Hvad er hele tal? En enkel forklaring med eksempler

Hele tal på tallinjen

På en tallinje er de hele tal de punkter med lige stor afstand, som du lander på, når du tæller frem eller tilbage fra 0. Tal som 1/2, 3,5 eller √2 ligger i mellemrummene, så de er ikke hele tal. Her kan du se, hvordan du kender forskel, hvorfor nul også tæller med, og hvordan fortegnsreglerne for hele tal egentlig virker.

Hvordan ved man, om et tal er et helt tal?

Et tal er et helt tal, hvis du kan skrive det uden brøk og uden decimaler. Det kan være positivt, negativt eller nul. Lærebogen OpenStax Prealgebra 2e (på engelsk) siger det enkelt: De hele tal er tælletallene, deres modsatte tal og nul. Så 7, −7 og 0 er hele tal, mens 7,5 ikke er.

Eksempel

Prøv disse hurtige tjek.

• −12 er et helt tal, fordi det er det modsatte tal af tælletallet 12.
• 0 er et helt tal.
• 3,5 er ikke et helt tal, fordi det har decimaler.
• 1/2 er ikke et helt tal.
• 8/2 er et helt tal, fordi 8/2 = 4.
• √9 er et helt tal, fordi √9 = 3.
• √2 er ikke et helt tal, fordi det er cirka 1,41.

De sidste eksempler viser en god vane. Regn værdien ud først, og beslut dig bagefter. Et tal kan ligne en brøk eller en kvadratrod og alligevel vise sig at være et helt tal.

Er 0 et helt tal?

Ja, 0 er et helt tal. Det ligger midt på tallinjen mellem de negative og de positive hele tal. Nul er hverken positivt eller negativt, som OpenStax skriver direkte. Til gengæld er nul et lige tal, fordi 0 = 2 · 0, så det kan deles med 2 uden rest.

Er negative tal hele tal?

Negative tal er kun hele tal, når de ikke har brøkdel eller decimaler. −5 og −100 er hele tal. −2,5 og −3/4 er negative, men de er ikke hele tal. Den samme test virker for alle tal, uanset fortegn.

Hvad er forskellen på hele tal og naturlige tal?

De naturlige tal er tælletallene 1, 2, 3 og så videre, uden negative tal. Nogle bøger regner også 0 med. De hele tal indeholder alle de naturlige tal, nul og desuden de negative tal −1, −2, −3 og så videre. Så −4 er et helt tal, men ikke et naturligt tal. Tjek gerne, hvilken definition dit barns matematikbog bruger, når det gælder 0.

Eksempel

Sådan passer de vigtigste talmængder ind i hinanden.

• Naturlige tal: 1, 2, 3, 4, …
• Naturlige tal med nul: 0, 1, 2, 3, 4, …
• Hele tal: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
• Rationale tal: alle tal, der kan skrives som en brøk af hele tal, for eksempel 1/2, −3/4 og 7 (som er 7/1)

Matematikere skriver mængden af hele tal som ℤ. Bogstavet kommer af det tyske ord Zahlen, der betyder "tal". De naturlige tal skrives ℕ. Selv om dem er man ikke helt enige, for nogle bøger starter ved 0 og andre ved 1.

Hvor møder man hele tal i hverdagen?

Hele tal dukker op, hver gang man tæller op og ned fra et nulpunkt. Temperaturer under frysepunktet, etager under jorden, dybder under havets overflade og et fodboldholds målforskel er alle hele tal, der kan være negative. I alle tilfælde er 0 et udgangspunkt, ikke "ingenting".

Eksempel

Om morgenen er det −4 °C, og frem til frokost stiger temperaturen 7 grader. Start ved −4, og tæl 7 skridt op ad tallinjen: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. Til frokost er det 3 °C, så −4 + 7 = 3.

I en elevator er stueetagen ofte 0, parkeringskælderen kan være etage −2, og femte sal er 5. Fra −2 til 5 kører du 7 etager, fordi 5 − (−2) = 7.

