Ret linje gennem et punkt, og hvornår du bruger den frem for y = ax + b

Hvordan skriver du ligningen for en ret linje gennem et punkt?

Sæt hældningen ind på a's plads og koordinaterne til et punkt, du kender, ind på x₁'s og y₁'s plads. Lad x og y blive stående som bogstaver. De står for alle de andre punkter på linjen. Brug ligningen for en ret linje gennem et punkt, når du kender ét punkt på linjen og dens hældning.

Eksempel

Skriv ligningen for linjen gennem (2, 3) med hældningen 2.

1. Punktet giver x₁ = 2 og y₁ = 3.
2. Hældningen giver a = 2.
3. Indsæt: y − 3 = 2(x − 2).

Så er du færdig, og der er intet at reducere. Vil du være helt sikker, kan du teste et punkt mere. Går du ét skridt til højre og to skridt op fra (2, 3), lander du i (3, 5). Sæt de tal ind: 5 − 3 = 2 på venstre side, 2(3 − 2) = 2 på højre side. De passer.

Læg mærke til, at (2, 3) står direkte i ligningen. Når du tegner linjen, kan du sætte blyanten i det punkt først og arbejde dig ud derfra.

Hvordan finder du linjens ligning ud fra to punkter?

Udregn først hældningen med a = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Tag derefter et af de to punkter, og sæt det ind i y − y₁ = a(x − x₁) sammen med hældningen. Det er lige meget, hvilket punkt du vælger. Ligningerne ser forskellige ud, men når de er reduceret, beskriver de den samme linje.

Eksempel

Find linjen gennem (1, −2) og (4, 7).

1. Hældning: a = (7 − (−2)) : (4 − 1) = 9 : 3 = 3
2. Med (1, −2): y − (−2) = 3(x − 1), altså y + 2 = 3(x − 1)
3. Med (4, 7): y − 7 = 3(x − 4)

Gang ud i en af dem, og du får y = 3x − 5. Det er godt at vide, før du retter lektier efter en facitliste. En elev, der har brugt (4, 7), og en facitliste, der har brugt (1, −2), viser to forskellige ligninger, og ingen af dem er forkert.

Hvorfor skifter fortegnene, når punktet er negativt?

Formlen trækker punktets koordinater fra. Er en koordinat negativ, ender du med at trække et negativt tal fra, og det bliver til et plus. Punktet (−4, −1) giver derfor y + 1 og x + 4. Den nemmeste måde at undgå, at fortegnet vender forkert, er at skrive parenteserne helt ud, før du rydder op.

Eksempel

Skriv linjen gennem (−4, −1) med hældningen 1/2.

1. Med parenteser: y − (−1) = 1/2(x − (−4))
2. Ryddet op: y + 1 = 1/2(x + 4)

Det virker også den anden vej. Står der y + 5 = −2(x − 6), er punktet på linjen (6, −5), ikke (6, 5). Uanset hvilket fortegn du ser inde i ligningen, har koordinaten det modsatte.

Hvordan omskriver du ligningen til y = ax + b?

Gang parentesen ud, og flyt tallet på venstre side over, så y står alene. Så har du linjens ligning på formen y = ax + b. Hældningen ændrer sig ikke undervejs, og det tal, der står alene til sidst, er b, hvor linjen skærer y-aksen.

Eksempel

Omskriv y − 3 = 2(x − 2).

1. Gang parentesen ud: y − 3 = 2x − 4
2. Læg 3 til på begge sider: y = 2x − 1

Hældningen er stadig 2, og linjen skærer y-aksen i (0, −1). Det punkt kan du se på grafen ovenfor. Den anden vej går lige så hurtigt. Tag y = −3x + 5, vælg x = 1, og du får y = 2. Punktet (1, 2) og hældningen −3 giver y − 2 = −3(x − 1).

Hvilken form skal du bruge?

Brug den form, der passer til det, du allerede ved.

• Ligningen gennem et punkt, når du har et punkt og en hældning eller to punkter.
• y = ax + b, når du vil aflæse hældningen og skæringen med y-aksen eller tegne grafen.
• Den generelle form, Ax + By = C, når du skal bruge de punkter, hvor linjen skærer begge akser.

