Fibonaccis talfølge, hvad den er, og hvor den findes i naturen

Hvordan laver man Fibonaccis talfølge?

For at lave Fibonaccis talfølge skriver du 0 og 1. Derefter lægger du de to sidste tal sammen for at få det næste, og det trin gentager du igen og igen. Hvert nyt tal afhænger kun af de to tal før det, så følgen kan fortsætte i det uendelige. De tal, du skriver på denne måde, kaldes Fibonacci-tal.

Eksempel

Byg følgen op trin for trin. Start med 0 og 1.

1. 0 + 1 = 1
2. 1 + 1 = 2
3. 1 + 2 = 3
4. 2 + 3 = 5
5. 3 + 5 = 8
6. 5 + 8 = 13
7. 8 + 13 = 21

Hvert nyt tal har kun brug for de to sidste. Det gør følgen til en god udfordring i hovedregning for børn, fordi tallene vokser hurtigt, men reglen aldrig ændrer sig. Reglen er enkel nok til et lille barn, og alligevel dukker de samme tal op i solsikker, kogler og det gyldne snit.

Starter følgen med 0 eller 1?

Begge versioner er almindelige. Mange bøger starter med 0, 1, 1, 2, 3, mens andre starter med 1, 1, 2, 3. Tallene, der kommer bagefter, er de samme i begge tilfælde. Matematikere skriver normalt reglen som Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂, med F₀ = 0 og F₁ = 1, hvilket betyder ”hvert led er summen af de to foregående”.

Skjulte mønstre i følgen

Følgen har små mønstre, som børn kan lide at opdage. Hvert tredje tal er lige (0, 2, 8, 34, 144, 610), og alle de andre er ulige. Hvert femte tal kan deles med 5 (0, 5, 55, 610). Bed et barn om at tjekke mønstrene længere henne i følgen. Det er en sjov måde at øve addition på og samtidig få øje på struktur.

Hvor kommer Fibonaccis talfølge fra?

Følgen er opkaldt efter Leonardo fra Pisa, kendt som Fibonacci, en italiensk matematiker. Han beskrev den i sin bog Liber abaci, skrevet i 1202, gennem en opgave om kaniner. Ifølge Britannica er det den første rekursive talfølge, man kender i Europa. Det betyder, at hvert led bygges ud fra tidligere led.

Eksempel

Kaninopgaven fungerer sådan her. Du starter med ét nyfødt kaninpar. Et par skal bruge en måned på at blive voksent, og derefter får hvert voksent par et nyt par hver måned. Ingen kaniner forsvinder. Tæl parrene i starten af hver måned.

• Måned 1: 1 par (nyfødt)
• Måned 2: 1 par (nu voksent)
• Måned 3: 2 par (de voksne og deres første unger)
• Måned 4: 3 par
• Måned 5: 5 par
• Måned 6: 8 par

Hver måneds total er den forrige total plus antallet af voksne par, og de voksne er præcis totalen fra to måneder tidligere. Det er Fibonacci-reglen. Rigtige kaniner opfører sig selvfølgelig ikke så pænt. Opgaven var en måde at beskrive mønsteret på, ikke en undersøgelse af dyr.

Hvordan finder man det næste tal i Fibonaccis talfølge?

For at finde det næste Fibonacci-tal lægger du de to sidste tal i følgen sammen. Efter 21 og 34 kommer 21 + 34 = 55, og efter 34 og 55 kommer 89. Hvis du vil finde et tal langt henne i følgen, kan du føre en liste undervejs eller bruge Binets formel, som udregner et hvilket som helst led direkte ved hjælp af det gyldne snit.

Eksempel

Find det 10. Fibonacci-tal, når F₀ = 0 tæller som starten. Når du skriver listen ud, får du 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, så F₁₀ = 55.

Binets formel giver det samme svar uden listen. Opløft det gyldne snit φ (cirka 1,618) i 10. potens, og divider med √5. Det giver cirka 122,99 : 2,236 ≈ 55,004, og afrundet til nærmeste hele tal giver det 55. For ældre elever er det en sjov overraskelse, fordi et tal bygget af kvadratrødder lander så tæt på et helt tal hver gang.

At få øje på reglen bag en række tal er en færdighed, der rækker langt ud over Fibonacci. Talfølgespillet gør det til en kamp, hvor hvert angreb er en talfølge, og du skal finde det manglende tal. Det er en hurtig måde at øve sig i at se mønstre som ”læg de to sidste sammen” uden at skrive noget ned.

Hvordan hænger Fibonaccis talfølge sammen med det gyldne snit?

