Com es calcula l'àrea del cercle?
Per calcular l'àrea d'un cercle, eleva al quadrat el radi, que és la distància del centre a la vora, i multiplica el resultat per π, que val uns 3,14. Escriu la resposta en unitats quadrades, com cm² o m², perquè l'àrea mesura una superfície i no una longitud.
Exemple
Calcula l'àrea d'un cercle de 5 cm de radi.
- Eleva el radi al quadrat. 5 × 5 = 25
- Multiplica per π. 25 × π ≈ 78,54
- Afegeix les unitats quadrades. L'àrea és d'uns 78,54 cm²
També pots deixar la resposta com a 25π cm². Aquesta forma exacta és habitual als cursos superiors, perquè evita arrodonir.
Faig servir 3,14 o la tecla π?
Les dues opcions són vàlides, sempre que segueixis el que demani el professor o l'enunciat. π és un nombre irracional, així que els seus decimals no s'acaben mai ni es repeteixen, com explica Britannica. Amb 3,14 obtens 25 × 3,14 = 78,5 cm², mentre que amb la tecla π obtens 78,54 cm². La petita diferència ve només de l'arrodoniment de π.
Errors freqüents amb la fórmula
L'error més freqüent és multiplicar el radi per 2 en lloc d'elevar-lo al quadrat. Amb un radi de 5 cm, 5 × 2 = 10, però 5² = 25. Una altra relliscada és multiplicar primer π pel radi i després elevar al quadrat tot el resultat. La jerarquia de les operacions diu que la potència va primer, així que eleva el radi al quadrat abans de multiplicar per π.
Com es calcula l'àrea del cercle a partir del diàmetre?
Per calcular l'àrea a partir del diàmetre, divideix el diàmetre entre 2 per obtenir el radi i després fes servir A = πr². El diàmetre travessa el cercle d'una banda a l'altra passant pel centre, així que fa el doble que el radi. En un sol pas, la fórmula és A = πd² : 4, que dona exactament el mateix resultat.
Exemple
Un cercle té un diàmetre de 10 cm. Divideix-lo entre 2 i obtens un radi de 5 cm. Llavors 5² × π = 25π ≈ 78,54 cm².
Amb la fórmula d'un sol pas, 10² = 100, i després 100 × π : 4 = 25π ≈ 78,54 cm². Els dos camins coincideixen.
Un error molt comú és posar el diàmetre directament a πr². Amb 10 cm, això dona 100π ≈ 314,16 cm², que és quatre vegades massa. Si un resultat et sembla sorprenentment gran, comprova si has fet servir el diàmetre sense voler.
Com es calcula l'àrea del cercle a partir de la longitud de la circumferència?
Per calcular l'àrea a partir de la longitud de la circumferència, primer troba el radi dividint la longitud entre 2π. Després fes servir A = πr². La circumferència és la línia que envolta el cercle, i la seva longitud és 2πr. Si prefereixes un sol pas, la fórmula és A = C² : (4π), on C és la longitud de la circumferència.
Exemple
Un parterre rodó té una circumferència de 30 m de longitud. Calcula'n l'àrea.
- Troba el radi. 30 : (2 × π) ≈ 4,77 m
- Troba l'àrea. Deixa el radi complet a la calculadora. π × 4,7746² ≈ 71,6 m²
- Comprova-ho amb la fórmula d'un sol pas. 30² : (4 × π) = 900 : 12,566 ≈ 71,6 m²
Si primer arrodoneixes el radi a 4,77, obtens π × 4,77² ≈ 71,5 m². Aquesta petita diferència és el motiu pel qual convé arrodonir només al final.
Per què l'àrea del cercle és πr²?
Talla un cercle en moltes porcions iguals, com una pizza, i posa-les en fila, una cap amunt i l'altra cap avall. Les porcions formen una figura que és gairebé un rectangle. La seva altura és el radi, r, i la seva base és la meitat de la longitud de la circumferència, πr. Per tant, la seva àrea és πr × r, és a dir, πr².
Exemple
Imagina un cercle de 5 cm de radi tallat en 16 porcions. La meitat de les porcions apunten cap amunt i l'altra meitat cap avall. La fila fa el mateix que mitja circumferència, π × 5 ≈ 15,7 cm, i té l'altura del radi, 5 cm. Per tant, l'àrea és d'uns 15,7 × 5 ≈ 78,5 cm², igual que amb la fórmula.
