Hvordan finder du omkredsen ud fra radius eller diameter?
For at finde omkredsen af en cirkel ganger du diameteren med π, cirka 3,14, så C = πd. Diameteren er afstanden lige på tværs gennem centrum. Hvis du kun kender radius, altså afstanden fra centrum ud til kanten, så fordobl den først eller brug C = 2πr. Begge veje giver den samme længde.
Eksempel
Find omkredsen af en cirkel med en radius på 4 cm.
- Fordobl radius for at få diameteren. 2 · 4 = 8 cm
- Gang med π. 8 · π ≈ 25,13
- Sæt enheden på. Omkredsen er cirka 25,13 cm
Du kan også lade svaret stå som 8π cm. Den eksakte form er almindelig i de ældre klasser, fordi den undgår afrunding.
Med diameteren tager det ét trin. Et rundt bord med en diameter på 1,2 m har en omkreds på 1,2 · π ≈ 3,77 m, så en kantliste til bordet skal være lidt under 4 m lang.
Skal du bruge 3,14 eller π-tasten?
Begge dele er fint, så længe du følger det, opgaven beder om. π er irrationalt, så decimalerne slutter aldrig og gentager sig ikke, og Britannica skriver, at 3,14 eller 22/7 er de almindelige tilnærmelser i hverdagen. Med 3,14 giver det første eksempel 8 · 3,14 = 25,12 cm. Med π-tasten på lommeregneren får du 25,13 cm. Den lille forskel skyldes kun afrundingen af π.
Den mest almindelige fejl
Den fejl, der koster flest point til prøver, er at sætte diameteren ind i C = 2πr. Med en diameter på 10 cm giver det 2 · π · 10 ≈ 62,83 cm, hvilket er dobbelt så meget som det rigtige. Det rigtige svar er 10 · π ≈ 31,42 cm. Har du diameteren, så brug πd. Har du radius, så brug 2πr.
Hvorfor er omkredsen π gange diameteren?
π er defineret som omkredsen af en cirkel divideret med dens diameter. Alle cirkler, fra en mønt til en planet, har den samme form, så forholdet ændrer sig aldrig. Derfor virker C = πd for alle cirkler. Rul en cirkel én hel omgang langs en linje, og den tilbagelægger lidt mere end tre diametre.
Eksempel
Forestil dig en mønt med en diameter på 2 cm. Sæt et mærke på kanten, og rul den præcis én omgang langs en lineal. Mærket rammer linealen igen ved cirka 6,28 cm, fordi 2 · π ≈ 6,28. Tre diametre giver 6 cm, og det lille ekstra stykke er de 0,28 cm, der gør 3 til 3,14.
Du kan teste det derhjemme med en rund dåse, et stykke snor og en lineal, eller med en hvilken som helst rund ting og et målebånd. Mål omkredsen og diameteren, og divider så det ene med det andet. Resultatet ligger altid tæt på 3,14, og de små fejl skyldes, at man måler i hånden.
Det græske bogstav π blev ifølge Britannica første gang brugt om dette forhold af William Jones i 1706. Samme opslag beskriver, hvordan Arkimedes indkredsede π mellem 223/71 og 22/7 ved at tegne polygoner inden i og uden om en cirkel.
Hvordan finder du diameter eller radius ud fra omkredsen?
For at finde diameteren ud fra omkredsen dividerer du omkredsen med π, så d = C : π. For at finde radius dividerer du i stedet med 2π, så r = C : (2π). Det virker, fordi du blot bruger formlen for omkredsen baglæns. Mål hele vejen rundt, så følger målet på tværs.
Eksempel
En træstamme måler 150 cm rundt. Dens diameter er 150 : π ≈ 47,75 cm, og dens radius er halvdelen, cirka 23,87 cm.
Det er et smart trick til alt, du ikke kan måle lige på tværs, som et træ, en søjle eller et rør. Et målebånd rundt om ydersiden og én division giver dig diameteren.
Hvordan finder du omkredsen ud fra arealet?
For at finde omkredsen ud fra arealet finder du først radius. Divider arealet med π, og tag så kvadratroden, så r = √(A : π). Brug derefter C = 2πr. Behold hele radius i lommeregneren, og afrund først til sidst, så små afrundingsfejl ikke hober sig op.
Eksempel
En cirkel har et areal på 100 cm².
- Find radius. 100 : π ≈ 31,83, og √31,83 ≈ 5,64 cm
- Find omkredsen. 2 · π · 5,642 ≈ 35,45 cm
Der findes også en formel i ét trin, C = 2√(πA). Med 100 cm² giver den 2 · √(π · 100) ≈ 35,45 cm, altså det samme svar. Hvis kvadratrødder føles langsomme, gør et par runder kvadratrødder dette trin meget hurtigere.
Hvor langt kommer et hjul på én omgang?
Et hjul tilbagelægger én omkreds, hver gang det drejer én gang rundt, så længe det ruller uden at glide. Afstanden for én omgang er altså π gange hjulets diameter. Et cykelhjul med en diameter på 70 cm kører cirka 2,2 m pr. omgang, og 1.000 omgange bringer det cirka 2,2 km frem.
Eksempel
For hjulet på 70 cm er én omgang 70 · π ≈ 219,9 cm, eller cirka 2,2 m. For at køre 1 km, som er 100.000 cm, drejer hjulet 100.000 : 219,9 ≈ 455 gange.
Det er præcis sådan, mange cykelcomputere og skridttællere anslår afstanden. De tæller omgange eller skridt og ganger med en kendt længde. Det er også en god måde at vise børn, at π ikke bare er et tal fra skolen.
Formlen sidder bedst fast, når du bruger den tit, med forskellige tal. I geometrispillet er hvert angreb i en kamp et spørgsmål om figurer, så det at huske C = πd hurtigt bliver en del af at vinde en runde. I spillet tæller π som 3, så hvert svar er et helt tal, du kan regne ud i hovedet. Korte, hyppige runder virker bedre end én lang omgang.
Hvad er omkredsen af en halvcirkel?
Omkredsen af en halvcirkel er halvdelen af cirklens omkreds plus den lige kant, så P = πr + 2r. En almindelig fejl er at stoppe ved πr og glemme diameteren i bunden. Med en radius på 5 cm er den buede del 5π ≈ 15,71 cm, og når du lægger 10 cm til, får du cirka 25,71 cm.
Hvordan hænger omkredsen sammen med enhedscirklen?
En enhedscirkel har radius 1, så dens omkreds er præcis 2π. Derfor er én hel omgang 2π radianer i trigonometri. Enhedscirklen bruger denne idé til at måle vinkler som afstande langs kanten.
Kender du radius eller diameter, kender du omkredsen
Næsten alle opgaver om omkreds bliver til ét enkelt gangestykke, så snart du kender radius eller diameteren. Brug denne liste til at vælge det rigtige trin.
- Radius r kendt: C = 2πr
- Diameter d kendt: C = πd
- Omkreds kendt, find diameteren: d = C : π
- Omkreds kendt, find radius: r = C : (2π)
- Areal A kendt: r = √(A : π), derefter C = 2πr
- Halvcirkel: P = πr + 2r
Svaret er altid en længde, så skriv det i cm, m eller en anden længdeenhed, aldrig i kvadratenheder.
Træn disse herefter