Com s'aplica la jerarquia de les operacions pas a pas?
Amb la jerarquia de les operacions (PEMDAS en anglès), un càlcul es resol en quatre passades. Primer el que hi ha dins dels parèntesis, després les potències, tot seguit multiplicacions i divisions d'esquerra a dreta i, al final, sumes i restes, també d'esquerra a dreta. Torna a escriure tota la línia després de cada passada, i així qualsevol error es veu de seguida.
Exemple
Calcula 3 + 4 × (6 − 2)² ÷ 8.
- Parèntesis: 6 − 2 = 4, i queda 3 + 4 × 4² ÷ 8
- Potències: 4² = 16, i queda 3 + 4 × 16 ÷ 8
- Multiplicació i divisió, d'esquerra a dreta: 4 × 16 = 64, després 64 ÷ 8 = 8, i queda 3 + 8
- Suma i resta: 3 + 8 = 11
Copiar la línia una altra vegada sembla lent. Tot i així, és la millor protecció contra els errors. Una relliscada típica és sumar el 3 i el 4 al principi. Això dona 7, i el resultat final surt malament.
A PEMDAS la multiplicació va abans que la divisió?
No. La multiplicació i la divisió són al mateix nivell, igual que la suma i la resta. Dins de cada parella, simplement es va d'esquerra a dreta. PEMDAS posa la M abans de la D només perquè una paraula ha de col·locar les lletres en algun ordre. Prendre les lletres com una classificació estricta és un dels errors més freqüents amb la jerarquia de les operacions.
Exemple
Calcula 24 ÷ 4 × 2.
- Des de l'esquerra, primer ve la divisió: 24 ÷ 4 = 6
- Després, la multiplicació: 6 × 2 = 12
Si multipliques primer, et surt 24 ÷ 8 = 3, que és incorrecte. Amb la suma i la resta passa el mateix. A 10 − 4 + 3, d'esquerra a dreta dona 6 + 3 = 9. Si sumes primer, dona 10 − 7 = 3, que també és incorrecte.
El llibre de text gratuït OpenStax Prealgebra 2e ho diu clarament. La multiplicació i la divisió es fan en ordre d'esquerra a dreta, perquè tenen la mateixa prioritat. Molts adults no recorden aquest detall de l'escola, i és darrere de moltes discussions sobre endevinalles matemàtiques a internet.
Quina diferència hi ha entre PEMDAS, BODMAS i BIDMAS?
En les regles no hi ha cap diferència, només en les paraules. PEMDAS comença per la P de parentheses (parèntesis), mentre que BODMAS i BIDMAS comencen per la B de brackets, que també vol dir parèntesis. La E (exponents), la O (orders) i la I (indices) volen dir el mateix: potències i arrels. Totes les versions posen la multiplicació i la divisió en un nivell, i la suma i la resta en el següent.
Exemple
Calcula 2 + 3 × 4² pensant en cada versió.
- Primer les potències: 4² = 16
- Després la multiplicació: 3 × 16 = 48
- I després la suma: 2 + 48 = 50
BODMAS escriu la D abans de la M, i PEMDAS escriu la M abans de la D. Totes dues donen 50 aquí, i donen el mateix resultat en qualsevol càlcul. Si l'ordre de les lletres continua embolicant, pot ajudar escriure la regla com quatre nivells en lloc de sis lletres: parèntesis, potències, multiplicar o dividir, sumar o restar.
Per què necessitem una jerarquia de les operacions?
Sense un ordre acordat, una línia com 2 + 3 × 4 podria voler dir dues coses diferents. Si sumes primer, surt 20. Si multipliques primer, surt 14. La convenció diu que la multiplicació va abans, així que el resultat és 14. La gràcia de la regla és simplement que tothom qui llegeixi el mateix càlcul obtingui el mateix resultat.
Exemple
Una amiga compra 3 llibretes a 4 monedes cadascuna i un bolígraf per 2 monedes. El total és 2 + 3 × 4 = 2 + 12 = 14 monedes. Sumar primer donaria 5 × 4 = 20, com si hagués comprat el bolígraf quatre vegades.
