Si et sembla que no pot ser, no ets l'únic. Milers de persones, algunes amb un doctorat, al principi es van negar a creure-s'ho. Aquí tens l'enigma i, després, unes quantes maneres de veure per què convé canviar. Segur que amb alguna d'elles ho veus clar.
Com funciona el problema de Monty Hall?
Ets en un concurs de televisió davant de tres portes tancades. Darrere d'una hi ha un cotxe i darrere de les altres dues, una cabra. Tries una porta. El presentador, que sap on és el cotxe, obre una de les altres dues i t'ensenya una cabra. Després et pregunta si et vols quedar la teva porta o canviar a l'altra que encara és tancada.
La majoria arronsa les espatlles i diu que tant fa. Queden dues portes, o sigui que ha de ser al 50 %. Doncs no. Si canvies, guanyes el cotxe 2 de cada 3 vegades.
L'enigma porta el nom de Monty Hall, el presentador del concurs de televisió Let's Make a Deal. La famosa resposta depèn de tres regles.
- El presentador sempre obre una porta que no has triat.
- El presentador sempre ensenya una cabra, mai el cotxe.
- El presentador sempre t'ofereix canviar.
Per què canviar guanya 2 de cada 3 vegades?
La teva primera tria falla 2 de cada 3 vegades. Cada cop que falla, el presentador no té opció. Ha d'obrir l'altra porta amb cabra, i el cotxe queda darrere de la porta a la qual podries canviar. Per tant, canviar guanya sempre que la teva primera tria era equivocada, i només perd quan vas encertar el cotxe a la primera.
Exemple
Suposa que sempre tries la porta 1. El cotxe només pot ser en tres llocs, i tots tres són igual de probables.
- El cotxe és darrere de la porta 1. El presentador obre la porta 2 o la 3. Quedar-te guanya, canviar perd.
- El cotxe és darrere de la porta 2. El presentador ha d'obrir la porta 3. Quedar-te perd, canviar guanya.
- El cotxe és darrere de la porta 3. El presentador ha d'obrir la porta 2. Quedar-te perd, canviar guanya.
Fes el compte. Quedar-te guanya una vegada i canviar en guanya dues. I passa el mateix comencis per la porta que comencis.
Hi ha una altra manera d'imaginar-ho. La teva porta comença amb una probabilitat d'1 entre 3, i les altres dues es reparteixen els 2 entre 3 que queden. Quan el presentador n'obre una, el cotxe no es mou. Només t'està ensenyant quina d'aquelles dues portes té ara tot aquest 2 entre 3.
Per què no és al 50 % si queden dues portes?
Perquè el presentador no obre una porta a l'atzar. Sap on és el cotxe i sempre l'evita, així que la porta que deixa tancada l'ha triada sabent-ho. La teva porta la vas triar a cegues i manté la seva probabilitat d'1 entre 3. L'altra porta tancada s'emporta la resta, 2 entre 3.
Un article de Scientific American sobre l'enigma atribueix l'error al que els psicòlegs anomenen biaix d'equiprobabilitat. Tendim a donar per fet que els resultats que tenim al davant són igual de probables. Dues portes semblen un cara o creu, i deixem de pensar.
L'altre parany és que el moviment del presentador sembla que no et digui res. En realitat et diu molt. Sempre que la teva porta amaga una cabra, el presentador està obligat a deixar tancada la porta del cotxe. Aquesta tria forçada és la informació amagada.
És més fàcil amb la versió de 100 portes?
A molta gent l'ajuda. Imagina 100 portes i un sol cotxe. En tries una i el presentador, que sap on és el cotxe, n'obre 98 de les altres i ensenya 98 cabres. Queda una porta tancada. La teva porta tenia una probabilitat d'1 entre 100. La porta que el presentador s'ha saltat amb tanta cura té ara els altres 99 entre 100.
Exemple
Tries la porta 37. El presentador obre totes les portes de l'1 al 100 menys la 37 i la 82. De debò creus que la teva tria a l'atzar va ser la bona? És molt més probable que s'hagi saltat la 82 perquè el cotxe hi és al darrere.
