Desviació estàndard explicada de manera senzilla, amb un exemple pas a pas

Com es calcula la desviació estàndard pas a pas?

Per calcular la desviació estàndard, troba la mitjana, resta-la de cada valor, eleva al quadrat cada diferència i suma els quadrats. Divideix aquest total pel nombre de valors, i així obtens la variància. Finalment, fes l'arrel quadrada de la variància. El resultat és la desviació estàndard, de nou en les unitats originals de les dades.

Exemple

Dos equips de 8 jugadors responen el mateix qüestionari de 10 preguntes. Agafa l'equip B, que té les puntuacions 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 i 9.

1. Troba la mitjana. 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40, i 40 : 8 = 5
2. Resta la mitjana de cada valor. Això dona −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4
3. Eleva al quadrat cada diferència. Això dona 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16
4. Suma els quadrats. 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32
5. Divideix pel nombre de valors. 32 : 8 = 4, que és la variància
6. Fes l'arrel quadrada. √4 = 2, per tant la desviació estàndard és 2

El mateix càlcul, valor per valor, ajuda a no perdre el fil.

• 2 − 5 = −3, i (−3)² = 9
• 4 − 5 = −1, i (−1)² = 1, tres vegades
• 5 − 5 = 0, i 0² = 0, dues vegades
• 7 − 5 = 2, i 2² = 4
• 9 − 5 = 4, i 4² = 16

Fixa't que les diferències mateixes, −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 i 4, sumen 0. Això passa sempre, i explica per què s'eleven al quadrat, com mostra l'apartat següent. L'últim pas necessita una arrel quadrada, i unes quantes rondes d'arrels quadrades fan que sigui molt més ràpid estimar-les mentalment.

Quina és la fórmula de la desviació estàndard?

La desviació estàndard poblacional és σ = √(Σ(x − μ)² : N). Aquí x és cada valor, μ és la mitjana, N és el nombre de valors i Σ vol dir «suma-ho tot». Per a una mostra presa d'un grup més gran, divideix per n − 1 en lloc de N. Aquesta versió s'escriu s.

Exemple

Si l'equip B és tot el grup que t'interessa, fes servir N. La variància és 32 : 8 = 4, i σ = √4 = 2.

Si els 8 jugadors són una mostra triada per representar tota una escola, fes servir n − 1. La variància és 32 : 7 ≈ 4,57, i s = √4,57 ≈ 2,14.

Per què es divideix per n − 1 en una mostra?

Una mostra sol deixar fora alguns dels valors més extrems del grup complet, i per això la seva dispersió tendeix a sortir una mica petita. Dividir per n − 1, un nombre una mica més petit, fa que el resultat sigui una mica més gran i ho corregeix. Amb mostres grans, la diferència entre les dues versions es torna mínima.

Les calculadores i els fulls de càlcul sovint ofereixen les dues versions. Un botó o una funció marcats amb σ o «població» divideixen per N, i un de marcat amb s o «mostra» divideix per n − 1. Comprova quina espera el teu professor o el teu llibre de text, perquè totes dues són correctes en la seva situació.

Per què s'eleven al quadrat les diferències en la desviació estàndard?

Les diferències respecte de la mitjana sempre sumen zero, perquè els valors per sobre de la mitjana compensen els que queden per sota. Elevar al quadrat fa que totes les diferències siguin positives, i així ja no s'anul·len. L'arrel quadrada del final torna el resultat a les unitats originals, de manera que una dispersió en punts es mesura en punts.

Exemple

A l'equip B, les diferències eren −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 i 4. El total és 0, i per tant la seva mitjana simple també és 0, cosa que no diu res de la dispersió. En elevar-les al quadrat, queden 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 i 16, que sumen 32.

Elevar al quadrat també dona més pes als valors llunyans. El NIST Engineering Statistics Handbook ho il·lustra amb claredat. Un punt a 2 unitats de la mitjana suma 4 al total, mentre que un punt a 10 unitats en suma 100. Això fa que la desviació estàndard sigui sensible a un sol valor extrem, com una puntuació de 0 en un grup que, per la resta, ha tret bones notes.

Hi ha una mesura més senzilla que se salta el quadrat. La desviació mitjana pren la distància de cada valor a la mitjana, ignora els signes menys i en fa la mitjana. A l'equip B, les distàncies 3, 1, 1, 1, 0, 0, 2 i 4 sumen 12, i 12 : 8 = 1,5. És més fàcil de calcular a mà, però la desviació estàndard és la mesura en què es basen la majoria d'eines i fórmules estadístiques.

