Pràctica de mates · reinventada
Joc d’eliminació gaussiana
Aquí l’eliminació de Gauss arriba entrada a entrada: el nombre que deixa una operació de fila, una incògnita llegida en una escala o el rang de tota la matriu. El teu rival veu la mateixa matriu, així que com més netes siguin les teves operacions, abans colpeja el teu lluitador.
De 4 a 99+ anys · sense descàrregues · juga al navegador · 23 idiomes
Què és l’eliminació gaussiana?
L’eliminació gaussiana és un mètode per resoldre un sistema d’equacions lineals endreçant-ne la matriu, la taula de coeficients, fila a fila. Pots intercanviar dues files, multiplicar una fila o restar a una fila un múltiple d’una altra. Pas a pas apareixen zeros sota una escala, i després les solucions es llegeixen des de baix.
Tots els nivells de Eliminació de Gauss
Exemple: R₂ − 5·R₁ a [ 1 2 4 8 ; 5 4 6 7 ; 5 4 5 8 ]
- La pregunta demana a₂₂, la nova entrada de la fila 2, columna 2, després de R₂ − 5·R₁.
- En aquesta columna, la fila 2 té un 4 i la fila 1 té un 2.
- Resta cinc vegades l’entrada de la fila 1: 4 − 5 × 2 = 4 − 10 = −6.
- La nova entrada és −6, així que l’escrius amb el signe menys.
Aprèn-ho pas a pas
L'eliminació de Gauss endreça una matriu fila a fila. El moviment que fa servir més és: agafa una fila i resta-li un cert nombre de còpies d'una altra fila. Escrit F₂ − 3·F₁, vol dir: nova fila 2 = fila 2 menys 3 vegades la fila 1.
Ho fas element a element, columna a columna. Per trobar el nou element de la fila 2, columna 3, agafa l'antic element de la fila 2 a la columna 3 i resta-li 3 vegades l'element de la fila 1 a la columna 3. Si són 7 i 4, el nou element és 7 − 3 × 4 = 7 − 12 = −5. La k es tria perquè el primer element de la fila es converteixi en 0 (aquest és l'objectiu del moviment), però només necessites l'element concret que diu la pregunta.
Troba els dos elements de la columna que et demanen, multiplica el de dalt per k, resta i escriu el nou element.
Consells i errors habituals
- Llegeix a₃₂ com un seient de cinema: primer la fila, després el seient. Fila 3, columna 2, mai al revés.
- Un error habitual és canviar les dues files. R₂ − 5·R₁ només reescriu la fila 2; la fila 1 queda igual i només presta els seus nombres.
- Escriu un sistema petit en paper, com x + y = 5 i x − y = 1, i competiu per eliminar la x abans d’aïllar la y.
Com es juga
Cada ronda mostra una matriu amb una pregunta al costat: una operació de fila i l’entrada que canvia, una incògnita d’un sistema triangular o un rang. Tecleja el nombre abans que el teu rival i All encerta el cop, més fort com més ràpid vagis. Si falles, quedes atordit un moment.
— Respostes ràpides —
Eliminació de Gauss: les preguntes ràpides
- Què és la substitució regressiva?
- La substitució regressiva resol un sistema triangular des de l’última equació cap amunt. La fila de baix té una sola incògnita, així que es resol primer. Aquest valor passa a la fila de sobre, que es queda amb una incògnita, i així fins a dalt. Si l’última fila diu 2x₄ = 10, aleshores x₄ = 5, i la fila anterior fa servir aquest 5.
- Com es calcula el rang d’una matriu?
- Per calcular el rang d’una matriu, redueix-la per files fins a veure una escala de pivots i compta les files que no són tot zeros. Una fila que es converteix en zeros era una barreja de les altres i no aporta res de nou. Una matriu 3×3 amb la tercera fila igual a la suma de les dues primeres té rang 2.
- Per què m’equivoco de signe en reduir files?
- Els signes equivocats en reduir files solen venir de restar una entrada negativa. Si la fila 1 té −3 i l’operació és R₂ − 2·R₁, restes 2 × (−3) = −6, és a dir, sumes 6. Escriu cada producte entre parèntesis amb el seu signe abans de restar i l’error desapareix.
- Quan s’estudia l’eliminació de Gauss?
- En molts sistemes educatius, l’eliminació de Gauss arriba amb un primer curs universitari d’àlgebra lineal, tot i que alguns instituts la presenten amb sistemes 3×3. Aquí, els seus nivells van dels 17 als 18 anys. Qui es mogui amb soltesa entre nombres negatius i equacions senzilles pot començar pel primer nivell.
- Aquest joc de reducció per files és gratuït i serveix per a classe?
- Sí, és gratuït en qualsevol navegador de portàtil, tauleta o mòbil, sense instal·lar res. Per practicar la reducció per files, doneu a cada equip un sistema 3×3 i demaneu que anunciïn cada nova entrada mentre eliminen. El primer equip que arribi a una escala neta explica els seus passos a la resta. Amb el pla per a escoles, que es paga per alumne, el docent té un tauler on veu qui accelera.