La convenció és molt més antiga que les sigles. Segons MacTutor, l'arxiu d'història de les matemàtiques de la Universitat de St Andrews, fer la multiplicació abans que la suma i la resta ja era la norma en els primers llibres d'àlgebra simbòlica, al segle XVI. La mateixa pàgina cita un historiador que escrivia a finals de la dècada de 1920 que encara no hi havia acord sobre si havia d'anar primer ÷ o ×.
Quant dona 8 ÷ 2(2 + 2)?
Si segueixes la jerarquia de les operacions tal com s'ensenya, 8 ÷ 2(2 + 2) dona 16. El parèntesi va primer i dona 4. El 2 escrit al costat del parèntesi indica una multiplicació, i la divisió i la multiplicació van d'esquerra a dreta, així que 8 ÷ 2 × 4 = 4 × 4 = 16. A classe la divisió s'acostuma a escriure amb dos punts (8 : 2), però la regla és la mateixa.
Exemple
Aquí tens les dues lectures, l'una al costat de l'altra.
- D'esquerra a dreta: 8 ÷ 2 × 4 = 4 × 4 = 16
- Amb 2(2 + 2) com un sol bloc: 8 ÷ (2 × 4) = 8 ÷ 8 = 1
El problema de veritat és com està escrit el càlcul. Una nota al web del departament de matemàtiques de Berkeley assenyala que no hi ha cap convenció estàndard per a expressions com aquesta, perquè escriure un nombre enganxat a un parèntesi suggereix que tots dos van junts. Els matemàtics s'estalvien tota la discussió amb parèntesis de més: (8 ÷ 2)(2 + 2) o 8 ÷ (2(2 + 2)).
La ratlla de fracció agrupa de la mateixa manera. Si 6 + 4 està escrit a sobre de la ratlla de fracció i 2 a sota, primer se suma, així que el resultat és 10 ÷ 2 = 5.
Quins són els errors més comuns amb la jerarquia de les operacions?
La majoria dels errors venen de llegir les sigles com sis passos separats en un ordre fix. Això porta a multiplicar abans de dividir o a sumar abans de restar. Altres relliscades són oblidar que la ratlla de fracció agrupa el que hi ha a sobre i a sota, i elevar al quadrat un nombre negatiu sense els seus parèntesis. Reescriure la línia després de cada pas en detecta gairebé tots.
Les relliscades que tornen una vegada i una altra
- Multiplicar abans de dividir. A 24 ÷ 4 × 2, ves d'esquerra a dreta: 6 × 2 = 12.
- Sumar abans de restar. A 10 − 4 + 3, ves d'esquerra a dreta: 6 + 3 = 9.
- Elevar al quadrat un nombre negatiu. −3² vol dir −(3²) = −9, però (−3)² = 9. El parèntesi decideix si el signe menys s'eleva al quadrat.
- Començar pel claudàtor de fora. A 2 × [5 + (3 − 1)²], comença per dins: 3 − 1 = 2, després 2² = 4, després 5 + 4 = 9 i, finalment, 2 × 9 = 18.
- No fer cas de la ratlla de fracció. Calcula primer el de dalt i el de baix per separat, i després divideix.
Com es pot practicar la jerarquia de les operacions?
La millor manera de practicar aquesta regla són càlculs curts i freqüents. Al joc de jerarquia de les operacions, cada atac és una operació combinada com (5 + 3) × 7. Resols el parèntesi, multipliques i escrius 56 per llançar l'atac.
Les potències frenen molta gent, sobretot amb nombres negatius. Si és aquí on t'encalles, prova abans el joc de potències. Després, els càlculs més llargs amb potències es resolen amb més facilitat.
El nom de la regla depèn d'on l'aprenguis. Als Estats Units és PEMDAS, i al Regne Unit, BODMAS o BIDMAS. Altres llengües fan servir les seves pròpies fórmules curtes, però la regla de fons és la mateixa a tot arreu. Aquí a l'escola en diem jerarquia de les operacions, o també prioritat de les operacions.
Una regla compartida perquè tothom arribi al mateix resultat
La jerarquia de les operacions és un acord, no una llei de la natura, i només funciona perquè tothom fa servir la mateixa. Primer els parèntesis, després les potències, tot seguit multiplicacions i divisions d'esquerra a dreta i, finalment, sumes i restes d'esquerra a dreta. Quan un càlcul encara es pugui llegir de dues maneres, afegeix parèntesis i s'ha acabat la discussió.
Entrena aquestes a continuació