Bagaimana cara membuat barisan Fibonacci?
Untuk membuat barisan Fibonacci, tuliskan 0 dan 1, lalu jumlahkan dua bilangan terakhir untuk mendapatkan bilangan berikutnya, dan ulangi langkah itu terus. Setiap bilangan baru hanya bergantung pada dua bilangan sebelumnya, jadi barisan ini bisa berlanjut tanpa akhir. Bilangan yang Anda tulis dengan cara ini disebut bilangan Fibonacci.
Contoh
Buat barisannya langkah demi langkah. Mulailah dengan 0 dan 1.
- 0 + 1 = 1
- 1 + 1 = 2
- 1 + 2 = 3
- 2 + 3 = 5
- 3 + 5 = 8
- 5 + 8 = 13
- 8 + 13 = 21
Setiap bilangan baru hanya membutuhkan dua bilangan terakhir. Karena itu, barisan ini menjadi latihan penjumlahan di luar kepala yang bagus untuk anak, sebab bilangannya cepat membesar tetapi aturannya tidak pernah berubah. Aturannya cukup sederhana untuk anak kecil, namun bilangan yang sama muncul pada bunga matahari, buah pinus, dan rasio emas.
Apakah barisan ini dimulai dari 0 atau 1?
Kedua versi sama-sama umum. Banyak buku memulai dengan 0, 1, 1, 2, 3, sementara buku lain memulai dengan 1, 1, 2, 3. Bilangan berikutnya tetap sama. Para matematikawan biasanya menulis aturannya sebagai Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂, dengan F₀ = 0 dan F₁ = 1, yang artinya "setiap suku adalah jumlah dua suku sebelumnya".
Pola tersembunyi dalam barisan
Barisan ini punya pola-pola kecil yang senang ditemukan anak-anak. Setiap bilangan ketiga adalah bilangan genap (0, 2, 8, 34, 144, 610), dan semua bilangan lainnya ganjil. Setiap bilangan kelima habis dibagi 5 (0, 5, 55, 610). Minta anak memeriksa apakah pola ini masih berlaku lebih jauh dalam barisan. Ini cara yang menyenangkan untuk berlatih penjumlahan sekaligus menemukan struktur.
Dari mana asal barisan Fibonacci?
Barisan ini dinamai menurut Leonardo dari Pisa, yang dikenal sebagai Fibonacci, seorang matematikawan Italia. Ia menjelaskannya dalam bukunya Liber abaci, yang ditulis pada tahun 1202, melalui sebuah teka-teki tentang kelinci. Menurut Britannica, ini adalah barisan bilangan rekursif pertama yang dikenal di Eropa, artinya setiap suku dibentuk dari suku-suku sebelumnya.
Contoh
Teka-teki kelinci berjalan seperti ini. Anda mulai dengan sepasang kelinci yang baru lahir. Sepasang kelinci butuh satu bulan untuk menjadi dewasa, dan sejak itu setiap pasangan dewasa menghasilkan satu pasangan baru setiap bulan. Tidak ada kelinci yang pergi. Hitung jumlah pasangan pada awal setiap bulan.
- Bulan 1: 1 pasang (baru lahir)
- Bulan 2: 1 pasang (sudah dewasa)
- Bulan 3: 2 pasang (pasangan dewasa dan anak pertamanya)
- Bulan 4: 3 pasang
- Bulan 5: 5 pasang
- Bulan 6: 8 pasang
Jumlah setiap bulan sama dengan jumlah bulan sebelumnya ditambah banyaknya pasangan dewasa, dan banyaknya pasangan dewasa tepat sama dengan jumlah dua bulan sebelumnya. Itulah aturan Fibonacci. Tentu saja, kelinci sungguhan tidak berkembang biak serapi ini. Teka-teki ini dibuat untuk menggambarkan pola, bukan untuk meneliti hewan.
Bagaimana cara mencari bilangan berikutnya dalam barisan Fibonacci?
Untuk mencari bilangan Fibonacci berikutnya, jumlahkan dua bilangan terakhir dalam barisan. Setelah 21 dan 34 muncul 21 + 34 = 55, dan setelah 34 dan 55 muncul 89. Untuk mencari bilangan yang jauh di dalam barisan, teruskan daftarnya, atau gunakan rumus Binet, yang menghitung suku mana pun secara langsung dengan rasio emas.
Contoh
Cari bilangan Fibonacci ke-10, dengan F₀ = 0 sebagai awal. Jika ditulis, daftarnya 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, jadi F₁₀ = 55.
Rumus Binet memberi jawaban yang sama tanpa daftar. Pangkatkan rasio emas φ (sekitar 1,618) dengan 10, lalu bagi dengan √5. Hasilnya sekitar 122,99 : 2,236 ≈ 55,004, dan jika dibulatkan ke bilangan bulat terdekat hasilnya 55. Bagi siswa yang lebih besar, ini kejutan yang menyenangkan, karena bilangan yang dibentuk dari akar kuadrat selalu jatuh sangat dekat dengan bilangan bulat.
Menemukan aturan di balik deretan bilangan adalah keterampilan yang jauh melampaui Fibonacci. Permainan barisan bilangan mengubahnya menjadi pertarungan, di mana setiap serangan adalah sebuah barisan dan Anda harus menemukan bilangan yang hilang. Ini cara cepat berlatih melihat pola seperti "jumlahkan dua yang terakhir" tanpa menulis apa pun.
Apa hubungan barisan Fibonacci dengan rasio emas?