Marilyn vos Savant, que va fer famós l'enigma, va fer servir una versió encara més gran, amb un milió de portes. Amb tres portes la idea és la mateixa, només que costa més de notar-la. Si les 100 portes no t'ajuden, prova de pensar en equivocar-te. La teva primera tria falla 2 de cada 3 vegades, i canviar converteix cada error en un premi.
Què passa si el presentador no sap on és el cotxe?
Aleshores canviar deixa d'ajudar. Si el presentador obre una porta a l'atzar i casualment surt una cabra, quedar-te i canviar guanyen cadascun la meitat de les vegades. La resposta de 2 entre 3 només val quan el presentador sap on és el cotxe, sempre obre una porta amb cabra i sempre ofereix canviar.
Exemple
Tries la porta 1, i un presentador que no sap res obre a l'atzar la porta 2 o la 3. De vegades ensenya el cotxe sense voler, i aquelles partides s'espatllen. En les partides en què surt una cabra, el cotxe és darrere de la teva porta exactament la meitat de les vegades.
El Monty Hall de debò va assenyalar aquesta mateixa trampa. En un article del New York Times del 1991 va advertir que un concursant s'hauria de refiar poc si el presentador pot decidir si ofereix el canvi o no. En un concurs real, l'oferta mateixa podria ser un parany.
Com pots comprovar tu mateix el problema de Monty Hall?
Només necessites tres cartes i un amic. Un as és el cotxe i les altres dues cartes són les cabres. El teu amic les barreja cap per avall, tu n'assenyales una i el teu amic gira una cabra que no has triat. Juga 30 rondes canviant sempre. N'hauries de guanyar unes 20.
Després juga 30 rondes més sense canviar mai. Aquesta vegada n'hauries de guanyar unes 10. Amb tan poques rondes els números ballaran una mica, però la diferència es veu de seguida.
Fins i tot matemàtics famosos ho van haver de veure. Scientific American explica que el prolífic matemàtic Paul Erdős també va caure en el parany de l'enigma. Així que si encara et sembla que no pot ser, treu les cartes.
El que de debò entrena aquest enigma és comptar tots els casos possibles sense deixar-te'n cap. El joc de probabilitat fa el mateix tipus de pregunta a cada ronda. En el combat d'aquí sota, per exemple, has de comptar de quantes maneres poden sortir 4 monedes amb exactament 1 cara. La resposta és 4, perquè la cara pot ser en qualsevol de les quatre monedes.
Per què tanta gent s'equivoca amb el problema de Monty Hall?
Dues portes tancades semblen, sense més, una tria al 50 %, i és fàcil passar per alt el que sap el presentador. Segurament també hi influeix el penediment. Perdre després d'haver deixat escapar el cotxe per canviar fa més mal que perdre per haver-te quedat, així que molta gent es queda la primera porta encara que entengui les matemàtiques.
L'enigma va aparèixer per primera vegada el 1975, en unes cartes de l'estadístic Steve Selvin. Es va fer famós el 1990, quan Marilyn vos Savant el va respondre a la seva columna Ask Marilyn de la revista Parade i va dir als lectors que canviessin. Segons Scientific American, va rebre unes 10.000 cartes que li deien que s'equivocava. The New York Times va afegir que gairebé 1.000 anaven signades per persones amb doctorat.
I és clar que tenia raó. Aquelles cartes ja formen part de la història, i són el millor recordatori que una intuïció molt segura sobre l'atzar pot estar completament equivocada.
Canvia, sempre que el presentador ho sàpiga i obri sempre una porta amb cabra
Amb les regles habituals, canviar et duplica la probabilitat de guanyar, d'1 entre 3 a 2 entre 3. Si canvien les regles, la resposta també pot canviar, per exemple amb un presentador que obre portes a l'atzar o que només ofereix el canvi quan li convé. Aquesta és la lliçó que va més enllà dels concursos. Abans de refiar-te d'una probabilitat, pregunta't com s'ha triat la informació que tens al davant.
Entrena aquestes a continuació