Els nombres enters a la recta numèrica
A la recta numèrica, els nombres enters són els punts, tots a la mateixa distància, on arribes quan comptes endavant o enrere des del 0. Nombres com 1/2, 3,5 o √2 queden als espais entre ells, així que no són enters. Aquí veuràs com distingir-los, per què el zero també compta i com funcionen de debò les regles dels signes.
Com saps si un nombre és enter?
Un nombre és enter si el pots escriure sense fracció ni part decimal. Pot ser positiu, negatiu o zero. El llibre de text OpenStax Prealgebra 2e (en anglès) ho resumeix de manera senzilla, els enters són els nombres que fem servir per comptar, els seus oposats i el zero. Per tant, 7, −7 i 0 són enters, però 7,5 no.
Exemple
Prova amb aquests casos ràpids.
- −12 és enter, perquè és l'oposat de 12, un nombre que fem servir per comptar.
- 0 és enter.
- 3,5 no és enter, perquè té part decimal.
- 1/2 no és enter.
- 8/2 és enter, perquè 8/2 = 4.
- √9 és enter, perquè √9 = 3.
- √2 no és enter, perquè val aproximadament 1,41.
Els últims casos ensenyen un bon hàbit. Primer calcula el valor i després decideix. Un nombre pot semblar una fracció o una arrel i, tot i així, acabar sent enter.
El 0 és un nombre enter?
Sí, el 0 és un nombre enter. És al centre de la recta numèrica, entre els enters negatius i els positius. El zero no és ni positiu ni negatiu, com diu expressament OpenStax. Això sí, és parell, perquè 0 = 2 × 0, així que en dividir-lo entre 2 no en sobra res.
Els nombres negatius són enters?
Els nombres negatius són enters només si no tenen fracció ni part decimal. −5 i −100 són enters. −2,5 i −3/4 són negatius, però no són enters. La mateixa prova serveix per a qualsevol nombre, sigui quin sigui el seu signe.
Quina diferència hi ha entre nombres enters i nombres naturals?
Els nombres naturals són els que fem servir per comptar, 1, 2, 3 i així successivament, sense negatius. Molts llibres de text també hi inclouen el 0. Els nombres enters contenen tots els naturals i, a més, els seus oposats, −1, −2, −3, etc. Per tant, −4 és un nombre enter però no és natural. El nom mateix ho diu, un nombre enter és «sencer», sense trossos decimals ni fraccions. Si tens dubtes amb el 0, mira quina definició fa servir el llibre de text del teu fill.
Exemple
Així encaixen uns conjunts de nombres dins dels altres.
- Nombres naturals: 1, 2, 3, 4, …
- Nombres naturals amb el zero: 0, 1, 2, 3, 4, …
- Nombres enters: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
- Nombres racionals: tots els que es poden escriure com a fracció de dos enters, com ara 1/2, −3/4 i 7 (que és 7/1)
Els matemàtics escriuen el conjunt dels nombres enters com a ℤ. La lletra ve de la paraula alemanya Zahlen, que vol dir «nombres». Els naturals s'escriuen ℕ. Com acabes de veure, ni tan sols amb ells hi ha un acord total, perquè uns llibres comencen pel 0 i d'altres per l'1.
On trobem els nombres enters a la vida real?
Els nombres enters apareixen sempre que comptem amunt i avall des d'un punt zero. Les temperatures sota zero, les plantes per sota del carrer, les profunditats sota el nivell del mar o la diferència de gols d'un equip de futbol són enters que poden ser negatius. En tots aquests casos, el 0 és un punt de referència, no «res».
Exemple
Al matí fa −4 °C i a l'hora de dinar la temperatura ha pujat 7 graus. Comença a −4 i puja 7 passos per la recta numèrica, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. Al migdia fa 3 °C, així que −4 + 7 = 3.
En un ascensor, la planta baixa sol ser el 0, l'aparcament pot ser a la planta −2 i la cinquena planta és el 5. Per anar de la −2 a la 5 recorres 7 plantes, perquè 5 − (−2) = 7.
