Equació explícita de la recta (y = mx + n) explicada pas a pas

Per què l'equació explícita és tan útil

Quan una equació està escrita d'aquesta manera, pots llegir-ne directament el pendent i el punt de partida i dibuixar la recta en pocs segons. A continuació veuràs com llegir-la, com obtenir-la a partir de dos punts o d'una altra forma de l'equació, i els errors que es repeteixen més.

Com es troba l'equació explícita d'una recta?

Per trobar l'equació explícita necessites dues dades, el pendent m i l'ordenada a l'origen n. El pendent s'obté a partir de dos punts amb m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Després substitueixes un punt i el pendent a y = mx + n i aïlles n. Escriu el resultat amb els teus nombres en lloc de m i n.

Exemple

Troba la recta que passa pels punts (1, 5) i (3, 9).

1. Pendent: m = (9 − 5) : (3 − 1) = 4 : 2 = 2
2. Fes servir el punt (1, 5): 5 = 2 · 1 + n, per tant n = 3
3. Equació: y = 2x + 3
4. Comprova-ho amb l'altre punt (3, 9): 2 · 3 + 3 = 9. Funciona.

Aquesta comprovació final dura deu segons i detecta la majoria dels errors, així que val la pena convertir-la en un hàbit.

I si el pendent és una fracció?

Aquí les fraccions són del tot normals, i que surti una fracció no vol dir que t'hagis equivocat. Agafa els punts (4, 0) i (−2, 4). El pendent és (4 − 0) : (−2 − 4) = 4 : (−6) = −2/3. Llavors 0 = −2/3 · 4 + n dona n = 8/3, per tant y = −2/3x + 8/3. Comprova-ho amb (−2, 4): 4/3 + 8/3 = 12/3 = 4.

Deixa el pendent en forma de fracció en lloc d'arrodonir-lo a un decimal, perquè la fracció és exacta i la comprovació sortirà perfecta. Si les fraccions són el que et frena, unes quantes rondes del joc de fraccions t'ajudaran a trobar fraccions equivalents i a simplificar molt més de pressa.

A la ronda de dalt, 7/10 = 70/100, perquè el numerador i el denominador es multipliquen tots dos per 10.

Què volen dir m i n a y = mx + n?

A y = mx + n, m és el pendent i n és l'ordenada a l'origen. El pendent indica quant canvia y quan x augmenta 1, és a dir, quant puja la recta per cada unitat que avança. L'ordenada a l'origen és el valor de y quan x = 0, que correspon al punt (0, n) on la recta talla l'eix y.

Exemple

A y = 3x − 2, el pendent és 3 i l'ordenada a l'origen és −2. La recta talla l'eix y a (0, −2), i cada pas d'1 cap a la dreta la fa pujar 3. A y = −2x + 4, el pendent és −2, de manera que la recta baixa 2 per cada pas cap a la dreta, i talla l'eix y a (0, 4).

El llibre de text OpenStax College Algebra 2e (en anglès) descriu el pendent com «el que puja dividit pel que avança» i l'ordenada a l'origen com el punt on el valor d'entrada és zero. Un pendent positiu puja d'esquerra a dreta, un de negatiu baixa, i com més gran és el nombre (sense tenir en compte el signe), més inclinada és la recta.

Una manera quotidiana d'imaginar m i n

Una espelma fa 20 cm d'alçada i es consumeix 2 cm cada hora. La seva alçada després de t hores és h = −2t + 20. El 20 és el punt de partida (n) i el −2 és quant canvia cada hora (m). Al cap de 3 hores fa 14 cm, i al cap de 10 hores s'ha consumit del tot. A molts estudiants els resulta més fàcil pensar en n com el valor inicial i en m com el canvi a cada pas.

Com es representa una recta en forma explícita?

Per representar y = mx + n, comença per l'ordenada a l'origen, el punt (0, n) de l'eix y. Des d'allà, fes servir el pendent com «el que puja dividit pel que avança». Desplaça't cap a la dreta el que avança i cap amunt el que puja (o cap avall si el pendent és negatiu) per trobar un segon punt. Traça una recta pels dos punts i allarga-la.

Exemple

Representa y = 2x + 1.

1. Marca l'ordenada a l'origen (0, 1).
2. El pendent 2 equival a 2/1, així que avança 1 cap a la dreta i puja 2. Arribes a (1, 3).
3. Traça la recta que passa per (0, 1) i (1, 3).

Amb un pendent com −2/3, avança 3 cap a la dreta i baixa 2. Si fas servir el denominador com a avanç, sempre caus en punts de la quadrícula i és més fàcil dibuixar la recta amb precisió.

