Lineær funktion y = ax + b forklaret trin for trin

Hvorfor y = ax + b er så nyttig

Når en ligning står på denne form, kan du aflæse hældningen og startpunktet direkte og tegne linjen på få sekunder. Herunder kan du se, hvordan du aflæser forskriften, hvordan du finder den ud fra to punkter eller en anden form, og hvilke fejl de fleste falder i.

Hvordan finder man forskriften y = ax + b?

For at finde forskriften skal du bruge to ting, hældningskoefficienten a og skæringen med y-aksen b. Find hældningen ud fra to punkter med a = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Indsæt derefter et af punkterne og hældningen i y = ax + b, og isolér b. Skriv resultatet med dine tal i stedet for a og b.

Eksempel

Find linjen gennem punkterne (1, 5) og (3, 9).

1. Hældning: a = (9 − 5) : (3 − 1) = 4 : 2 = 2
2. Brug punktet (1, 5): 5 = 2 · 1 + b, så b = 3
3. Forskrift: y = 2x + 3
4. Tjek med det andet punkt (3, 9): 2 · 3 + 3 = 9. Det passer.

Det sidste tjek tager ti sekunder og fanger de fleste fejl, så det er en god vane at få.

Hvad hvis hældningen er en brøk?

Brøker er helt normale her, og en brøk betyder ikke, at du har regnet forkert. Tag punkterne (4, 0) og (−2, 4). Hældningen er (4 − 0) : (−2 − 4) = 4 : (−6) = −2/3. Så giver 0 = −2/3 · 4 + b, at b = 8/3, og dermed er y = −2/3x + 8/3. Tjek med (−2, 4): 4/3 + 8/3 = 12/3 = 4.

Lad hældningen stå som brøk i stedet for et afrundet decimaltal, for brøken er præcis, og tjekket går helt op. Hvis det er brøkerne, der sinker dig, gør et par runder i brøkspillet det meget hurtigere at finde ensbetydende brøker og forkorte.

I runden ovenfor er 7/10 = 70/100, fordi både tæller og nævner ganges med 10.

Hvad betyder a og b i y = ax + b?

I y = ax + b er a hældningskoefficienten, og b er skæringen med y-aksen. Hældningen fortæller, hvor meget y ændrer sig, når x vokser med 1. Skæringen med y-aksen er værdien af y, når x = 0, altså punktet (0, b) på y-aksen.

Eksempel

I y = 3x − 2 er hældningen 3, og skæringen med y-aksen er −2. Linjen krydser y-aksen i (0, −2), og for hvert skridt på 1 til højre går den 3 op. I y = −2x + 4 er hældningen −2, så linjen går 2 ned for hvert skridt til højre, og den krydser y-aksen i (0, 4).

Lærebogen OpenStax College Algebra 2e (på engelsk) beskriver hældningen som "rise over run", altså lodret stigning divideret med vandret skridt, og skæringen med y-aksen som det punkt, hvor inputværdien er nul. En positiv hældning stiger fra venstre mod højre, en negativ hældning falder, og jo større tallet er (uden fortegn), jo stejlere er linjen.

En hverdagsmåde at forestille sig a og b

Et stearinlys er 20 cm højt og brænder 2 cm ned hver time. Højden efter t timer er h = −2t + 20. De 20 er startværdien (b), og −2 er ændringen hver time (a). Efter 3 timer er lyset 14 cm højt, og efter 10 timer er det brændt helt ned. Mange elever synes, det er lettere at tænke på b som startværdien og a som ændringen pr. skridt.

Hvordan tegner man grafen for y = ax + b?

For at tegne y = ax + b starter du i skæringspunktet (0, b) på y-aksen. Derfra bruger du hældningen som lodret stigning pr. vandret skridt. Gå det vandrette skridt til højre og stigningen op (eller ned, hvis hældningen er negativ) for at finde et punkt mere. Tegn en ret linje gennem begge punkter, og forlæng den.

Eksempel

Tegn y = 2x + 1.

1. Afsæt skæringspunktet (0, 1).
2. Hældningen 2 betyder 2/1, så gå 1 til højre og 2 op. Så lander du i (1, 3).
3. Tegn linjen gennem (0, 1) og (1, 3).

Med en hældning som −2/3 går du 3 til højre og 2 ned. Når du bruger nævneren som vandret skridt, lander du i gitterpunkter, og så er det lettere at tegne linjen præcist.

Hvordan omskriver man Ax + By = C til y = ax + b?

