Hvordan beregner man rumfanget af en cylinder?
For at beregne rumfanget af en cylinder sætter du radius i den cirkelformede grundflade i anden, ganger med π, som er cirka 3,14, og ganger derefter med højden. Det er formlen V = πr²h. Skriv svaret i kubikenheder, som cm³ eller m³, fordi rumfang måler pladsen inde i en rumlig figur og ikke en længde eller en flade.
Eksempel
Find rumfanget af en cylinder med en radius på 3 cm og en højde på 10 cm.
- Sæt radius i anden. 3 · 3 = 9
- Gang med π for at få grundfladens areal. 9 · π ≈ 28,27 cm²
- Gang med højden. 9π · 10 = 90π
- Tilføj kubikenheden. Rumfanget er cirka 282,74 cm³
Du kan også lade svaret stå som 90π cm³. Den eksakte form undgår afrunding og er almindelig i de ældre klasser.
Den mest almindelige fejl er at gange radius med 2 i stedet for at sætte den i anden. Med en radius på 3 cm er 3 · 2 = 6, men 3² = 9. En anden fejl er også at sætte højden i anden. Kun radius sættes i anden, fordi kun grundfladen er en cirkel.
Hvorfor er rumfanget af en cylinder πr²h?
En cylinder er en stak ens cirkler, som en stak mønter. Hver cirkel har arealet πr², og stakken er h enheder høj. Rumfanget er altså grundfladens areal gange højden. Prismer følger samme regel, V = grundflade · højde.
Eksempel
Forestil dig en stak tynde, runde kiks, hver med et areal på 20 cm². Hvis stakken er 5 cm høj, fylder den 20 · 5 = 100 cm³. En cylinder med en grundflade på 20 cm² og en højde på 5 cm har samme rumfang.
Billedet forklarer også, hvad der sker, når cylinderen ændrer form. Fordobler du højden, fordobler du antallet af lag, så rumfanget fordobles. Fordobler du radius, bliver hvert lag fire gange så stort, fordi radius sættes i anden. Så bliver rumfanget fire gange så stort.
En cylinder passer også fint sammen med to andre runde rumlige figurer. En kegle med samme grundflade og højde rummer præcis en tredjedel af cylinderen. En kugle, der passer præcist ind i en cylinder, rummer to tredjedele af den. Ifølge Britannica var Arkimedes så stolt af det resultat, at han bad om at få det markeret på sin grav.
Hvordan finder man rumfanget af en cylinder ud fra diameteren?
For at finde rumfanget ud fra diameteren halverer du diameteren for at få radius og bruger derefter V = πr²h. Diameteren er afstanden tværs over den cirkelformede grundflade gennem centrum, så den er dobbelt så lang som radius. I ét trin er formlen V = πd²h : 4, som giver præcis samme svar.
Eksempel
En dåse har en diameter på 8 cm og en højde på 12 cm. Halver diameteren, så får du en radius på 4 cm. Så er 4² · π · 12 = 192π ≈ 603,19 cm³.
Med formlen i ét trin er 8² = 64, og så 64 · π · 12 : 4 = 192π ≈ 603,19 cm³. Begge veje giver samme resultat.
At sætte diameteren direkte ind i πr²h er en meget almindelig fejl. Med dåsen ovenfor giver det 64 · π · 12 ≈ 2.412,74 cm³, hvilket er fire gange for meget. Hvis et svar virker overraskende stort, så tjek, at du har halveret diameteren først.
Hvordan omregner man rumfanget af en cylinder til liter?
For at omregne rumfanget af en cylinder til liter beregner du rumfanget i kubikcentimeter og dividerer med 1.000, fordi 1 liter er 1.000 cm³. Hvis rumfanget er i kubikmeter, ganger du i stedet med 1.000, fordi 1 m³ rummer 1.000 liter. Sørg for, at alle mål har samme enhed, før du går i gang.
Eksempel
Et drikkeglas har en diameter på 7 cm og en højde på 10 cm, målt indvendigt.
- Find radius. 7 : 2 = 3,5 cm
- Find rumfanget. 3,5² · π · 10 ≈ 384,85 cm³
- Omregn til liter. 384,85 : 1.000 ≈ 0,38 liter, eller cirka 385 ml
Et større eksempel er en vandtank med en radius på 0,5 m og en højde på 1,2 m. Dens rumfang er 0,5² · π · 1,2 ≈ 0,94 m³. Gang med 1.000, så rummer tanken cirka 942 liter.
Et hyppigt problem er blandede enheder, for eksempel en radius i centimeter og en højde i meter. Omregn alt til samme enhed først. Det går meget hurtigere at skifte mellem cm³, m³, milliliter og liter efter et par runder enhedsomregning.
Hvordan finder man højden eller radius i en cylinder ud fra rumfanget?
For at finde højden dividerer du rumfanget med grundfladens areal, så h = V : (πr²). For at finde radius dividerer du rumfanget med π gange højden og tager derefter kvadratroden, så r = √(V : (πh)). Begge formler er bare V = πr²h regnet baglæns, ét trin ad gangen.
Eksempel
En cylinderformet kande skal rumme 1 liter, som er 1.000 cm³, og dens radius er 5 cm. Højden skal være 1.000 : (π · 5²) = 1.000 : 78,54 ≈ 12,73 cm.
Nu den anden vej. En cylinder med en højde på 10 cm rummer 500 cm³. Dens radius er √(500 : (π · 10)) = √15,92 ≈ 3,99 cm.
For at tjekke et af svarene sætter du tallene ind i V = πr²h igen. For kanden er π · 5² · 12,73 ≈ 1.000 cm³, så højden passer.
Formlen sidder bedst fast, når du bruger den ofte, med forskellige tal. I geometrispillet er hvert angreb i en kamp et spørgsmål om figurer, så det at huske πr²h hurtigt bliver en del af at vinde en runde. I spillet tæller π som 3, så hvert svar er et helt tal, du kan regne ud i hovedet. Korte, hyppige runder virker bedre end én lang session.
Hvordan finder man rumfanget af en hul cylinder?
En hul cylinder, som et rør, er en stor cylinder, hvor en mindre cylinder er fjernet fra midten. Find rumfanget af den ydre cylinder, træk rumfanget af hullet fra, og det, der er tilbage, er materialet. Som formel er det V = π(R² − r²)h, hvor R er den ydre radius og r er den indre radius.
Eksempel
Et rør er 100 cm langt, med en ydre radius på 5 cm og en indre radius på 4 cm.
- Sæt begge radier i anden. 5² = 25 og 4² = 16
- Træk fra. 25 − 16 = 9
- Gang med π og længden. 9 · π · 100 = 900π ≈ 2.827,43 cm³
En almindelig fejl er at trække radierne fra hinanden, før de sættes i anden. Det giver (5 − 4)² · π · 100 = 100π ≈ 314,16 cm³, hvilket er alt for lidt. Sæt først hver radius i anden, og træk derefter fra.
Find først grundfladen, og gang derefter med højden
Alle opgaver om rumfanget af en cylinder handler om de samme to trin. Find arealet af den cirkelformede grundflade, og gang derefter med højden. Brug denne liste til at vælge det rigtige udgangspunkt.
- Radius r og højde h kendt: V = πr²h
- Diameter d kendt: r = d : 2, eller V = πd²h : 4
- Find højden: h = V : (πr²)
- Find radius: r = √(V : (πh))
- Hul cylinder: V = π(R² − r²)h
- Liter: cm³ : 1.000, eller m³ · 1.000
Skriv svaret i kubikenheder, og omregn ikke til liter før til sidst, når rumfanget er korrekt.