Com es calcula la longitud de la circumferència a partir del radi o del diàmetre?
Per calcular la longitud d'una circumferència, multiplica el diàmetre per π, que val aproximadament 3,14, és a dir, C = πd. El diàmetre és la distància d'un costat a l'altre passant pel centre. Si només coneixes el radi, la distància del centre a la vora, primer duplica'l o fes servir C = 2πr. Els dos camins donen la mateixa longitud.
Exemple
Calcula la longitud d'una circumferència de radi 4 cm.
- Duplica el radi per obtenir el diàmetre. 2 × 4 = 8 cm
- Multiplica per π. 8 × π ≈ 25,13
- Afegeix la unitat. La longitud és d'uns 25,13 cm
També pots deixar el resultat com a 8π cm. Aquesta forma exacta és habitual als cursos superiors, perquè evita arrodonir.
Amb el diàmetre, n'hi ha prou amb un sol pas. Una taula rodona d'1,2 m de diàmetre té una vora d'1,2 × π ≈ 3,77 m, així que una tira de motllura per envoltar-la ha de fer una mica menys de 4 m.
Fer servir 3,14 o la tecla π?
Les dues opcions són vàlides, sempre que segueixis el que demana l'enunciat. π és un nombre irracional, així que els seus decimals no s'acaben mai ni es repeteixen, i Britannica assenyala que 3,14 o 22/7 són les aproximacions habituals del dia a dia. Amb 3,14, el primer exemple dóna 8 × 3,14 = 25,12 cm. Amb la tecla π de la calculadora, dóna 25,13 cm. La petita diferència ve només de l'arrodoniment de π.
L'error més freqüent
L'error que fa perdre més punts als exàmens és posar el diàmetre a C = 2πr. Amb un diàmetre de 10 cm, això dóna 2 × π × 10 ≈ 62,83 cm, el doble del que toca. La resposta correcta és 10 × π ≈ 31,42 cm. Si tens el diàmetre, fes servir πd. Si tens el radi, fes servir 2πr.
Per què la longitud de la circumferència és π pel diàmetre?
π es defineix com la longitud d'una circumferència dividida pel seu diàmetre. Totes les circumferències, des d'una moneda fins a un planeta, tenen la mateixa forma, així que aquesta raó no canvia mai. Per això C = πd funciona amb qualsevol circumferència. Si fas rodar un cercle sobre una línia durant una volta completa, recorre una mica més de tres diàmetres.
Exemple
Imagina una moneda de 2 cm de diàmetre. Marca un punt a la seva vora i fes-la rodar sobre un regle exactament una volta. La marca torna a tocar el regle a uns 6,28 cm, perquè 2 × π ≈ 6,28. Tres diàmetres fan 6 cm, i el petit tros extra són els 0,28 cm que converteixen el 3 en 3,14.
Pots comprovar-ho a casa amb una llauna rodona, un tros de cordill i un regle, o amb qualsevol objecte rodó i una cinta mètrica. Mesura la longitud de la vora i el diàmetre, i divideix la primera pel segon. El resultat sempre s'acosta a 3,14, i els petits errors vénen de mesurar a mà.
William Jones va ser el primer a fer servir la lletra grega π per a aquesta raó, el 1706, segons Britannica. La mateixa entrada explica com Arquimedes va encerclar π entre 223/71 i 22/7 dibuixant polígons dins i fora d'una circumferència.
Com es calcula el diàmetre o el radi a partir de la longitud de la circumferència?
Per trobar el diàmetre a partir de la longitud de la circumferència, divideix la longitud per π, és a dir, d = C ÷ π. Per trobar el radi, divideix per 2π, és a dir, r = C ÷ (2π). Funciona perquè és la fórmula de la longitud aplicada al revés. Mesures la distància al voltant i en treus la mida d'un costat a l'altre.
Exemple
Un tronc d'arbre fa 150 cm de contorn. El seu diàmetre és 150 ÷ π ≈ 47,75 cm, i el seu radi n'és la meitat, uns 23,87 cm.
