Hvis det lyder forkert, er du i godt selskab. Tusindvis af mennesker, nogle af dem med en ph.d., nægtede først at tro på det. Her kommer gåden og bagefter et par forskellige måder at se, hvorfor det betaler sig at skifte. En af dem får det sikkert til at falde på plads.
Hvordan fungerer Monty Hall-problemet?
Du er med i et gameshow og står foran tre lukkede døre. Bag den ene står en bil, bag de to andre står en ged. Du vælger en dør. Værten, som ved, hvor bilen er, åbner en af de to andre døre og viser dig en ged. Så spørger han, om du vil blive ved din dør eller skifte til den sidste lukkede.
De fleste trækker på skuldrene og siger, at det er lige meget. Der er to døre tilbage, så det må være 50/50. Det er det ikke. Hvis du skifter, vinder du bilen 2 gange ud af 3.
Gåden er opkaldt efter Monty Hall, der var vært på tv-gameshowet Let's Make a Deal. Det berømte svar bygger på tre regler.
- Værten åbner altid en dør, du ikke har valgt.
- Værten viser altid en ged, aldrig bilen.
- Værten tilbyder dig altid at skifte.
Hvorfor vinder man 2 ud af 3 gange ved at skifte?
Dit første valg er forkert 2 gange ud af 3. Hver gang det er forkert, har værten intet valg. Han må åbne den anden dør med en ged, og så står bilen bag den dør, du kan skifte til. Du vinder altså ved at skifte, hver gang dit første gæt var forkert, og taber kun, når du tilfældigvis valgte bilen med det samme.
Eksempel
Lad os sige, at du altid vælger dør 1. Bilen kan kun stå tre steder, og hvert sted er lige sandsynligt.
- Bilen står bag dør 1. Værten åbner dør 2 eller dør 3. Bliver du, vinder du. Skifter du, taber du.
- Bilen står bag dør 2. Værten må åbne dør 3. Bliver du, taber du. Skifter du, vinder du.
- Bilen står bag dør 3. Værten må åbne dør 2. Bliver du, taber du. Skifter du, vinder du.
Tæl efter. At blive vinder én gang, at skifte vinder to gange. Det virker på samme måde, uanset hvilken dør du starter med.
Her er en anden måde at se det på. Din dør starter med en chance på 1 ud af 3, og de to andre døre deler de resterende 2 ud af 3. Når værten åbner den ene af dem, flytter bilen sig ikke. Han viser dig bare, hvilken af de to døre der nu har hele chancen på 2 ud af 3.
Hvorfor er det ikke 50/50, når der er to døre tilbage?
Fordi værten ikke åbner en tilfældig dør. Han ved, hvor bilen er, og undgår den altid, så den dør, han lader være lukket, er valgt med den viden. Din egen dør blev valgt i blinde og beholder sin chance på 1 ud af 3. Den anden lukkede dør får resten, 2 ud af 3.
En artikel om gåden i Scientific American forklarer fejlen med noget, psykologer kalder equiprobability bias. Vi har en tendens til at gå ud fra, at de udfald, vi har foran os, er lige sandsynlige. To døre ligner plat eller krone, så vi holder op med at tænke.
Den anden fælde er, at værtens træk ser ud til ikke at fortælle dig noget. Faktisk fortæller det dig en hel del. Hver gang din dør skjuler en ged, er værten tvunget til at lade døren med bilen være lukket. Det tvungne valg er den skjulte information.
Bliver det nemmere med 100 døre?
For mange gør det. Forestil dig 100 døre og én bil. Du vælger en, og værten, som ved, hvor bilen er, åbner 98 af de andre og viser 98 geder. Én dør forbliver lukket. Din dør havde en chance på 1 ud af 100. Den dør, værten omhyggeligt sprang over, har nu de andre 99 ud af 100.
Eksempel
Du vælger dør 37. Værten åbner alle døre fra 1 til 100 undtagen 37 og 82. Tror du virkelig, at dit tilfældige første valg var det heldige? Det er langt mere sandsynligt, at han sprang dør 82 over, fordi bilen står bag den.
