Regnearternes hierarki og reglen bag PEMDAS og BODMAS

Hvordan bruger man regnearternes hierarki trin for trin?

Med regnearternes hierarki (på engelsk PEMDAS) regner du et udtryk igennem i fire omgange. Først det, der står i parenteser, så potenser, så gange og division fra venstre mod højre og til allersidst plus og minus fra venstre mod højre. Skriv hele linjen igen efter hver omgang, så er det let at finde en fejl bagefter.

Eksempel

Udregn 3 + 4 · (6 − 2)² : 8.

1. Parenteser: 6 − 2 = 4, så står der 3 + 4 · 4² : 8
2. Potenser: 4² = 16, så står der 3 + 4 · 16 : 8
3. Gange og division fra venstre mod højre: 4 · 16 = 64, derefter 64 : 8 = 8, så står der 3 + 8
4. Plus og minus: 3 + 8 = 11

Det føles langsomt at skrive linjen af igen. Alligevel er det den bedste beskyttelse mod fejl. En typisk fejl er at lægge 3 og 4 sammen fra start. Så får man 7, og facit bliver forkert.

Kommer gange før division i PEMDAS?

Nej. Gange og division står på samme trin, og det gør plus og minus også. Inden for hvert par regner du bare fra venstre mod højre. PEMDAS nævner kun M før D, fordi et ord nu engang skal have sine bogstaver i en eller anden rækkefølge. At læse bogstaverne som en fast rangorden er en af de mest almindelige fejl med regnearternes hierarki.

Eksempel

Udregn 24 : 4 · 2.

1. Divisionen kommer først fra venstre: 24 : 4 = 6
2. Så kommer ganget: 6 · 2 = 12

Ganger du først, får du 24 : 8 = 3, og det er forkert. Plus og minus fungerer på samme måde. I 10 − 4 + 3 giver venstre mod højre 6 + 3 = 9. Lægger du sammen først, får du 10 − 7 = 3, og det er også forkert.

Den gratis lærebog OpenStax Prealgebra 2e siger det ligeud. Gange og division udføres i rækkefølge fra venstre mod højre, fordi de har samme prioritet. Mange voksne husker ikke den detalje fra skolen, og den står bag mange af diskussionerne om matematikgåder på nettet.

Hvad er forskellen på PEMDAS, BODMAS og BIDMAS?

Der er ingen forskel på reglerne, kun på ordene. PEMDAS starter med P for parentheses (parenteser), mens BODMAS og BIDMAS starter med B for brackets. E (exponents), O (orders) og I (indices) betyder alle potenser og rødder. Alle versioner sætter gange og division på ét trin og plus og minus på det næste.

Eksempel

Udregn 2 + 3 · 4² med hver version i tankerne.

1. Potenser først: 4² = 16
2. Så gange: 3 · 16 = 48
3. Så plus: 2 + 48 = 50

BODMAS skriver tilfældigvis D før M, og PEMDAS skriver M før D. Begge giver 50 her, og de to versioner giver samme resultat i alle udregninger. Hvis bogstavernes rækkefølge bliver ved med at forvirre, kan det hjælpe at skrive reglen som fire trin i stedet for seks bogstaver: parenteser, potenser, gange eller division, plus eller minus.

Hvorfor har vi brug for en fast regnerækkefølge?

Uden en fælles rækkefølge kunne en linje som 2 + 3 · 4 betyde to forskellige ting. Lægger du sammen først, får du 20. Ganger du først, får du 14. Aftalen siger, at gange kommer først, så svaret er 14. Hele pointen med reglen er bare, at alle, der læser den samme udregning, får det samme resultat.

Eksempel

En ven køber 3 kladdehæfter til 4 mønter stykket og en kuglepen til 2 mønter. I alt bliver det 2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14 mønter. Lægger man sammen først, får man 5 · 4 = 20, som om kuglepennen var købt fire gange.

