Persamaan garis lurus y = mx + c dijelaskan langkah demi langkah

Mengapa bentuk y = mx + c sangat berguna

Begitu persamaan ditulis dalam bentuk ini, kamu bisa langsung membaca gradien dan titik awalnya, lalu menggambar garisnya dalam hitungan detik. Di bawah ini kamu akan belajar cara membacanya, cara menyusunnya dari dua titik atau dari bentuk lain, dan kesalahan yang paling sering terjadi.

Bagaimana cara mencari persamaan garis y = mx + c?

Untuk mencari persamaan garis y = mx + c, kamu butuh dua hal, yaitu gradien m dan titik potong dengan sumbu y, c. Hitung gradien dari dua titik dengan m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Lalu masukkan salah satu titik dan gradiennya ke y = mx + c, kemudian cari nilai c. Tulis hasilnya dengan angka-angkamu sebagai pengganti m dan c.

Contoh

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (1, 5) dan (3, 9).

1. Gradien: m = (9 − 5) : (3 − 1) = 4 : 2 = 2
2. Gunakan titik (1, 5): 5 = 2 × 1 + c, jadi c = 3
3. Persamaan: y = 2x + 3
4. Periksa dengan titik lainnya (3, 9): 2 × 3 + 3 = 9. Benar.

Pemeriksaan terakhir ini hanya butuh sepuluh detik dan bisa menangkap sebagian besar kesalahan, jadi sebaiknya dijadikan kebiasaan.

Bagaimana kalau gradiennya pecahan?

Pecahan itu wajar sekali di sini, dan hasil berupa pecahan bukan berarti kamu salah hitung. Ambil titik (4, 0) dan (−2, 4). Gradiennya adalah (4 − 0) : (−2 − 4) = 4 : (−6) = −2/3. Lalu dari 0 = −2/3 × 4 + c diperoleh c = 8/3, sehingga y = −2/3x + 8/3. Periksa dengan (−2, 4): 4/3 + 8/3 = 12/3 = 4.

Biarkan gradien tetap dalam bentuk pecahan, jangan dibulatkan menjadi desimal, karena pecahan itu tepat dan hasil pemeriksaannya akan pas. Kalau pecahan yang membuatmu lambat, beberapa ronde permainan pecahan akan membuatmu jauh lebih cepat mencari pecahan senilai dan menyederhanakan pecahan.

Pada ronde di atas, 7/10 = 70/100, karena pembilang dan penyebutnya sama-sama dikalikan 10.

Apa arti m dan c pada y = mx + c?

Pada y = mx + c, m adalah gradien (kemiringan) dan c adalah titik potong dengan sumbu y. Gradien menunjukkan berapa besar y berubah ketika x bertambah 1, atau seberapa naik garis untuk setiap satu langkah ke kanan. Titik potong dengan sumbu y adalah nilai y ketika x = 0, yaitu titik (0, c) pada sumbu y.

Contoh

Pada y = 3x − 2, gradiennya 3 dan garis memotong sumbu y di −2. Garis itu melewati (0, −2), dan setiap satu langkah ke kanan membuatnya naik 3. Pada y = −2x + 4, gradiennya −2, jadi garis turun 2 untuk setiap langkah ke kanan, dan memotong sumbu y di (0, 4).

Buku teks OpenStax College Algebra 2e (dalam bahasa Inggris) menggambarkan gradien sebagai "rise over run", yaitu perubahan tegak dibagi perubahan mendatar, dan titik potong sumbu y sebagai titik saat nilai masukannya nol. Gradien positif berarti garis naik dari kiri ke kanan, gradien negatif berarti garis turun, dan makin besar angkanya (tanpa melihat tandanya), makin curam garisnya.

Cara membayangkan m dan c dalam kehidupan sehari-hari

Sebatang lilin tingginya 20 cm dan memendek 2 cm setiap jam. Tingginya setelah t jam adalah h = −2t + 20. Angka 20 adalah nilai awalnya (c), dan −2 adalah perubahannya setiap jam (m). Setelah 3 jam tingginya 14 cm, dan setelah 10 jam lilin itu habis. Banyak siswa merasa lebih mudah memikirkan c sebagai nilai awal dan m sebagai perubahan tiap langkah.

Bagaimana cara menggambar grafik y = mx + c?

Untuk menggambar y = mx + c, mulailah dari titik potong (0, c) pada sumbu y. Dari situ, gunakan gradien sebagai perubahan tegak dibagi perubahan mendatar. Geser ke kanan sejauh perubahan mendatar dan naik sejauh perubahan tegak (atau turun jika gradiennya negatif) untuk menemukan titik kedua. Tarik garis lurus melalui kedua titik itu dan perpanjang.

Contoh

Gambarlah grafik y = 2x + 1.

1. Tandai titik potong (0, 1).
2. Gradien 2 berarti 2/1, jadi geser 1 ke kanan dan naik 2. Kamu sampai di (1, 3).
3. Tarik garis melalui (0, 1) dan (1, 3).

Untuk gradien seperti −2/3, geser 3 ke kanan dan turun 2. Dengan memakai penyebut sebagai langkah mendatar, kamu selalu mendarat di titik kisi, sehingga garis lebih mudah digambar dengan tepat.

Bagaimana mengubah bentuk Ax + By = C menjadi y = mx + c?

