半径や直径から円周の長さを求めるには？
円周の長さを求めるには、直径にπ（約3.14）をかけます。つまり C = πd です。直径は、中心を通って円の端から端までまっすぐ測った長さです。半径（中心から円周までの長さ）しかわからない場合は、まず2倍するか、C = 2πr を使います。どちらの方法でも同じ長さになります。
例題
半径4 cmの円の円周の長さを求めましょう。
- 半径を2倍して直径を求めます。2 × 4 = 8 cm
- πをかけます。8 × π ≈ 25.13
- 単位をつけます。円周の長さは約25.13 cmです
答えを8π cmのままにしておくこともできます。この正確な表し方は、四捨五入をしなくてすむので、中学校以降でよく使われます。
直径がわかっていれば、計算は1回ですみます。直径1.2 mの丸いテーブルの円周は 1.2 × π ≈ 3.77 m なので、ふちに貼る飾りテープは4 mより少し短い長さで足ります。
3.14と電卓のπキー、どちらを使う？
問題の指示に従えば、どちらでもかまいません。πは無理数なので、小数がどこまでも続き、くり返すこともありません。ブリタニカによると、日常的な近似値としては3.14や22/7がよく使われます。3.14を使うと、最初の例題は 8 × 3.14 = 25.12 cm になります。πキーを使うと25.13 cmです。このわずかな差は、πを四捨五入したことだけから生じます。
いちばん多いまちがい
テストで最も点を落としやすいのは、直径を C = 2πr に入れてしまうまちがいです。直径が10 cmのとき、2 × π × 10 ≈ 62.83 cm となり、正しい値の2倍になってしまいます。正しい答えは 10 × π ≈ 31.42 cm です。直径がわかっているならπd、半径がわかっているなら2πrを使いましょう。
円周の長さが直径のπ倍になるのはなぜ？
πは、円周の長さを直径で割った値として定義されています。硬貨から惑星まで、すべての円は同じ形をしているので、この比はけっして変わりません。だから C = πd はどんな円にも当てはまります。円を直線にそって1回転ころがすと、直径3つ分より少しだけ長く進みます。
例題
直径2 cmの硬貨を思い浮かべてください。ふちに印をつけ、定規にそってちょうど1回転ころがします。2 × π ≈ 6.28 なので、印は約6.28 cmのところで再び定規につきます。直径3つ分で6 cm、残りの小さな部分が0.28 cmで、これが3を3.14にしている部分です。
丸い缶とひもと定規、または丸いものとメジャーがあれば、家でも試せます。円周の長さと直径を測り、一方をもう一方で割ってみましょう。結果はいつも3.14に近くなり、小さなずれは手で測ったことによる誤差です。
ブリタニカによると、この比にギリシャ文字πを初めて使ったのは、1706年のウィリアム・ジョーンズです。同じ項目には、アルキメデスが円の内側と外側に多角形をかいて、πを223/71と22/7の間にはさみこんだ方法も紹介されています。
円周の長さから直径や半径を求めるには？
円周の長さから直径を求めるには、円周の長さをπで割ります。つまり d = C ÷ π です。半径を求めるには、2πで割って r = C ÷ (2π) とします。円周の公式を逆にたどっているだけなので、この方法で求められます。まわりの長さを測れば、さしわたしの長さがわかります。
例題
ある木の幹のまわりの長さは150 cmです。直径は 150 ÷ π ≈ 47.75 cm で、半径はその半分の約23.87 cmです。
木や柱、パイプのように、まっすぐさしわたしを測れないものに便利な方法です。外側にメジャーを1周巻いて、割り算を1回すれば直径がわかります。
面積から円周の長さを求めるには？
面積から円周の長さを求めるには、まず半径を求めます。面積をπで割り、その平方根をとるので、r = √(A ÷ π) です。次に C = 2πr を使います。半径は電卓に入れたままにして、四捨五入は最後に1回だけ行いましょう。そうすれば、小さな丸めの誤差が積み重なりません。
例題
面積が100 cm²の円があります。
- 半径を求めます。100 ÷ π ≈ 31.83、√31.83 ≈ 5.64 cm
- 円周の長さを求めます。2 × π × 5.642 ≈ 35.45 cm
1回で求められる公式 C = 2√(πA) もあります。100 cm²なら 2 × √(π × 100) ≈ 35.45 cm で、同じ答えになります。平方根の計算に時間がかかるなら、平方根を何回か練習すると、この手順がずっと速くなります。
車輪は1回転でどれだけ進む？
車輪はすべらずに転がるかぎり、1回転するごとに円周1つ分の長さを進みます。つまり1回転で進む距離は、車輪の直径のπ倍です。直径70 cmの自転車の車輪は1回転で約2.2 m進み、1,000回転で約2.2 km進みます。
例題
70 cmの車輪では、1回転は 70 × π ≈ 219.9 cm、つまり約2.2 mです。1 km、つまり100,000 cm進むには、車輪は 100,000 ÷ 219.9 ≈ 455 回転します。
自転車のサイクルコンピューターや歩数計の多くは、まさにこの方法で距離を見積もっています。回転数や歩数を数えて、決まった長さをかけるのです。πが学校の中だけの数ではないことを子どもに見せる、よいきっかけにもなります。
公式は、いろいろな数で何度も使うといちばん身につきます。図形ゲームでは、対戦中の攻撃がすべて図形の問題なので、C = πd をすばやく思い出すことがラウンドに勝つ力になります。ゲームではπを3として計算するので、答えはすべて暗算で求められる整数になります。長い時間を1回やるより、短いラウンドを何度もくり返すほうが効果的です。
半円のまわりの長さは？
半円のまわりの長さは、円周の半分にまっすぐな辺を足したものなので、P = πr + 2r です。よくあるまちがいは、πrで止めてしまい、下の直径を足し忘れることです。半径5 cmの場合、曲線部分は 5π ≈ 15.71 cm で、これに10 cmを足すと約25.71 cmになります。
円周と単位円にはどんな関係がある？
単位円は半径が1なので、円周の長さはちょうど2πです。そのため、三角関数では1回転が2πラジアンになります。単位円では、この考え方を使って、角度を円周にそった長さとして測ります。
半径か直径がわかれば円周の長さはすぐ求められる
半径か直径がわかれば、円周の問題のほとんどはかけ算1回で解けます。次の一覧で、正しい手順を選びましょう。
- 半径rがわかっているとき：C = 2πr
- 直径dがわかっているとき：C = πd
- 円周の長さから直径を求めるとき：d = C ÷ π
- 円周の長さから半径を求めるとき：r = C ÷ (2π)
- 面積Aがわかっているとき：r = √(A ÷ π)、そのあと C = 2πr
- 半円：P = πr + 2r
答えはいつも長さなので、cm、mなどの長さの単位で書きます。平方の単位で書くことはありません。