Com es construeix la successió de Fibonacci?
Per construir la successió de Fibonacci, escriu 0 i 1, suma els dos últims nombres per obtenir el següent i repeteix aquest pas una vegada i una altra. Cada nombre nou depèn només dels dos anteriors, així que la llista pot continuar per sempre. Els nombres que escrius d'aquesta manera s'anomenen nombres de Fibonacci.
Exemple
Construeix la successió pas a pas. Comença amb 0 i 1.
- 0 + 1 = 1
- 1 + 1 = 2
- 1 + 2 = 3
- 2 + 3 = 5
- 3 + 5 = 8
- 5 + 8 = 13
- 8 + 13 = 21
Cada nombre nou només necessita els dos últims. Per això és un bon repte de càlcul mental per als infants, perquè els nombres creixen de pressa però la regla no canvia mai. La regla és tan senzilla que l'entén un infant petit, i tot i així els mateixos nombres apareixen als gira-sols, a les pinyes i al nombre auri.
La successió comença per 0 o per 1?
Les dues versions són habituals. Molts llibres comencen amb 0, 1, 1, 2, 3, i d'altres amb 1, 1, 2, 3. Els nombres que venen després són els mateixos en tots dos casos. Els matemàtics solen escriure la regla com Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂, amb F₀ = 0 i F₁ = 1, que vol dir «cada terme és la suma dels dos anteriors».
Patrons amagats a la successió
La successió té petits patrons que als infants els agrada descobrir. Un de cada tres nombres és parell (0, 2, 8, 34, 144, 610), i tots els altres són senars. Un de cada cinc nombres és divisible per 5 (0, 5, 55, 610). Demana a un infant que comprovi aquests patrons més endavant a la llista. És una manera divertida de practicar la suma i descobrir estructures alhora.
D'on ve la successió de Fibonacci?
La successió porta el nom de Leonardo de Pisa, conegut com a Fibonacci, un matemàtic italià. La va descriure al seu llibre Liber abaci, escrit el 1202, amb un problema sobre conills. Segons la Britannica, és la primera successió numèrica recursiva coneguda a Europa, és a dir, cada terme es construeix a partir dels anteriors.
Exemple
El problema dels conills funciona així. Comences amb una parella de conills acabats de néixer. Una parella necessita un mes per fer-se adulta, i a partir d'aleshores cada parella adulta té una parella nova cada mes. Cap conill no se'n va mai. Compta les parelles al començament de cada mes.
- Mes 1: 1 parella (acabada de néixer)
- Mes 2: 1 parella (ja adulta)
- Mes 3: 2 parelles (els adults i les seves primeres cries)
- Mes 4: 3 parelles
- Mes 5: 5 parelles
- Mes 6: 8 parelles
El total de cada mes és el total del mes anterior més el nombre de parelles adultes, i les adultes són exactament el total de dos mesos abans. Aquesta és la regla de Fibonacci. És clar que els conills de veritat no es comporten d'una manera tan ordenada. El problema era una manera de descriure el patró, no un estudi sobre animals.
Com es troba el nombre següent de la successió de Fibonacci?
Per trobar el nombre de Fibonacci següent, suma els dos últims nombres de la llista. Després de 21 i 34 ve 21 + 34 = 55, i després de 34 i 55 ve 89. Per trobar un nombre molt avançat de la successió, ves ampliant la llista o fes servir la fórmula de Binet, que calcula qualsevol terme directament amb el nombre auri.
Exemple
Troba el desè nombre de Fibonacci, comptant F₀ = 0 com a punt de partida. Si escrius la llista, obtens 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, així que F₁₀ = 55.
La fórmula de Binet dona la mateixa resposta sense la llista. Eleva el nombre auri φ (aproximadament 1,618) a la desè potència i divideix per √5. Això dona aproximadament 122,99 : 2,236 ≈ 55,004, i si arrodoneixes al nombre enter més proper obtens 55. Per als alumnes més grans és una sorpresa bonica, perquè un nombre construït amb arrels quadrades cau sempre molt a prop d'un nombre enter.
Descobrir la regla que hi ha darrere d'una llista de nombres és una habilitat que va molt més enllà de Fibonacci. El joc de seqüències numèriques el converteix en un combat, on cada atac és una seqüència i has de trobar el nombre que hi falta. És una manera ràpida de practicar patrons com «suma els dos últims» sense escriure res.
Quina relació hi ha entre la successió de Fibonacci i el nombre auri?