Mange lærere vil have det endelige svar på formen y = ax + b. Intet forhindrer dig i at starte med ligningen gennem et punkt og omskrive til sidst.

Hvor kommer formlen for en ret linje gennem et punkt fra?

Det er formlen for hældningen, bare omskrevet. Vælg et fast punkt (x₁, y₁) på en linje og et vilkårligt andet punkt (x, y) på samme linje. Hældningen mellem dem er a = (y − y₁) : (x − x₁). Gang begge sider med (x − x₁), så har du y − y₁ = a(x − x₁).

Eksempel

Bliv ved linjen gennem (2, 3) med hældningen 2, og test punktet (5, 9). Hældningen fra (2, 3) til (5, 9) er (9 − 3) : (5 − 2) = 6 : 3 = 2. Samme hældning, så (5, 9) ligger på linjen. Det er præcis det, ligningen siger: 9 − 3 = 2(5 − 2).

Den gratis lærebog OpenStax Elementary Algebra 2e udleder formlen på samme måde. Bagefter bruger den formlen til linjer gennem to punkter og til parallelle og vinkelrette linjer, og det er der, næste afsnit tager over.

Hvordan bruger du formlen til parallelle og vinkelrette linjer?

En parallel linje har samme hældning som den oprindelige linje. En vinkelret linje har den negative reciprokke værdi, så du vender brøken om og skifter fortegn. En hældning på 2 bliver til −1/2, og en hældning på −3/4 bliver til 4/3. Når du har den nye hældning, sætter du den ind i formlen sammen med det punkt, du har fået.

Eksempel

Find linjen gennem (2, 3), der står vinkelret på y = 2x − 1.

1. Den oprindelige hældning er 2, eller 2/1.
2. Vend den om, og skift fortegn: −1/2.
3. Linjen gennem punktet: y − 3 = −1/2(x − 2)
4. På formen y = ax + b: y = −1/2x + 4

Hurtigt tjek med x = 2: −1/2 · 2 + 4 = 3, som er y-værdien i vores punkt. For en parallel linje gennem (6, 0) beholder du hældningen 2: y − 0 = 2(x − 6), altså y = 2x − 12.

Kan alle linjer skrives ud fra et punkt og en hældning?

Næsten alle linjer kan. Undtagelsen er en lodret linje. Alle dens punkter har samme x-værdi, så tilvæksten i x er 0, og en hældning ville betyde, at man dividerer med nul. En lodret linje gennem (3, 1) skriver du i stedet som x = 3. Vandrette linjer giver ingen problemer, for deres hældning er bare 0.

Eksempel

Tag den vandrette linje gennem (1, 4). Med formlen giver det y − 4 = 0(x − 1). Nul gange hvad som helst er nul, så ligningen skrumper til y − 4 = 0, altså y = 4.

Hvordan kan du øve dig i linjens ligning?

Man bliver hurtig til linjer ved at se mange af dem. I spillet om lineære funktioner kæmper du med spørgsmål om linjer. En runde kan for eksempel spørge om hældningen fra (−2, 2) til (0, −6), og et rigtigt svar sender dit angreb af sted. Her er det (−6 − 2) : (0 − (−2)) = −8 : 2 = −4.

Omskrivningen er en lille ligning hver gang. Hvis det er der, det går langsomt, hjælper et par runder i ligningsspillet. Du bruger de samme greb, hver gang du omskriver en formel.

Bogstavet for hældningen er også forskelligt fra land til land. I Danmark bruger vi a, mens engelske bøger bruger m, og nogle lande bruger k. Uanset bogstavet er tallet foran parentesen hældningen, og tallene inde i parentesen kommer fra et punkt på linjen.

Et punkt og en hældning fastlægger linjen

Ét punkt og en hældning fastlægger en ret linje helt, og ligningen y − y₁ = a(x − x₁) skriver det direkte ned. Sæt omhyggeligt ind, behold parenteserne, til fortegnene er på plads, og test resultatet med et punkt mere. Derefter er der kun to korte trin til y = ax + b.