For at omskrive en ligning som Ax + By = C til formen y = ax + b skal du isolere y. Flyt x-leddet over på den anden side, og dividér derefter hvert led med tallet foran y. Tallet foran x er nu hældningen, og tallet, der står alene, er skæringen med y-aksen.

Eksempel

Omskriv 2x + 3y = 6.

1. Træk 2x fra på begge sider: 3y = −2x + 6
2. Dividér hvert led med 3: y = −2/3x + 2

Hældningen er −2/3, og skæringen med y-aksen er 2. En hyppig fejl er at aflæse hældningen som 2 direkte i 2x + 3y = 6. Tallene betyder først hældning og skæring, når y står alene på den ene side.

Ligning gennem et punkt eller y = ax + b?

Ligningen for en ret linje gennem et punkt, y − y₁ = a(x − x₁), er praktisk, når du kender et punkt og hældningen, for så kan du skrive den op med det samme. For punktet (1, 5) og hældningen 2 får du y − 5 = 2(x − 1). Gang parentesen ud og reducér, y = 2x − 2 + 5, og du er tilbage ved y = 2x + 3. Begge former beskriver den samme linje.

Hvilke linjer kan ikke skrives som y = ax + b?

Lodrette linjer kan ikke skrives som y = ax + b. Alle punkter på en lodret linje har samme x, så det vandrette skridt er 0, og hældningen ville kræve division med nul. Derfor er hældningen for en lodret linje ikke defineret. En lodret linje gennem x = 3 skrives ganske enkelt x = 3.

Eksempel

Punkterne (3, 1) og (3, 6) ligger på en lodret linje. Hældningen ville være (6 − 1) : (3 − 3) = 5 : 0, som ikke har noget resultat. Linjen er altså x = 3. En lodret linje krydser heller aldrig y-aksen, medmindre den selv er y-aksen, så der er ingen skæring at sætte ind i stedet for b.

Vandrette linjer er ikke noget problem. Punkterne (−1, 4) og (5, 4) giver hældningen 0 : 6 = 0, så linjen er y = 0x + 4, altså bare y = 4.

Hvad er de mest almindelige fejl med y = ax + b?

De fleste fejl med y = ax + b er små sjuskefejl, ikke misforståelser. Man bytter om på koordinaterne i et punkt, trækker fra i forskellig rækkefølge over og under brøkstregen i hældningsformlen eller aflæser a og b, før y står alene. Hvis du tjekker den færdige ligning med et af de oprindelige punkter, fanger du næsten dem alle.

Hurtige løsninger på hver fejl

Her er de fejl, der dukker op igen og igen, med en hurtig løsning på hver.

• At blande x og y sammen i et punkt. (5, 7) betyder x = 5 og y = 7. Tænk "først hen, så op", når du læser det.
• At ændre rækkefølgen i subtraktionen. Hvis du regner 9 − 5 foroven, så regn 3 − 1 forneden, med det samme punkt først begge gange.
• At bytte om på a og b. I y = 4 + 3x er hældningen stadig 3, fordi a er tallet, der står ved x, uanset hvor det står.
• At glemme et minus. I y = −x + 2 er hældningen −1, ikke 1.
• At tro, at en brøk må være forkert. Hældninger som 3/4 eller −2/3 er lige så gyldige som 2.

Øv y = ax + b, til det kører af sig selv

Man bliver hurtig til at aflæse linjer ved at se mange af dem. I spillet om lineære funktioner er hvert angreb et spørgsmål om en linje, så du får masser af træning i at spotte hældninger og skæringer, uden at det føles som lektier.

At isolere b er også bare en lille ligning i ét trin. Hvis det er dér, du går i stå, er ligningsspillet en god opvarmning.

Bogstaverne varierer fra land til land. I Danmark skriver vi y = ax + b, mens man i USA og andre engelsktalende lande skriver y = mx + b, i Rusland y = kx + b og i Italien y = mx + q. Uanset bogstaverne er tallet foran x altid hældningen, og tallet, der står alene, viser, hvor linjen krydser y-aksen.

To tal beskriver enhver linje, der ikke er lodret

Enhver linje, der ikke er lodret, kan skrives som y = ax + b, så to tal er nok til at beskrive den fuldstændigt. Hældningen fortæller, hvor stejl linjen er, og hvilken vej den går, og skæringen med y-aksen fortæller, hvor den starter. Find de to tal, tjek din ligning med et punkt, og resten følger af sig selv.