Si divideixes cada nombre de Fibonacci pel nombre anterior, els resultats s'acosten cada vegada més al nombre auri, aproximadament 1,618. Per exemple, 8 : 5 = 1,6, 13 : 8 = 1,625 i 89 : 55 ≈ 1,618. El nombre auri és (1 + √5) : 2, un nombre amb decimals que no s'acaben mai ni es repeteixen.
Exemple
Fixa't com els quocients s'estabilitzen a mesura que els nombres creixen.
- 3 : 2 = 1,5
- 5 : 3 ≈ 1,667
- 8 : 5 = 1,6
- 13 : 8 = 1,625
- 21 : 13 ≈ 1,615
- 34 : 21 ≈ 1,619
- 55 : 34 ≈ 1,618
Els resultats queden unes vegades per sobre i d'altres per sota d'1,618, i cada vegada s'hi acosten més. La Britannica assenyala que aquesta relació la va descriure el matemàtic Robert Simson el 1753.
Què és l'espiral de Fibonacci?
Dibuixa un quadrat de costat 1, després un altre quadrat de costat 1 al costat, després un de costat 2, després 3, després 5 i després 8, cadascun enganxat al rectangle que tens fins aleshores. Uneix les cantonades oposades de cada quadrat amb un quart de circumferència i obtindràs l'espiral de Fibonacci. És una aproximació molt bona de l'espiral àuria, que creix segons el nombre auri a cada quart de volta.
On apareix la successió de Fibonacci a la natura?
Els nombres de Fibonacci apareixen sovint a les plantes. Les llavors d'un gira-sol formen dos grups d'espirals, i el nombre d'espirals en cada sentit sol ser una parella de nombres de Fibonacci consecutius, com 34 i 55 o 55 i 89. Les pinyes mostren espirals semblants, i moltes flors tenen 3, 5, 8, 13 o 21 pètals.
Exemple
Agafa una pinya o una foto d'un gira-sol i compta les espirals que giren en el sentit de les agulles del rellotge. Després compta les que giren en sentit contrari. Les pàgines sobre Fibonacci a la natura del Dr. Ron Knott, de la Universitat de Surrey, mostren gira-sols amb 55 espirals en un sentit i 34 en l'altre, i d'altres més grans amb 89 i 55.
Les mateixes pàgines classifiquen flors pel nombre de pètals, com els esperons de cavaller amb 8, l'herba de Sant Jaume i algunes margarides amb 13, i els asters amb 21. Comptar junts és una activitat pràctica preciosa, i ensenya als infants que els nombres descriuen coses reals del seu voltant.
Per què les plantes creixen en espirals de Fibonacci?
Moltes plantes col·loquen cada llavor o fulla nova amb un angle de gir gairebé igual respecte a l'anterior, d'uns 137,5°. Aquest angle, relacionat amb el nombre auri, col·loca les llavors ben juntes sense deixar forats, i les espirals que pots comptar són una conseqüència d'aquest gir constant. La segona part de la guia de Ron Knott explica per què aquest angle funciona tan bé.
De debo la successió de Fibonacci és a tota la natura?
No. Els nombres de Fibonacci són freqüents a les plantes, però no són una llei de la natura. Les pàgines de Ron Knott a Surrey assenyalen que no sempre trobaràs nombres de Fibonacci als pètals o als caps de llavors, i algunes flors, com les fúcsies, tenen 4 pètals. Moltes afirmacions a internet, sobretot sobre petxines, cares i edificis famosos, exageren el que diuen les dades.
Exemple
La closca del nàutil sol aparèixer amb una espiral àuria dibuixada a sobre. La closca sí que creix en espiral logarítmica, una corba que manté la mateixa forma a mesura que es fa més gran. Però les pàgines de Knott assenyalen que el seu factor de creixement varia i potser no és el nombre auri, i que anomenar-la espiral àuria és incorrecte. Així doncs, el nàutil és una espiral preciosa, però no una prova de Fibonacci.
Aquesta també és una lliçó útil per als infants més grans. Un patró que apareix sovint mereix atenció, però la pregunta honesta sempre és «amb quina freqüència i amb quina precisió?». Comptar les espirals d'una pinya de veritat és una prova millor que qualsevol imatge d'internet.
Dos nombres inicials i una regla construeixen tota la successió
Cada nombre de Fibonacci surt del mateix pas, sumar els dos nombres anteriors. Aquí tens els 21 primers termes, començant per F₀ = 0, perquè puguis comprovar la teva llista.
- 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34
- 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987
- 1597, 2584, 4181, 6765
Si un infant es perd, torna amb ell als dos últims nombres dels quals estigui segur i suma de nou. La regla no canvia mai, així que un error sempre és fàcil de corregir.
Entrena aquestes a continuació