Com es calcula el volum d'un cilindre?
Per calcular el volum d'un cilindre, eleva al quadrat el radi de la base circular, multiplica per π, que val aproximadament 3,14, i després multiplica per l'altura. Aquesta és la fórmula V = πr²h. Escriu el resultat en unitats cúbiques, com cm³ o m³, perquè el volum mesura l'espai que hi ha dins d'un cos, no una longitud ni una superfície.
Exemple
Calcula el volum d'un cilindre de 3 cm de radi i 10 cm d'altura.
- Eleva el radi al quadrat. 3 · 3 = 9
- Multiplica per π per obtenir l'àrea de la base. 9 · π ≈ 28,27 cm²
- Multiplica per l'altura. 9π · 10 = 90π
- Afegeix les unitats cúbiques. El volum és d'uns 282,74 cm³
També pots deixar el resultat com 90π cm³. Aquesta forma exacta evita arrodonir i és habitual en els darrers cursos.
L'errada més freqüent és multiplicar el radi per 2 en lloc d'elevar-lo al quadrat. Amb un radi de 3 cm, 3 · 2 = 6, però 3² = 9. Una altra és elevar també l'altura al quadrat. Només el radi va al quadrat, perquè només la base és un cercle.
Per què el volum d'un cilindre és πr²h?
Un cilindre és una pila de cercles iguals, com un munt de monedes. Cada cercle té una àrea de πr², i la pila fa h unitats d'alçada. Per això el volum és l'àrea de la base multiplicada per l'altura. Els prismes segueixen la mateixa regla, V = àrea de la base · altura.
Exemple
Imagina una pila de galetes rodones i primes, cadascuna amb una àrea de 20 cm². Si la pila fa 5 cm d'alçada, ocupa 20 · 5 = 100 cm³ d'espai. Un cilindre amb una àrea de la base de 20 cm² i una altura de 5 cm té el mateix volum.
Aquesta imatge també explica què passa quan el cilindre canvia de forma. Si dobles l'altura, dobles el nombre de capes, així que el volum es duplica. Si dobles el radi, cada capa es fa quatre vegades més gran, perquè el radi va al quadrat. Així que el volum es multiplica per quatre.
Un cilindre també encaixa molt bé al costat de dos altres cossos rodons. Un con amb la mateixa base i la mateixa altura conté exactament un terç del cilindre. Una esfera que cap justa dins d'un cilindre n'ocupa dos terços, un resultat del qual, segons la Britannica, Arquimedes estava tan orgullós que va demanar que el gravessin a la seva tomba.
Com es calcula el volum d'un cilindre a partir del diàmetre?
Per calcular el volum a partir del diàmetre, divideix el diàmetre entre 2 per obtenir el radi i després fes servir V = πr²h. El diàmetre és la distància d'un costat a l'altre de la base circular passant pel centre, així que és el doble del radi. En un sol pas, la fórmula és V = πd²h : 4, que dona exactament el mateix resultat.
Exemple
Una llauna té 8 cm de diàmetre i 12 cm d'altura. La meitat del diàmetre dona un radi de 4 cm. Llavors 4² · π · 12 = 192π ≈ 603,19 cm³.
Amb la fórmula d'un sol pas, 8² = 64, i després 64 · π · 12 : 4 = 192π ≈ 603,19 cm³. Els dos camins coincideixen.
Posar el diàmetre directament a πr²h és un error molt comú. Amb la llauna d'abans, això dona 64 · π · 12 ≈ 2412,74 cm³, que és quatre vegades massa. Si un resultat et sembla sorprenentment gran, comprova que has dividit primer el diàmetre entre 2.
Com es passa el volum d'un cilindre a litres?
Per passar el volum d'un cilindre a litres, calcula el volum en centímetres cúbics i divideix entre 1000, perquè 1 litre són 1000 cm³. Si el volum està en metres cúbics, multiplica per 1000, perquè en 1 m³ hi caben 1000 litres. Abans de començar, assegura't que totes les mesures són en la mateixa unitat.
