画在正五边形里的五角星到处都是黄金比例。五角星的每个角都被其他线条按黄金比例分割。
这个想法非常古老。据大英百科全书介绍，它可以追溯到欧几里得，他在《几何原本》中把这种分法称为“中外比”。
黄金分割比和圆周率是一回事吗？
不是。圆周率（π ≈ 3.14）是圆的周长与直径之比，而黄金分割比（φ ≈ 1.618）来自线段的分割。两者都是小数无限不循环的无理数，这大概就是人们容易把它们搞混的原因。它们的数值不同，来源的图形也不同。
黄金分割比和斐波那契数列是一回事吗？
黄金分割比和斐波那契数列不是一回事，但关系非常密切。斐波那契数列是一列自然数，每个数都等于前两个数之和。用每个斐波那契数除以它前面的那个数，结果会越来越接近黄金分割比。
例子
从斐波那契数列中取相邻的两个数相除。
- 5 ÷ 3 ≈ 1.667
- 8 ÷ 5 = 1.6
- 13 ÷ 8 = 1.625
- 21 ÷ 13 ≈ 1.615
- 34 ÷ 21 ≈ 1.619
- 89 ÷ 55 ≈ 1.618
结果在 1.618 上下来回跳动，很快就稳定下来。算到 144 ÷ 89 时，结果已经和 φ 前三位小数相同。这是一个很适合孩子的计算器小活动，他们能亲眼看到普通的除法里冒出规律来。
找出一列数背后的规律，是一种远远超出斐波那契数列的能力。在数列游戏里，每次攻击都是一个缺了一个数的数列，你要比对手更快找出规律。
在上图这一回合里，每个数都比前一个数大 5，所以缺的数是 24。
怎样画一个黄金矩形？
黄金矩形的长边约是短边的 1.618 倍。画的时候，用短边乘 1.618，或者用长边除以 1.618 求出短边。你也可以从一个正方形出发，用圆规精确地作出来，完全不用量任何小数。
例子
如果短边是 10 厘米，长边就是 10 × 1.618 ≈ 16.2 厘米。如果一个网页宽 1000 像素，想按黄金比例分割，就除以 φ，得到约 618 像素的主栏和约 382 像素的侧栏。
用圆规作图的步骤如下。
- 画一个边长为 1 的正方形（比如 1 分米）。
- 标出下边的中点。
- 把圆规的针尖放在这个中点上，张开到对面一侧的上顶点。这段距离是 √5 ÷ 2，约 1.118。
- 把圆规向下旋转，交到下边的延长线上。新的长度是 0.5 + 1.118 = 1.618。
- 把矩形补完整。它的两边分别是 1 和 φ。
从黄金矩形上切掉那个正方形，剩下的部分又是一个黄金矩形。不断重复，并在每个正方形里画四分之一圆，就得到黄金比例图片里常见的那条螺旋线。这类几何知识也出现在几何游戏里，图形、角和面积都会变成快速挑战。
自然界中哪里有黄金分割？
自然界中最明显的例子，是许多植物排列叶子和种子的方式。向日葵花盘上每颗新种子相对于上一颗，都大致转过同样的角度，约 137.5°。这个黄金角能让种子排得紧密又没有空隙，并形成一条条螺旋，螺旋的条数常常是斐波那契数。
例子
黄金角直接来自 φ。用一整圈除以 φ²，得到 360° ÷ 2.618 ≈ 137.5°。换个角度看，这个转角把圆周分成约 222.5° 和 137.5° 两段弧，两段弧正好成黄金比例。
诺丁汉大学研究人员在 2022 年发表的综述 The Golden Ratio in Nature（英文）收集了各种尺度上的例子，并写到这个比例“有出现在许多不同科学和艺术领域的倾向”。“倾向”这个词用得很准确。很多植物遵循的是别的规律，所以它并不是自然定律。
鹦鹉螺的壳是黄金螺旋吗？
通常不是。鹦鹉螺按对数螺线生长，长大时形状保持不变，这本身就很美。对真实贝壳的测量通常得出与 φ 不同的生长比例。把黄金螺旋画在鹦鹉螺照片上，只是一张好看的图，并不是测量结果。
艺术、建筑和人脸里真的有黄金分割吗？
大多数时候没有。所谓帕特农神庙、名画或好看的脸符合黄金分割的说法，经不起仔细测量。数学家托马斯·布里茨（新南威尔士大学）2022 年在 The Conversation（英文）上撰文指出，φ 在古希腊艺术和建筑中极少出现。
例子
关于帕特农神庙的流行说法是，它的正面正好可以放进一个黄金矩形。布里茨写道，仔细计算表明这种说法是错的。给明星打分的“黄金比例颜值测试”也是如此。它们所依据的“完美脸型面具”早已被证伪，也不存在某一个数能决定一张脸美不美。
这个误区能流传下来，一个常见原因是只挑符合的例子。几乎任何建筑或人脸上，都能找到某两段长度的比接近 1.6，尤其是你可以自己决定量哪里的时候。像 3 ÷ 2 = 1.5 或 16 ÷ 9 ≈ 1.78 这样的比例同样看着舒服，而且在屏幕和照片中常见得多。公平的检验会看很多对象，既数对上的，也数对不上的。
艺术家和设计师会刻意使用黄金比例吗？
有些会。设计师有时把 1.618 作为排版、画框或字号的起点，因为这样分出来的比例既不会太平均，也不会太失衡。这是一种设计选择，并不能证明美的东西里都藏着这个比例。它和其他协调的比例一样好用。
黄金分割是真正的数学，而不是审美法则
黄金分割比是一个精确的数，(1 + √5) ÷ 2 ≈ 1.618，它的性质让数学家会心一笑。平方等于加 1，1 除以它等于减 1，斐波那契数之比会越来越接近它。它决定了许多植物种子的螺旋排列，而大多数关于人脸和名建筑的故事，不过是带着期待去量出来的结果。
和孩子一起探索它，最好的办法是动手做。用计算器算斐波那契数相除，用圆规画一个黄金矩形，或者数一数松果上的螺旋。每个活动都能展示真实的规律，而且都不需要神话来让它变得有趣。