Aftalen er meget ældre end forkortelserne. Ifølge MacTutor, arkivet for matematikkens historie ved University of St Andrews, var gange før plus og minus allerede reglen i de tidligste bøger om symbolsk algebra i 1500-tallet. Samme side citerer en historiker, der i slutningen af 1920'erne skrev, at man stadig ikke var enige om, hvorvidt ÷ eller × skulle komme først.

Hvad er svaret på 8 ÷ 2(2 + 2)?

Følger du regnearternes hierarki, som man lærer det i skolen, giver 8 ÷ 2(2 + 2), eller 8 : 2(2 + 2) med det danske divisionstegn, 16. Parentesen kommer først og giver 4. Det 2-tal, der står lige foran parentesen, betyder gange, og division og gange regnes fra venstre mod højre, så 8 : 2 · 4 = 4 · 4 = 16.

Eksempel

Her er de to måder at læse det på side om side.

1. Fra venstre mod højre: 8 : 2 · 4 = 4 · 4 = 16
2. Med 2(2 + 2) som én blok: 8 : (2 · 4) = 8 : 8 = 1

Det egentlige problem er, hvordan udregningen er skrevet. En note på matematikinstituttets hjemmeside ved Berkeley påpeger, at der ikke findes nogen fast konvention for udtryk som dette, fordi et tal skrevet tæt op ad en parentes antyder, at de to hører sammen. Matematikere undgår hele diskussionen med ekstra parenteser: (8 : 2)(2 + 2) eller 8 : (2(2 + 2)).

En brøkstreg samler ting på samme måde. Står 6 + 4 over en brøkstreg og 2 under den, lægger du sammen først, så svaret er 10 : 2 = 5.

Hvad er de mest almindelige fejl med regnearternes hierarki?

De fleste fejl kommer af, at man læser forkortelsen som seks separate trin i en fast rækkefølge. Så ender man med at gange, før man dividerer, eller lægge sammen, før man trækker fra. Andre fejl er at glemme, at en brøkstreg samler det, der står over og under den, og at kvadrere et negativt tal uden dets parentes. Skriver du linjen af efter hvert trin, fanger du de fleste af dem.

De fejl, der bliver ved med at dukke op

• At gange, før man dividerer. I 24 : 4 · 2 går du fra venstre mod højre: 6 · 2 = 12.
• At lægge sammen, før man trækker fra. I 10 − 4 + 3 går du fra venstre mod højre: 6 + 3 = 9.
• At kvadrere et negativt tal. −3² betyder −(3²) = −9, men (−3)² = 9. Parentesen afgør, om minustegnet bliver kvadreret med.
• At starte med den yderste parentes. I 2 · [5 + (3 − 1)²] starter du indefra: 3 − 1 = 2, så 2² = 4, så 5 + 4 = 9 og til sidst 2 · 9 = 18.
• At overse brøkstregen. Regn tælleren og nævneren ud hver for sig først, og dividér så.

Hvordan kan man øve regnearternes hierarki?

Korte udregninger, der kommer ofte, er den bedste måde at øve reglen på. I spillet om regnearternes hierarki er hvert angreb en blandet udregning som (5 + 3) · 7. Du regner parentesen ud, ganger og taster 56 for at sætte angrebet ind.

Potenser får mange til at gå i stå, især med negative tal. Hvis det er der, du sidder fast, så prøv potensspillet først. Bagefter er længere udregninger med potenser lettere at komme igennem.

Reglens navn afhænger af, hvor man lærer den. I USA hedder den PEMDAS, og i Storbritannien hedder den BODMAS eller BIDMAS. Andre sprog har deres egne korte udtryk, men reglen bagved er den samme overalt. På dansk taler vi om regnearternes hierarki.

Én fælles regel betyder, at alle får det samme svar

Regnearternes hierarki er en aftale, ikke en naturlov, og den virker kun, fordi alle bruger den samme. Parenteser først, så potenser, så gange og division fra venstre mod højre, så plus og minus fra venstre mod højre. Kan en udregning stadig læses på to måder, så sæt parenteser, og diskussionen er slut.