Untuk mengubah persamaan seperti Ax + By = C menjadi bentuk y = mx + c, selesaikan persamaan itu untuk y. Pindahkan suku x ke ruas lain, lalu bagi setiap suku dengan angka di depan y. Angka di depan x sekarang adalah gradien, dan angka yang berdiri sendiri adalah titik potong dengan sumbu y.

Contoh

Ubah 2x + 3y = 6.

1. Kurangi kedua ruas dengan 2x: 3y = −2x + 6
2. Bagi setiap suku dengan 3: y = −2/3x + 2

Gradiennya −2/3 dan titik potong sumbu y-nya 2. Kesalahan yang sering terjadi adalah langsung membaca gradien 2 dari 2x + 3y = 6. Angka-angka itu baru berarti gradien dan titik potong setelah y berdiri sendiri di satu ruas.

Persamaan garis melalui satu titik atau y = mx + c?

Persamaan garis yang melalui satu titik dengan gradien m, y − y₁ = m(x − x₁), praktis dipakai jika kamu tahu satu titik dan gradiennya, karena bisa langsung ditulis. Untuk titik (1, 5) dan gradien 2 kamu mendapat y − 5 = 2(x − 1). Jabarkan dan sederhanakan, y = 2x − 2 + 5, dan kamu kembali ke y = 2x + 3. Kedua bentuk itu menggambarkan garis yang sama.

Garis apa yang tidak bisa ditulis dalam bentuk y = mx + c?

Garis tegak (vertikal) tidak bisa ditulis dalam bentuk y = mx + c. Semua titik pada garis vertikal punya nilai x yang sama, jadi perubahan mendatarnya 0 dan menghitung gradien berarti membagi dengan nol. Karena itu gradien garis vertikal tidak terdefinisi. Garis vertikal yang melalui x = 3 cukup ditulis x = 3.

Contoh

Titik (3, 1) dan (3, 6) terletak pada garis vertikal. Gradiennya akan menjadi (6 − 1) : (3 − 3) = 5 : 0, yang tidak punya hasil. Jadi garisnya adalah x = 3. Garis vertikal juga tidak pernah memotong sumbu y, kecuali garis itu adalah sumbu y sendiri, jadi tidak ada titik potong yang bisa menggantikan c.

Garis mendatar (horizontal) tidak bermasalah. Titik (−1, 4) dan (5, 4) menghasilkan gradien 0 : 6 = 0, jadi garisnya y = 0x + 4, atau cukup y = 4.

Apa saja kesalahan paling umum pada persamaan y = mx + c?

Sebagian besar kesalahan pada persamaan garis lurus adalah kekeliruan kecil, bukan salah paham. Siswa menukar koordinat suatu titik, mengurangkan dengan urutan berbeda di pembilang dan penyebut rumus gradien, atau membaca m dan c sebelum y berdiri sendiri. Memeriksa persamaan akhir dengan salah satu titik awal bisa menangkap hampir semuanya.

Perbaikan cepat untuk setiap kekeliruan

Berikut kekeliruan yang muncul berulang kali, masing-masing dengan perbaikan cepatnya.

• Tertukar antara x dan y pada suatu titik. (5, 7) berarti x = 5 dan y = 7. Ucapkan "ke samping dulu, baru ke atas" saat membacanya.
• Mengubah urutan pengurangan. Jika di atas kamu menghitung 9 − 5, di bawah hitung 3 − 1, dengan titik yang sama di depan pada keduanya.
• Tertukar antara m dan c. Pada y = 4 + 3x gradiennya tetap 3, karena m adalah angka yang menempel pada x, di mana pun letaknya.
• Lupa tanda minus. Pada y = −x + 2 gradiennya −1, bukan 1.
• Mengira pecahan pasti salah. Gradien seperti 3/4 atau −2/3 sama sahnya dengan 2.

Berlatih y = mx + c sampai terasa otomatis

Kemampuan membaca garis dengan cepat datang dari melihat banyak garis. Dalam permainan fungsi linear, setiap serangan adalah pertanyaan tentang sebuah garis, jadi kamu banyak berlatih mengenali gradien dan titik potong tanpa merasa sedang mengerjakan PR.

Mencari c juga hanya persamaan kecil satu langkah. Kalau langkah itu yang membuatmu lambat, permainan persamaan cocok untuk pemanasan.

Huruf yang dipakai berbeda-beda di tiap negara. Di Indonesia kita menulis y = mx + c, sedangkan di Amerika Serikat dan negara berbahasa Inggris lainnya ditulis y = mx + b, di Prancis dan Polandia y = ax + b, di Rusia y = kx + b, dan di Italia y = mx + q. Apa pun hurufnya, angka di depan x selalu gradien, dan angka yang berdiri sendiri menunjukkan tempat garis memotong sumbu y.

Dua angka menggambarkan setiap garis yang tidak vertikal

Setiap garis yang tidak vertikal bisa ditulis sebagai y = mx + c, jadi dua angka sudah cukup untuk menggambarkannya secara lengkap. Gradien menunjukkan seberapa curam garis itu dan ke arah mana, dan c menunjukkan dari mana garis itu dimulai. Temukan kedua angka itu, periksa persamaanmu dengan satu titik, dan sisanya akan mengikuti.