Hvis du dividerer hvert Fibonacci-tal med tallet før, kommer resultaterne tættere og tættere på det gyldne snit, cirka 1,618. For eksempel er 8 : 5 = 1,6, 13 : 8 = 1,625 og 89 : 55 ≈ 1,618. Selve det gyldne snit er (1 + √5) : 2, et tal, hvis decimaler aldrig slutter og aldrig gentager sig.

Eksempel

Se, hvordan forholdene falder til ro, efterhånden som tallene vokser.

• 3 : 2 = 1,5
• 5 : 3 ≈ 1,667
• 8 : 5 = 1,6
• 13 : 8 = 1,625
• 21 : 13 ≈ 1,615
• 34 : 21 ≈ 1,619
• 55 : 34 ≈ 1,618

Resultaterne hopper over og under 1,618 og kommer tættere på hver gang. Britannica nævner, at matematikeren Robert Simson beskrev denne sammenhæng i 1753.

Hvad er Fibonacci-spiralen?

Tegn et kvadrat med sider på 1, derefter endnu et kvadrat på 1 ved siden af, så et kvadrat på 2, så 3, så 5, så 8, hvor hvert kvadrat lægges op ad det rektangel, du har indtil videre. Forbind de modsatte hjørner i hvert kvadrat med en kvartcirkel, så får du Fibonacci-spiralen. Den ligger meget tæt på den gyldne spiral, som vokser med det gyldne snit for hver kvart omgang.

Hvor ser man Fibonaccis talfølge i naturen?

Fibonacci-tal dukker ofte op i planter. Kernerne i en solsikke danner to sæt spiraler, og antallet af spiraler i hver retning er som regel to nabotal i Fibonaccis talfølge, for eksempel 34 og 55 eller 55 og 89. Kogler har lignende spiraler, og mange blomster har 3, 5, 8, 13 eller 21 kronblade.

Eksempel

Tag en kogle eller et billede af en solsikke, og tæl de spiraler, der snør sig med uret. Tæl derefter de spiraler, der snør sig den anden vej. Siderne om Fibonacci i naturen af dr. Ron Knott fra University of Surrey viser solsikker med 55 spiraler den ene vej og 34 den anden, og større solsikker med 89 og 55.

De samme sider ordner blomster efter antal kronblade, for eksempel ridderspore med 8, eng-brandbæger og nogle margueritter med 13 og asters med 21. At tælle sammen er en dejlig praktisk aktivitet, og den viser børn, at tal beskriver virkelige ting omkring dem.

Hvorfor vokser planter i Fibonacci-spiraler?

Mange planter placerer hvert nyt frø eller blad med omtrent den samme drejningsvinkel i forhold til det forrige, cirka 137,5°. Denne vinkel, som hænger sammen med det gyldne snit, pakker frøene tæt uden spildte huller, og de spiraler, du kan tælle, er en bivirkning af den jævne drejning. Anden del af Ron Knotts guide viser, hvorfor denne vinkel virker så godt.

Findes Fibonaccis talfølge virkelig overalt i naturen?

Nej. Fibonacci-tal er almindelige i planter, men de er ikke en naturlov. Ron Knotts sider fra Surrey påpeger, at man ikke altid finder Fibonacci-tal i kronblade eller frøstande, og nogle blomster, som fuchsia, har 4 kronblade. Mange påstande på nettet, især om skaller, ansigter og berømte bygninger, strækker beviserne alt for langt.

Eksempel

Nautilens skal bliver ofte vist med en gylden spiral tegnet ovenpå. Skallen vokser ganske vist i en logaritmisk spiral, en kurve, der beholder den samme form, når den bliver større. Men Knotts sider påpeger, at dens vækstfaktor varierer og måske ikke er det gyldne snit, og at det er forkert at kalde den en gylden spiral. Nautilen er altså en smuk spiral, men ikke et bevis for Fibonacci.

Det er også en nyttig lektie for ældre børn. Et mønster, der dukker op tit, er værd at lægge mærke til, men det ærlige spørgsmål er altid ”hvor tit, og hvor præcist?”. At tælle spiralerne på en rigtig kogle er en bedre test end noget billede på nettet.

To starttal og én regel bygger hele følgen

Hvert Fibonacci-tal kommer fra det samme trin, nemlig at lægge de to tal før det sammen. Her er de første 21 led, startende fra F₀ = 0, så du kan tjekke din egen liste.

• 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34
• 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987
• 1.597, 2.584, 4.181, 6.765

Hvis et barn mister tråden, så gå tilbage til de to sidste tal, det er sikker på, og læg sammen igen. Reglen ændrer sig aldrig, så en fejl er altid nem at rette.