Hvordan beregner man arealet af en cirkel?
For at beregne arealet af en cirkel skal du sætte radius, altså afstanden fra centrum til kanten, i anden og gange resultatet med π, som er cirka 3,14. Skriv svaret i kvadratenheder, fx cm² eller m², fordi areal måler en flade og ikke en længde.
Eksempel
Find arealet af en cirkel med en radius på 5 cm.
- Sæt radius i anden. 5 · 5 = 25
- Gang med π. 25 · π ≈ 78,54
- Tilføj kvadratenheder. Arealet er cirka 78,54 cm²
Du kan også lade svaret stå som 25π cm². Den eksakte form er almindelig i de ældre klasser, fordi du undgår at afrunde.
Skal du bruge 3,14 eller π-tasten?
Begge dele er fint, så længe du følger det, læreren eller opgaven beder om. π er et irrationalt tal, så decimalerne slutter aldrig og gentager sig ikke, som Britannica forklarer. Med 3,14 får du 25 · 3,14 = 78,5 cm², mens π-tasten giver 78,54 cm². Den lille forskel skyldes kun afrundingen af π.
Typiske fejl med formlen
Den mest almindelige fejl er at gange radius med 2 i stedet for at sætte den i anden. Med en radius på 5 cm er 5 · 2 = 10, men 5² = 25. En anden fejl er først at gange π med radius og derefter sætte hele resultatet i anden. Ifølge regnearternes hierarki kommer potensen først, så sæt radius i anden, før du ganger med π.
Hvordan finder man arealet af en cirkel ud fra diameteren?
For at finde arealet ud fra diameteren halverer du diameteren for at få radius og bruger derefter A = πr². Diameteren går hele vejen tværs over cirklen gennem centrum, så den er dobbelt så lang som radius. I ét trin er formlen A = πd² : 4, som giver præcis det samme svar.
Eksempel
En cirkel har en diameter på 10 cm. Halver den, så får du en radius på 5 cm. Så er 5² · π = 25π ≈ 78,54 cm².
Med formlen i ét trin er 10² = 100, og derefter er 100 · π : 4 = 25π ≈ 78,54 cm². Begge veje giver det samme.
En meget almindelig fejl er at sætte diameteren direkte ind i πr². Med 10 cm giver det 100π ≈ 314,16 cm², hvilket er fire gange for meget. Hvis et svar ser overraskende stort ud, så tjek, om du er kommet til at bruge diameteren.
Hvordan finder man arealet af en cirkel ud fra omkredsen?
For at finde arealet ud fra omkredsen finder du først radius ved at dividere omkredsen med 2π. Derefter bruger du A = πr². Omkredsen er afstanden hele vejen rundt om cirklen, og den er lig med 2πr. Hvis du foretrækker ét trin, er formlen A = C² : (4π), hvor C er omkredsen.
Eksempel
Et rundt blomsterbed har en omkreds på 30 m. Find arealet.
- Find radius. 30 : (2 · π) ≈ 4,77 m
- Find arealet. Behold hele radius i lommeregneren. π · 4,7746² ≈ 71,6 m²
- Tjek med formlen i ét trin. 30² : (4 · π) = 900 : 12,566 ≈ 71,6 m²
Hvis du afrunder radius til 4,77 først, får du i stedet π · 4,77² ≈ 71,5 m². Den lille forskel er grunden til, at det er bedst først at afrunde helt til sidst.
Hvorfor er arealet af en cirkel πr²?
Skær en cirkel i mange lige store stykker, som en pizza, og læg dem på række, skiftevis med spidsen opad og nedad. Stykkerne danner en figur, der næsten er et rektangel. Dens højde er radius, r, og dens længde er den halve omkreds, πr. Så arealet er πr · r, altså πr².
Eksempel
Forestil dig en cirkel med en radius på 5 cm, der er skåret i 16 stykker. Halvdelen af stykkerne peger opad og halvdelen nedad. Rækken er lige så lang som den halve omkreds, π · 5 ≈ 15,7 cm, og lige så høj som radius, 5 cm. Arealet er altså cirka 15,7 · 5 ≈ 78,5 cm², hvilket passer med formlen.