Marilyn vos Savant, som gjorde gåden berømt, brugte en endnu større udgave med en million døre. Idéen er den samme med tre døre, den er bare sværere at mærke. Hvis 100 døre ikke hjælper dig, så prøv i stedet at tænke på at tage fejl. Dit første valg er forkert 2 gange ud af 3, og når du skifter, bliver hvert forkert valg til en gevinst.
Hvad sker der, hvis værten ikke ved, hvor bilen er?
Så hjælper det ikke længere at skifte. Hvis værten åbner en tilfældig dør, og der tilfældigvis står en ged bag den, vinder du halvdelen af gangene, uanset om du bliver eller skifter. Svaret 2 ud af 3 gælder kun, når værten ved, hvor bilen er, altid åbner en dør med en ged og altid tilbyder dig at skifte.
Eksempel
Du vælger dør 1, og en vært, der ikke ved noget, åbner dør 2 eller dør 3 tilfældigt. Nogle gange afslører han bilen ved et uheld, og de spil er ødelagte. I de spil, hvor der kommer en ged frem, står bilen bag din dør præcis halvdelen af gangene.
Den rigtige Monty Hall pegede selv på samme hage. I en artikel i New York Times fra 1991 advarede han om, at en deltager skal passe på, hvis værten selv kan vælge, om han overhovedet vil tilbyde et skift. I et rigtigt show kan selve tilbuddet være en fælde.
Hvordan kan du selv teste Monty Hall-problemet?
Du skal kun bruge tre spillekort og en ven. Et es er bilen, to andre kort er gederne. Din ven blander dem med bagsiden opad, du peger på et, og din ven vender en ged, som du ikke valgte. Spil 30 runder, og skift hver gang. Du bør vinde omkring 20 af dem.
Spil derefter 30 runder mere, hvor du altid bliver. Denne gang bør du vinde omkring 10. Med så få runder svinger tallene lidt, men forskellen viser sig hurtigt.
Selv berømte matematikere havde brug for at se det. Scientific American nævner, at den meget produktive matematiker Paul Erdős også blev snydt af gåden. Så hvis det stadig føles forkert, så spil med kortene.
Det, gåden i virkeligheden træner, er at tælle alle de mulige tilfælde ærligt. Sandsynlighedsspillet stiller samme slags spørgsmål i hver runde. I kampen herunder skal du for eksempel tælle, på hvor mange måder 4 mønter kan vise præcis 1 krone. Svaret er 4, fordi kronen kan være på en hvilken som helst af de fire mønter.
Hvorfor tager så mange fejl af Monty Hall-problemet?
To lukkede døre ligner ganske enkelt et valg på 50/50, og det er let at overse, at værten ved noget, du ikke ved. Fortrydelse spiller nok også ind. Det føles værre at tabe, fordi du skiftede væk fra bilen, end at tabe, fordi du blev, så mange bliver ved deres første dør, selv når de forstår matematikken.
Gåden dukkede første gang op i 1975 i breve fra statistikeren Steve Selvin. Den blev berømt i 1990, da Marilyn vos Savant besvarede den i sin klumme Ask Marilyn i magasinet Parade og rådede læserne til at skifte. Ifølge Scientific American fik hun anslået 10.000 breve, der fortalte hende, at hun tog fejl. New York Times tilføjede, at næsten 1.000 af dem var underskrevet af folk med en ph.d.
Hun havde selvfølgelig ret. Brevene er i dag en del af historien, og de er den bedste påmindelse om, at en selvsikker mavefornemmelse om sandsynlighed kan være helt forkert.
Skift, så længe værten ved besked og altid åbner en dør med en ged
Med de almindelige regler fordobler du din chance for at vinde ved at skifte, fra 1 ud af 3 til 2 ud af 3. Ændrer du reglerne, kan svaret også ændre sig, for eksempel med en vært, der åbner døre tilfældigt eller kun tilbyder et skift, når det passer ham. Det er den lære, der rækker ud over gameshows. Før du stoler på en sandsynlighed, så spørg dig selv, hvordan de oplysninger, du har foran dig, er blevet udvalgt.
Træn disse herefter