Què és una desviació estàndard alta o baixa?

No hi ha cap nombre únic que compti com a desviació estàndard alta o baixa. Depèn de la mida dels valors i del que mesuren. Una desviació estàndard de 2 punts és gran per a puntuacions sobre 10, però minúscula per a puntuacions sobre 1.000. Compara-la amb la mitjana i amb el rang de valors possibles.

Exemple

Ara compara l'equip B amb l'equip A del mateix qüestionari.

• Equip A: 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 7
• Equip B: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9

Tots dos equips tenen una mitjana de 5, perquè cada llista suma 40 i 40 : 8 = 5. Però les puntuacions de l'equip A s'agrupen al voltant del 5, mentre que les de l'equip B estan escampades del 2 al 9. La desviació estàndard de l'equip A és d'1 punt, i la de l'equip B és de 2 punts.

Només amb la mitjana, aquests equips semblarien idèntics. La desviació estàndard mostra que l'equip A és molt regular, mentre que l'equip B té alguns jugadors molt per davant i d'altres molt per darrere.

Un altre exemple

Dues fleques venen pans amb un pes mitjà de 500 g. A la primera, la desviació estàndard és de 5 g, i per tant gairebé tots els pans pesen a prop de 500 g. A la segona, és de 40 g, i per tant alguns pans són clarament més lleugers i d'altres més pesants. Les mitjanes coincideixen, però la primera fleca és molt més regular.

Una desviació estàndard baixa no sempre és millor. En una aula, una desviació estàndard alta en els resultats d'un examen pot mostrar simplement que els infants són en etapes molt diferents, cosa útil per a un docent. En una fàbrica, una desviació estàndard baixa sol voler dir que les màquines són fiables. El nombre descriu la dispersió, i el context decideix si aquesta dispersió és una bona notícia.

Una desviació estàndard mai no pot ser negativa, perquè surt de l'arrel quadrada de nombres elevats al quadrat. Només és 0 quan tots els valors són iguals.

Què vol dir la regla 68-95-99,7?

En dades que segueixen una distribució normal, la coneguda campana de Gauss, al voltant del 68 % dels valors queda a menys d'una desviació estàndard de la mitjana. Al voltant del 95 % queda a menys de dues desviacions estàndard, i al voltant del 99,7 % a menys de tres. S'anomena regla empírica, i converteix una desviació estàndard en una imatge ràpida de les dades.

Exemple

Suposa que els temps d'una cursa d'1 km en un grup gran segueixen una campana de Gauss amb una mitjana de 6 minuts i una desviació estàndard d'1 minut. Llavors, al voltant del 68 % dels corredors acaba entre 5 i 7 minuts. Al voltant del 95 % acaba entre 4 i 8 minuts, i gairebé tothom acaba entre 3 i 9 minuts.

La regla només funciona bé amb dades en forma de campana. Els grups petits, com els dos equips del qüestionari, rarament la segueixen de prop. En dades asimètriques, com els ingressos o els temps d'espera, la mitjana i la desviació estàndard poden donar una imatge enganyosa, i la mediana i el rang sovint descriuen millor les dades.

La mitjana és el punt de partida de tota desviació estàndard, i per això ajuda calcular mitjanes amb rapidesa. Al joc d'estadística, cada atac d'un combat és una pregunta d'estadística, i així trobar una mitjana mentalment passa a formar part de guanyar una ronda. Les rondes curtes i freqüents desenvolupen aquesta rapidesa millor que una sessió llarga.

La desviació estàndard és la distància típica a la mitjana

La desviació estàndard respon una pregunta. A quina distància de la mitjana hi ha un valor típic? Segueix aquests passos sempre que l'hagis de calcular a mà.

1. Troba la mitjana.
2. Resta la mitjana de cada valor.
3. Eleva al quadrat cada diferència.
4. Suma els quadrats.
5. Divideix per N per a una població completa, o per n − 1 per a una mostra.
6. Fes l'arrel quadrada.

Un resultat petit vol dir que els valors estan junts, i un de gran vol dir que estan dispersos. Llegeix-lo sempre al costat de la mitjana i les unitats, perquè una dispersió només té sentit en el seu context.