Hvordan lægger man hele tal sammen og trækker dem fra?

Når du skal lægge hele tal sammen, kan du forestille dig en tallinje. Lægger du et positivt tal til, flytter du til højre, og lægger du et negativt tal til, flytter du til venstre. At trække fra er det modsatte af at lægge til, så når du trækker et negativt tal fra, flytter du til højre. Derfor bliver resultatet større, når du trækker et negativt tal fra.

Eksempel

Regn −3 + 5. Start ved −3, og tag 5 skridt til højre. Du passerer −2, −1, 0 og 1 og stopper ved 2. Så −3 + 5 = 2.

Et par stykker mere at prøve.

• −6 + 2 = −4, fordi 2 skridt til højre fra −6 ender på −4.
• −2 − 5 = −7, fordi 5 skridt til venstre fra −2 ender på −7.
• 4 − (−3) = 7, fordi det at trække −3 fra er det samme som at lægge 3 til.

Hvorfor bliver resultatet større, når man trækker et negativt tal fra?

At trække fra betyder "hvad er forskellen?". Forskellen mellem 4 og −3 på tallinjen er 7 skridt, så 4 − (−3) = 7. OpenStax skriver den generelle regel som a − (−b) = a + b. Mange børn går i stå ved −5 + 4, fordi de ser et plustegn og forventer et større tal. Starter man ved −5 og går 4 til højre, kan man se, at resultatet er −1.

Hvorfor giver minus gange minus plus?

Når du ganger to hele tal, er resultatet positivt, hvis fortegnene er ens, og negativt, hvis de er forskellige. Et negativt tal gange et negativt tal giver et positivt tal på grund af et mønster. Hver gang det første tal bliver 1 mindre, ændrer resultatet sig lige meget, og mønsteret fortsætter kun, hvis resultatet bliver positivt.

Eksempel

Se, hvad der sker med 3 · (−2), når det første tal bliver 1 mindre hver gang.

• 3 · (−2) = −6
• 2 · (−2) = −4
• 1 · (−2) = −2
• 0 · (−2) = 0
• (−1) · (−2) = 2
• (−2) · (−2) = 4

Hvert resultat er 2 større end det forrige. Hvis mønsteret skal fortsætte forbi nul, må (−1) · (−2) være 2. Man kan også forestille sig, at det at gange med −1 får dig til at vende om på tallinjen. Vender du om to gange, kigger du samme vej igen.

Gælder den samme fortegnsregel for division?

Ja. (−12) : 3 = −4 og (−12) : (−3) = 4, med den samme regel om ens og forskellige fortegn. Der er dog én forskel. Når du lægger to hele tal sammen, trækker dem fra hinanden eller ganger dem, får du altid et helt tal, men det gør du ikke altid ved division. 8 : 2 = 4 er et helt tal, mens 7 : 2 = 3,5 ikke er.

Hvordan bliver man hurtigere til at regne med hele tal?

Man bliver hurtig med hele tal ved at regne mange små stykker, indtil tallinjen sidder i hovedet. I spillet med negative tal er hvert angreb en hurtig udregning med negative tal, så børnene øver fortegnsreglerne, mens de har travlt med at vinde kampen.

I runden ovenfor er det at trække −17 fra det samme som at lægge 17 til, så −1 − (−17) = −1 + 17 = 16.

Et tals afstand fra nul kaldes dets numeriske værdi, så den numeriske værdi af −5 er 5. Det er typisk det næste, eleverne lærer efter de hele tal, og spillet med numerisk værdi gør det til en række hurtige runder.

Hele tal er de tal, du kan tælle til, frem eller tilbage

Hvert helt tal er et trin, du kan nå ved at tælle fra 0, til højre for de positive tal og til venstre for de negative. Nul ligger i midten og hører også med. Hvis et barn kan se tallinjen for sig, holder reglerne for plus, minus og gange op med at være noget, man lærer udenad, og begynder at give mening.