円の面積の求め方は？
円の面積を求めるには、半径を2乗し、その答えに円周率πをかけます。半径は円の中心から円周までの長さで、πは約3.14です。面積は長さではなく広さを表すので、答えはcm²やm²のような面積の単位で書きます。
例題
半径5 cmの円の面積を求めましょう。
- 半径を2乗します。5 × 5 = 25
- πをかけます。25 × π ≈ 78.54
- 面積の単位をつけます。面積は約78.54 cm²です
答えを25π cm²のままにしておくこともできます。この正確な表し方は、学年が上がるとよく使われます。四捨五入をしなくてすむからです。
3.14と電卓のπキー、どちらを使う？
どちらでも大丈夫です。先生や問題の指示に合わせましょう。πは無理数なので、小数がどこまでも続き、くり返しもしません。これはブリタニカの解説にもあります。3.14を使うと 25 × 3.14 = 78.5 cm²、πキーを使うと78.54 cm²になります。この小さな差は、πを四捨五入したことだけが原因です。
公式でよくある間違い
いちばん多い間違いは、半径を2乗するかわりに2倍してしまうことです。半径5 cmなら 5 × 2 = 10 ですが、5² = 25 です。もう一つは、先にπと半径をかけて、その答え全体を2乗してしまう間違いです。計算の順序では累乗が先なので、πをかける前に半径を2乗しましょう。
直径から円の面積を求めるには？
直径から面積を求めるには、直径を2で割って半径を出し、A = πr²を使います。直径は中心を通って円の端から端までの長さなので、半径の2倍です。1つの式で計算するなら A = πd² ÷ 4 で、答えはまったく同じになります。
例題
直径10 cmの円があります。2で割ると半径は5 cmです。すると 5² × π = 25π ≈ 78.54 cm² です。
1つの式を使うと、10² = 100、そして 100 × π ÷ 4 = 25π ≈ 78.54 cm² です。どちらの方法でも同じ答えになります。
とても多い間違いは、直径をそのままπr²に入れてしまうことです。10 cmで計算すると 100π ≈ 314.16 cm² となり、正しい答えの4倍の大きさになってしまいます。答えが思ったより大きいときは、うっかり直径を使っていないか確かめましょう。
円周から円の面積を求めるには？
円周から面積を求めるには、まず円周を2πで割って半径を出します。それからA = πr²を使います。円周は円のまわりの長さで、2πrに等しくなります。1つの式で計算したいなら A = C² ÷ (4π) です。Cは円周の長さです。
例題
円形の花だんがあり、円周は30 mです。面積を求めましょう。
- 半径を求めます。30 ÷ (2 × π) ≈ 4.77 m
- 面積を求めます。半径は電卓に表示されたままの値を使います。π × 4.7746² ≈ 71.6 m²
- 1つの式で確かめます。30² ÷ (4 × π) = 900 ÷ 12.566 ≈ 71.6 m²
先に半径を4.77に四捨五入すると、π × 4.77² ≈ 71.5 m² になります。この小さなずれがあるので、四捨五入はいちばん最後にするのがよいのです。
円の面積はなぜπr²になるの？
円をピザのように同じ大きさのおうぎ形にたくさん切り分け、上向きと下向きを交互にして横に並べます。すると、ほとんど長方形のような形になります。その高さは半径r、横の長さは円周の半分のπrです。だから面積は πr × r、つまりπr²です。
例題
半径5 cmの円を16個に切り分けたところを想像してください。半分は上向き、半分は下向きです。並べた形の横の長さは円周の半分で π × 5 ≈ 15.7 cm、高さは半径の5 cmです。だから面積は約 15.7 × 5 ≈ 78.5 cm² で、公式と同じになります。
16個だけだと、まだ端が少し波打っています。100個や1,000個に切り分けると、形は完全な長方形にどんどん近づきます。これが公式の考え方で、公式だけを覚えるよりずっと覚えやすくなります。
古代ギリシャの数学者アルキメデスは、2,000年以上前にこの問題に取り組みました。ブリタニカによると、彼は円の面積を半径の2乗で割るといつも同じ数になることを証明し、円の内側と外側の多角形を使って、πが223/71と22/7の間にあることを示しました。
答えをすばやく確かめる方法
円は、1辺の長さが直径と同じ正方形の中にぴったり入ります。その正方形の面積は 2r × 2r = 4r² です。円はその4分の3より少し多い、約78.5%をしめます。π ÷ 4 ≈ 0.785 だからです。つまり、半径5 cmの円が1辺10 cm、面積100 cm²の正方形に入っているなら、円の面積は80 cm²より少し小さいはずです。実際は78.54 cm²です。
公式は、いろいろな数で何度も使うといちばんよく身につきます。図形ゲームでは、対戦の攻撃一つひとつが図形の問題なので、πr²をすばやく思い出すことがラウンドに勝つ力になります。ゲームではπを3として計算するので、どの答えも暗算できる整数になります。長い時間を1回やるより、短いラウンドをこまめにくり返すほうが効果的です。
面積がわかっているとき、半径を求めるには？
面積から半径を求めるには、公式を逆にたどります。面積をπで割り、その答えの平方根をとります。式にすると r = √(A ÷ π) です。直径が必要なら、半径を2倍します。
例題
面積が50 cm²の円があります。πで割ります。50 ÷ π ≈ 15.92。次に平方根をとります。√15.92 ≈ 3.99 なので、半径は約3.99 cm、直径は約7.98 cmです。
確かめるには、半径を公式にもどして入れます。π × 3.99² ≈ 50.0 cm²。平方根に自信がないときは、平方根を何ラウンドか練習すると、この手順がずっと速くなります。
大きいピザ1枚と小さいピザ2枚、どちらが大きい？
多くの場合、大きいピザ1枚のほうです。半径は2乗されるので、円の直径を2倍にすると面積は4倍になります。直径30 cmのピザの面積は約707 cm²です。直径20 cmのピザ2枚を合わせると約628 cm²なので、大きいピザ1枚のほうが多く食べられます。
例題
30 cmのピザは半径15 cmなので、面積は π × 15² ≈ 706.9 cm² です。20 cmのピザ1枚は半径10 cmなので、面積は π × 10² ≈ 314.2 cm² です。2枚で約628.3 cm²となり、大きいピザ1枚より約79 cm²少なくなります。
このような比べ方は、なぜ2乗が大切なのかを子どもに伝えるのにぴったりです。少し幅が広いだけの円でも、ずっと広い面をおおいます。
半円の面積は？
半円は円の半分なので、面積はπr²の半分、つまり πr² ÷ 2 です。半径5 cmの半円なら、面積は 25π ÷ 2 ≈ 39.27 cm² です。まっすぐな辺の長さは直径なので、それではなく半径を使うことを忘れないようにしましょう。
まず半径を求めれば、あとは簡単
円の面積の問題は、半径がわかればほとんど簡単になります。この一覧を見て、最初の一歩を選びましょう。
- 半径rがわかっているとき：A = πr²
- 直径dがわかっているとき：r = d ÷ 2、または A = πd² ÷ 4
- 円周Cがわかっているとき：r = C ÷ (2π)、または A = C² ÷ (4π)
- 面積から半径を求めるとき：r = √(A ÷ π)
- 半円：A = πr² ÷ 2
最後に答えに面積の単位をつけ、正方形を使った確かめで、答えがだいたい正しい大きさかどうかを見ましょう。