Com se sumen i es resten nombres enters?
Per sumar enters, imagina una recta numèrica. Sumar un nombre positiu et mou cap a la dreta i sumar un nombre negatiu et mou cap a l'esquerra. Restar és el contrari de sumar, així que restar un nombre negatiu et mou cap a la dreta. Per això, quan treus un negatiu, el resultat és més gran.
Exemple
Calcula −3 + 5. Comença a −3 i fes 5 passos cap a la dreta. Passes per −2, −1, 0 i 1, i t'atures a 2. Així que −3 + 5 = 2.
Uns quants més per practicar.
- −6 + 2 = −4, perquè 2 passos a la dreta des de −6 et porten a −4.
- −2 − 5 = −7, perquè 5 passos a l'esquerra des de −2 et porten a −7.
- 4 − (−3) = 7, perquè restar −3 és el mateix que sumar 3.
Per què restar un negatiu dona un resultat més gran?
Restar vol dir preguntar-se «quina és la diferència?». La diferència entre 4 i −3 a la recta numèrica és de 7 passos, així que 4 − (−3) = 7. OpenStax escriu la regla general com a − (−b) = a + b. Molts infants s'encallen amb −5 + 4 perquè veuen un signe més i esperen un nombre més gran. Si comences a −5 i avances 4 cap a la dreta, veus que el resultat és −1.
Per què menys per menys és més?
Quan multipliques dos enters, el resultat és positiu si els signes són iguals i negatiu si són diferents. Un negatiu per un negatiu dona positiu per un patró. Cada vegada que el primer nombre baixa 1, el resultat canvia en la mateixa quantitat, i aquest patró només continua si el resultat passa a ser positiu.
Exemple
Fixa't què passa amb 3 × (−2) quan el primer nombre baixa d'1 en 1.
- 3 × (−2) = −6
- 2 × (−2) = −4
- 1 × (−2) = −2
- 0 × (−2) = 0
- (−1) × (−2) = 2
- (−2) × (−2) = 4
Cada resultat és 2 més que l'anterior. Perquè el patró continuï després del zero, (−1) × (−2) ha de ser 2. Una altra manera de veure-ho és que multiplicar per −1 et fa fer mitja volta a la recta numèrica. Si fas mitja volta dues vegades, tornes a mirar cap al mateix costat.
La divisió d'enters segueix la mateixa regla dels signes?
Sí. (−12) : 3 = −4 i (−12) : (−3) = 4, amb la mateixa regla de signes iguals i diferents. Però hi ha una diferència. Sumar, restar o multiplicar dos enters sempre dona un enter, però dividir no sempre. 8 : 2 = 4 és enter, mentre que 7 : 2 = 3,5 no ho és.
Com es guanya rapidesa amb els nombres enters?
La rapidesa amb els enters arriba fent molts càlculs curts fins que tens la recta numèrica al cap. Al joc de nombres negatius, cada atac és un càlcul ràpid amb nombres negatius, així que els infants practiquen les regles dels signes mentre intenten guanyar el combat.
A la ronda de dalt, restar −17 és el mateix que sumar 17, així que −1 − (−17) = −1 + 17 = 16.
La distància d'un nombre al zero s'anomena valor absolut, així que el valor absolut de −5 és 5. És la idea següent que solen estudiar els alumnes després dels enters, i el joc de valor absolut la converteix en una sèrie de rondes ràpides.
Els nombres enters són els que pots assolir comptant endavant o enrere
Cada nombre enter és un pas on pots arribar comptant des del 0, cap a la dreta per als positius i cap a l'esquerra per als negatius. El zero és al centre i també forma part del grup. Si un infant és capaç d'imaginar aquesta recta numèrica, les regles per sumar, restar i multiplicar deixen de ser regles per memoritzar i comencen a tenir sentit.
Entrena aquestes a continuació