Com es passa de l'equació general a l'explícita?

Per passar una equació com Ax + By = C a forma explícita, aïlla la y. Passa el terme en x a l'altre costat i divideix cada terme pel nombre que acompanya la y. El nombre que acompanya la x és ara el pendent, i el nombre que queda sol és l'ordenada a l'origen.

Exemple

Converteix 2x + 3y = 6.

1. Resta 2x als dos membres: 3y = −2x + 6
2. Divideix cada terme per 3: y = −2/3x + 2

El pendent és −2/3 i l'ordenada a l'origen és 2. Una distracció freqüent és llegir el pendent com 2 directament a 2x + 3y = 6. Els nombres només indiquen el pendent i l'ordenada a l'origen quan la y està sola en un membre.

Equació punt-pendent o equació explícita?

L'equació punt-pendent, y − y₁ = m(x − x₁), és pràctica quan coneixes un punt i el pendent, perquè la pots escriure de seguida. Per al punt (1, 5) i el pendent 2 obtens y − 5 = 2(x − 1). Desenvolupa i simplifica, y = 2x − 2 + 5, i tornes a tenir y = 2x + 3. Totes dues formes descriuen la mateixa recta.

Quines rectes no es poden escriure en forma explícita?

Les rectes verticals no es poden escriure en forma explícita. Tots els punts d'una recta vertical tenen la mateixa x, de manera que l'avanç és 0 i calcular el pendent voldria dir dividir per zero. Per això el pendent d'una recta vertical no està definit. La recta vertical que passa per x = 3 s'escriu simplement x = 3.

Exemple

Els punts (3, 1) i (3, 6) són en una recta vertical. El pendent seria (6 − 1) : (3 − 3) = 5 : 0, que no té resultat. Per tant, la recta és x = 3. A més, una recta vertical no talla mai l'eix y, tret que sigui el mateix eix y, així que no té cap ordenada a l'origen per posar en lloc de n.

Les rectes horitzontals no donen problemes. Els punts (−1, 4) i (5, 4) donen un pendent de 0 : 6 = 0, per tant la recta és y = 0x + 4, que és simplement y = 4.

Quins són els errors més habituals amb l'equació explícita?

La majoria dels errors amb l'equació explícita són petites distraccions, no problemes de comprensió. S'intercanvien les coordenades d'un punt, es resta en un ordre diferent a dalt i a baix de la fórmula del pendent, o es llegeixen m i n abans d'aïllar la y. Comprovar l'equació final amb un dels punts de partida els detecta gairebé tots.

Solucions ràpides per a cada distracció

Aquestes són les distraccions que apareixen una vegada i una altra, amb una solució ràpida per a cadascuna.

• Confondre x i y en un punt. (5, 7) vol dir x = 5 i y = 7. Quan el llegeixis, pensa «primer en horitzontal, després en vertical».
• Canviar l'ordre de la resta. Si a dalt fas 9 − 5, a baix fes 3 − 1, amb el mateix punt en primer lloc totes dues vegades.
• Confondre m i n. A y = 4 + 3x el pendent continua sent 3, perquè m és el nombre que acompanya la x, sigui on sigui.
• Perdre un signe menys. A y = −x + 2 el pendent és −1, no 1.
• Pensar que una fracció ha d'estar malament. Pendents com 3/4 o −2/3 són tan vàlids com 2.

Practicar l'equació explícita fins que surti sola

Llegir rectes ràpidament s'aconsegueix veient-ne moltes. Al joc de funcions lineals, cada atac és una pregunta sobre una recta, així que practiques molt a reconèixer pendents i ordenades a l'origen sense que sembli que fas deures.

Aïllar n també és només una petita equació d'un sol pas. Si és en aquest pas on t'encalles, el joc d'equacions és un bon escalfament.

Les lletres canvien segons el país. A Catalunya i a la resta de l'Estat s'escriu y = mx + n, mentre que als països de parla anglesa s'escriu y = mx + b, a França i Polònia y = ax + b, a Rússia y = kx + b i a Itàlia y = mx + q. Siguin quines siguin les lletres, el nombre que acompanya la x és sempre el pendent i el nombre que va sol indica on talla la recta l'eix y.

Dos nombres descriuen qualsevol recta que no sigui vertical

Qualsevol recta que no sigui vertical es pot escriure com y = mx + n, així que n'hi ha prou amb dos nombres per descriure-la del tot. El pendent diu quant s'inclina i cap a on, i l'ordenada a l'origen diu on comença. Troba aquests dos nombres, comprova l'equació amb un punt i la resta ve sola.