Jika Anda membagi setiap bilangan Fibonacci dengan bilangan sebelumnya, hasilnya makin lama makin dekat dengan rasio emas, sekitar 1,618. Misalnya, 8 : 5 = 1,6, 13 : 8 = 1,625, dan 89 : 55 ≈ 1,618. Rasio emas sendiri adalah (1 + √5) : 2, bilangan yang desimalnya tidak pernah berakhir dan tidak berulang.
Contoh
Perhatikan bagaimana hasil baginya makin stabil seiring bilangannya membesar.
- 3 : 2 = 1,5
- 5 : 3 ≈ 1,667
- 8 : 5 = 1,6
- 13 : 8 = 1,625
- 21 : 13 ≈ 1,615
- 34 : 21 ≈ 1,619
- 55 : 34 ≈ 1,618
Hasilnya naik turun di atas dan di bawah 1,618, dan makin dekat setiap kali. Britannica mencatat bahwa hubungan ini dijelaskan oleh matematikawan Robert Simson pada tahun 1753.
Apa itu spiral Fibonacci?
Gambarlah persegi dengan sisi 1, lalu persegi lain bersisi 1 di sebelahnya, lalu persegi bersisi 2, kemudian 3, kemudian 5, kemudian 8, masing-masing ditempelkan pada persegi panjang yang sudah terbentuk. Hubungkan sudut-sudut yang berseberangan pada setiap persegi dengan seperempat lingkaran, dan Anda mendapatkan spiral Fibonacci. Spiral ini sangat mendekati spiral emas, yang membesar sebesar rasio emas setiap seperempat putaran.
Di mana barisan Fibonacci muncul di alam?
Bilangan Fibonacci sering muncul pada tumbuhan. Biji bunga matahari membentuk dua kelompok spiral, dan banyaknya spiral pada tiap arah biasanya merupakan sepasang bilangan Fibonacci yang berurutan, seperti 34 dan 55 atau 55 dan 89. Buah pinus menunjukkan spiral yang serupa, dan banyak bunga memiliki 3, 5, 8, 13, atau 21 kelopak.
Contoh
Ambil buah pinus atau gambar bunga matahari, lalu hitung spiral yang melengkung searah jarum jam. Kemudian hitung spiral yang melengkung ke arah sebaliknya. Halaman Fibonacci di alam karya Dr. Ron Knott di University of Surrey menunjukkan bunga matahari dengan 55 spiral ke satu arah dan 34 ke arah lainnya, serta bunga matahari yang lebih besar dengan 89 dan 55.
Halaman yang sama mendaftar bunga menurut jumlah kelopaknya, seperti delphinium dengan 8, ragwort dan beberapa jenis daisy dengan 13, dan aster dengan 21. Menghitung bersama adalah kegiatan langsung yang menyenangkan, dan menunjukkan kepada anak bahwa bilangan menggambarkan benda nyata di sekitar mereka.
Mengapa tumbuhan tumbuh dalam spiral Fibonacci?
Banyak tumbuhan menempatkan setiap biji atau daun baru dengan sudut putar yang kurang lebih sama dari yang sebelumnya, sekitar 137,5°. Sudut ini, yang berkaitan dengan rasio emas, membuat biji tersusun rapat tanpa celah yang terbuang, dan spiral yang bisa Anda hitung adalah efek samping dari putaran yang teratur itu. Bagian kedua panduan Ron Knott menunjukkan mengapa sudut ini bekerja dengan sangat baik.
Apakah barisan Fibonacci benar-benar ada di mana-mana di alam?
Tidak. Bilangan Fibonacci memang umum pada tumbuhan, tetapi bukan hukum alam. Halaman Ron Knott di Surrey menegaskan bahwa Anda tidak selalu akan menemukan bilangan Fibonacci pada kelopak atau kepala biji, dan beberapa bunga, seperti fuchsia, memiliki 4 kelopak. Banyak klaim di internet, terutama tentang cangkang, wajah, dan bangunan terkenal, terlalu membesar-besarkan bukti.
Contoh
Cangkang nautilus sering ditampilkan dengan spiral emas yang digambar di atasnya. Cangkangnya memang tumbuh dalam spiral logaritmik, yaitu kurva yang bentuknya tetap sama meskipun makin besar. Namun, halaman Knott mencatat bahwa faktor pertumbuhannya berubah-ubah dan mungkin bukan rasio emas, dan menyebutnya spiral emas adalah keliru. Jadi nautilus memang spiral yang indah, hanya saja bukan bukti Fibonacci.
Ini juga pelajaran yang berguna bagi anak yang lebih besar. Pola yang sering muncul memang layak diperhatikan, tetapi pertanyaan yang jujur selalu "seberapa sering, dan seberapa dekat?" Menghitung spiral pada buah pinus sungguhan adalah uji yang lebih baik daripada gambar apa pun di internet.
Dua bilangan awal dan satu aturan membentuk seluruh barisan
Setiap bilangan Fibonacci berasal dari langkah yang sama, yaitu menjumlahkan dua bilangan sebelumnya. Berikut 21 suku pertama, dimulai dari F₀ = 0, agar Anda bisa memeriksa daftar Anda sendiri.
- 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34
- 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987
- 1.597, 2.584, 4.181, 6.765
Jika anak kehilangan jejak, kembalilah ke dua bilangan terakhir yang sudah pasti benar, lalu jumlahkan lagi. Aturannya tidak pernah berubah, jadi satu kesalahan selalu mudah diperbaiki.
Latih ini berikutnya