Med kun 16 stykker er kanterne stadig lidt bølgede. Med 100 eller 1.000 stykker kommer figuren tættere og tættere på et perfekt rektangel. Det er idéen bag formlen, og den er meget lettere at huske end formlen alene.
Den græske matematiker Arkimedes arbejdede med dette problem for over 2.000 år siden. Britannica beskriver, hvordan han beviste, at arealet af en cirkel divideret med kvadratet på radius altid er det samme tal, og hvordan han brugte polygoner inden i og uden om en cirkel til at vise, at π ligger mellem 223/71 og 22/7.
En hurtig måde at tjekke dit svar på
En cirkel passer præcis ind i et kvadrat, hvis sider er lige så lange som diameteren. Det kvadrat har et areal på 2r · 2r = 4r². Cirklen dækker lidt mere end tre fjerdedele af det, cirka 78,5 %, fordi π : 4 ≈ 0,785. Så hvis en cirkel med en radius på 5 cm ligger i et kvadrat med siden 10 cm, altså 100 cm², skal dens areal være lidt under 80 cm². Det er 78,54 cm².
Formlen sidder bedst fast, når du bruger den tit og med forskellige tal. I geometrispillet er hvert angreb i en kamp et spørgsmål om en figur, så det at huske πr² hurtigt bliver en del af at vinde en runde. I spillet tæller π som 3, så hvert svar er et helt tal, du kan regne ud i hovedet. Korte, hyppige runder virker bedre end én lang omgang.
Hvordan finder man radius, når man kender arealet?
For at finde radius ud fra arealet regner du baglæns gennem formlen. Divider arealet med π, og tag derefter kvadratroden af resultatet. Som formel er det r = √(A : π). Gang radius med 2, hvis du i stedet skal bruge diameteren.
Eksempel
En cirkel har et areal på 50 cm². Divider med π. 50 : π ≈ 15,92. Tag derefter kvadratroden. √15,92 ≈ 3,99, så radius er cirka 3,99 cm og diameteren cirka 7,98 cm.
For at tjekke sætter du radius ind i formlen igen. π · 3,99² ≈ 50,0 cm². Hvis du er lidt rusten i kvadratrødder, gør et par runder med kvadratrødder dette trin meget hurtigere.
Er én stor pizza større end to små?
Tit, ja. Fordi radius sættes i anden, bliver arealet af en cirkel fire gange så stort, når diameteren fordobles. En pizza med en diameter på 30 cm har et areal på cirka 707 cm². To pizzaer med en diameter på 20 cm har tilsammen cirka 628 cm², så den ene store pizza giver dig mest.
Eksempel
For pizzaen på 30 cm er radius 15 cm, så arealet er π · 15² ≈ 706,9 cm². For én pizza på 20 cm er radius 10 cm, så arealet er π · 10² ≈ 314,2 cm². To af dem giver cirka 628,3 cm², omkring 79 cm² mindre end den ene store pizza.
Den slags sammenligninger er en god måde at vise børn, hvorfor det betyder noget at sætte i anden. En cirkel, der kun er lidt bredere, dækker meget mere flade.
Hvad er arealet af en halvcirkel?
En halvcirkel er en halv cirkel, så dens areal er halvdelen af πr², altså πr² : 2. For en halvcirkel med en radius på 5 cm er arealet 25π : 2 ≈ 39,27 cm². Husk at bruge radius og ikke længden af den lige kant, som er diameteren.
Find radius først, så følger resten
Næsten alle opgaver om cirklens areal bliver lette, når du kender radius. Brug denne liste til at vælge det rigtige første trin.
- Kender du radius r, så er A = πr²
- Kender du diameteren d, så er r = d : 2, eller A = πd² : 4
- Kender du omkredsen C, så er r = C : (2π), eller A = C² : (4π)
- Kender du arealet og skal finde radius, så er r = √(A : π)
- Ved en halvcirkel er A = πr² : 2
Skriv enhederne som kvadratenheder til sidst, og brug tjekket med kvadratet til at se, om svaret har cirka den rigtige størrelse.
Træn disse herefter