Exemple
Un got fa 7 cm de diàmetre i 10 cm d'altura, mesurats per dins.
- Calcula el radi. 7 : 2 = 3,5 cm
- Calcula el volum. 3,5² · π · 10 ≈ 384,85 cm³
- Passa a litres. 384,85 : 1000 ≈ 0,38 litres, o uns 385 ml
Per a un exemple més gran, pren un dipòsit d'aigua de 0,5 m de radi i 1,2 m d'altura. El seu volum és 0,5² · π · 1,2 ≈ 0,94 m³. Multiplica per 1000 i veuràs que el dipòsit conté uns 942 litres.
Un problema freqüent són les unitats barrejades, com un radi en centímetres i una altura en metres. Primer passa-ho tot a una mateixa unitat. Passar de cm³ a m³, mil·lilitres i litres és molt més ràpid amb unes quantes rondes de conversió d'unitats.
Com es calcula l'altura o el radi d'un cilindre a partir del seu volum?
Per calcular l'altura, divideix el volum entre l'àrea de la base, és a dir, h = V : (πr²). Per calcular el radi, divideix el volum entre π per l'altura i després fes l'arrel quadrada, és a dir, r = √(V : (πh)). Les dues fórmules són simplement V = πr²h al revés, pas a pas.
Exemple
Una gerra cilíndrica ha de contenir 1 litre, que són 1000 cm³, i el seu radi és de 5 cm. La seva altura ha de ser 1000 : (π · 5²) = 1000 : 78,54 ≈ 12,73 cm.
Ara al revés. Un cilindre de 10 cm d'altura conté 500 cm³. El seu radi és √(500 : (π · 10)) = √15,92 ≈ 3,99 cm.
Per comprovar qualsevol dels dos resultats, torna a posar els nombres a V = πr²h. Per a la gerra, π · 5² · 12,73 ≈ 1000 cm³, així que l'altura és correcta.
La fórmula es queda millor quan la fas servir sovint, amb nombres diferents. Al joc de geometria, cada atac d'un combat és una pregunta sobre figures, així que recordar πr²h ràpidament passa a formar part de guanyar una ronda. Al joc π compta com a 3, així que cada resultat és un nombre enter que pots calcular de cap. Les rondes curtes i freqüents funcionen millor que una sessió llarga.
Com es calcula el volum d'un cilindre buit?
Un cilindre buit, com un tub, és un cilindre gran al qual s'ha tret un de més petit del centre. Calcula el volum del cilindre exterior, resta el volum del forat, i el que queda és el material. Com a fórmula, és V = π(R² − r²)h, on R és el radi exterior i r és el radi interior.
Exemple
Un tub fa 100 cm de llarg, amb un radi exterior de 5 cm i un radi interior de 4 cm.
- Eleva els dos radis al quadrat. 5² = 25 i 4² = 16
- Resta. 25 − 16 = 9
- Multiplica per π i per la longitud. 9 · π · 100 = 900π ≈ 2827,43 cm³
Un error comú és restar els radis abans d'elevar-los al quadrat. Això dona (5 − 4)² · π · 100 = 100π ≈ 314,16 cm³, que és moltíssim menys. Primer eleva cada radi al quadrat i després resta.
Calcula primer l'àrea de la base i després multiplica per l'altura
Qualsevol problema de volum d'un cilindre es redueix als mateixos dos passos. Calcula l'àrea de la base circular i després multiplica per l'altura. Fes servir aquesta llista per triar el punt de partida correcte.
- Amb el radi r i l'altura h: V = πr²h
- Amb el diàmetre d: r = d : 2, o V = πd²h : 4
- Per calcular l'altura: h = V : (πr²)
- Per calcular el radi: r = √(V : (πh))
- Cilindre buit: V = π(R² − r²)h
- Litres: cm³ : 1000, o m³ · 1000
Escriu el resultat en unitats cúbiques i passa a litres només al final, quan el volum ja sigui correcte.