És un truc pràctic per a tot el que no pots mesurar d'un costat a l'altre, com un arbre, una columna o una canonada. Una cinta mètrica al voltant i una sola divisió et donen el diàmetre.
Com es calcula la longitud de la circumferència a partir de l'àrea?
Per trobar la longitud de la circumferència a partir de l'àrea del cercle, primer calcula el radi. Divideix l'àrea per π i fes-ne l'arrel quadrada, és a dir, r = √(A ÷ π). Després fes servir C = 2πr. Guarda el radi complet a la calculadora i arrodoneix només al final, perquè els petits errors d'arrodoniment no s'acumulin.
Exemple
Un cercle té una àrea de 100 cm².
- Calcula el radi. 100 ÷ π ≈ 31,83, i √31,83 ≈ 5,64 cm
- Calcula la longitud. 2 × π × 5,642 ≈ 35,45 cm
També hi ha una fórmula d'un sol pas, C = 2√(πA). Amb 100 cm², dóna 2 × √(π × 100) ≈ 35,45 cm, el mateix resultat. Si les arrels quadrades se't fan lentes, unes quantes rondes d'arrels quadrades faran aquest pas molt més ràpid.
Quant avança una roda en una volta?
Una roda avança la longitud de la seva circumferència cada vegada que fa una volta, sempre que rodi sense patinar. Així doncs, la distància d'una volta és π pel diàmetre de la roda. Una roda de bicicleta de 70 cm de diàmetre avança uns 2,2 m per volta, i amb 1000 voltes recorre uns 2,2 km.
Exemple
Per a la roda de 70 cm, una volta és 70 × π ≈ 219,9 cm, o uns 2,2 m. Per recórrer 1 km, que són 100 000 cm, la roda fa 100 000 ÷ 219,9 ≈ 455 voltes.
Així és exactament com molts comptaquilòmetres de bicicleta i podòmetres calculen la distància. Compten voltes o passos i els multipliquen per una longitud coneguda. També és una manera bonica d'ensenyar als infants que π no és només un nombre de l'escola.
La fórmula es queda millor quan la fas servir sovint i amb nombres diferents. Al joc de geometria, cada atac d'un combat és una pregunta sobre figures, així que recordar C = πd de seguida passa a formar part de guanyar una ronda. Al joc π val 3, així que cada resposta és un nombre enter que pots calcular mentalment. Les rondes curtes i freqüents funcionen millor que una sola sessió llarga.
Quin és el perímetre d'un semicercle?
El perímetre d'un semicercle és la meitat de la longitud de la circumferència més el costat recte, és a dir, P = πr + 2r. Un error freqüent és quedar-se a πr i oblidar el diàmetre de la base. Per a un radi de 5 cm, la part corba fa 5π ≈ 15,71 cm, i si hi sumes 10 cm obtens uns 25,71 cm.
Quina relació té la longitud de la circumferència amb la circumferència unitat?
Una circumferència unitat té radi 1, així que la seva longitud és exactament 2π. Per això una volta completa equival a 2π radiants en trigonometria. La circumferència unitat fa servir aquesta idea per mesurar els angles com a distàncies al llarg de la vora.
Coneix el radi o el diàmetre i tindràs la longitud
Gairebé qualsevol pregunta sobre la longitud de la circumferència es redueix a una multiplicació quan coneixes el radi o el diàmetre. Fes servir aquesta llista per triar el pas correcte.
- Si coneixes el radi r: C = 2πr
- Si coneixes el diàmetre d: C = πd
- Si coneixes la longitud i busques el diàmetre: d = C ÷ π
- Si coneixes la longitud i busques el radi: r = C ÷ (2π)
- Si coneixes l'àrea A: r = √(A ÷ π), i després C = 2πr
- Semicercle: P = πr + 2r
El resultat sempre és una longitud, així que escriu-lo en cm, m o una altra unitat de longitud, mai en unitats quadrades.
Entrena aquestes a continuació