Amb només 16 porcions, les vores encara són una mica ondulades. Amb 100 o 1.000 porcions, la figura s'assembla cada vegada més a un rectangle perfecte. Aquesta és la idea que hi ha darrere de la fórmula, i és molt més fàcil de recordar que la fórmula sola.
El matemàtic grec Arquimedes va treballar en aquest problema fa més de 2.000 anys. Britannica explica com va demostrar que l'àrea d'un cercle dividida entre el quadrat del seu radi és sempre el mateix nombre, i com va fer servir polígons dins i fora d'un cercle per mostrar que π és entre 223/71 i 22/7.
Una manera ràpida de comprovar el resultat
Un cercle cap just dins d'un quadrat que té els costats tan llargs com el diàmetre. Aquest quadrat té una àrea de 2r × 2r = 4r². El cercle n'ocupa una mica més de tres quartes parts, al voltant del 78,5 %, perquè π : 4 ≈ 0,785. Així, si un cercle de 5 cm de radi és dins d'un quadrat de 10 cm de costat i 100 cm², la seva àrea ha de ser una mica menys de 80 cm². És de 78,54 cm².
La fórmula es queda millor quan la fas servir sovint, amb nombres diferents. Al joc de geometria, cada atac d'un combat és una pregunta sobre figures, així que recordar πr² ràpidament forma part de guanyar una ronda. Al joc π val 3, així que totes les respostes són nombres enters que pots calcular de cap. Les rondes curtes i freqüents funcionen millor que una sessió llarga.
Com es calcula el radi si coneixes l'àrea?
Per trobar el radi a partir de l'àrea, recorre la fórmula al revés. Divideix l'àrea entre π i després fes l'arrel quadrada del resultat. Com a fórmula, queda r = √(A : π). Multiplica el radi per 2 si el que necessites és el diàmetre.
Exemple
Un cercle té una àrea de 50 cm². Divideix entre π. 50 : π ≈ 15,92. Després fes l'arrel quadrada. √15,92 ≈ 3,99, així que el radi fa uns 3,99 cm i el diàmetre uns 7,98 cm.
Per comprovar-ho, torna a posar el radi a la fórmula. π × 3,99² ≈ 50,0 cm². Si tens les arrels quadrades una mica rovellades, unes quantes rondes d'arrels quadrades fan aquest pas molt més ràpid.
Una pizza gran és més que dues de petites?
Moltes vegades, sí. Com que el radi va al quadrat, si dupliques el diàmetre d'un cercle, la seva àrea es multiplica per quatre. Una pizza de 30 cm de diàmetre té una àrea d'uns 707 cm². Dues pizzes de 20 cm de diàmetre sumen uns 628 cm², així que la pizza gran et dona més.
Exemple
A la pizza de 30 cm, el radi és de 15 cm, així que l'àrea és π × 15² ≈ 706,9 cm². En una pizza de 20 cm, el radi és de 10 cm, així que l'àrea és π × 10² ≈ 314,2 cm². Les dues juntes sumen uns 628,3 cm², uns 79 cm² menys que la pizza gran.
Aquest tipus de comparació és una manera estupenda d'ensenyar als infants per què importa elevar al quadrat. Un cercle només una mica més ample cobreix molta més superfície.
Quina és l'àrea d'un semicercle?
Un semicercle és mig cercle, així que la seva àrea és la meitat de πr², és a dir, πr² : 2. Per a un semicercle de 5 cm de radi, l'àrea és 25π : 2 ≈ 39,27 cm². Recorda fer servir el radi i no la longitud del costat recte, que és el diàmetre.
Troba primer el radi i la resta ve sola
Gairebé qualsevol problema d'àrea del cercle es torna fàcil quan coneixes el radi. Fes servir aquesta llista per triar el primer pas correcte.
- Si coneixes el radi r: A = πr²
- Si coneixes el diàmetre d: r = d : 2, o A = πd² : 4
- Si coneixes la longitud de la circumferència C: r = C : (2π), o A = C² : (4π)
- Si coneixes l'àrea i busques el radi: r = √(A : π)
- Semicercle: A = πr² : 2
Escriu al final les unitats al quadrat i fes servir la comprovació del quadrat per veure si el resultat té més o menys la mida correcta.
Entrena aquestes a continuació