フィボナッチ数列はどうやって作るの？
フィボナッチ数列を作るには、まず0と1を書き、最後の2つの数を足して次の数を求め、その手順をくり返します。新しい数は直前の2つの数だけで決まるので、この並びはどこまでも続けられます。こうして書き出した数をフィボナッチ数といいます。
例
順番に数列を作ってみましょう。0と1から始めます。
- 0 + 1 = 1
- 1 + 1 = 2
- 1 + 2 = 3
- 2 + 3 = 5
- 3 + 5 = 8
- 5 + 8 = 13
- 8 + 13 = 21
新しい数に必要なのは、最後の2つの数だけです。数はどんどん大きくなりますが、きまりは変わらないので、子どもの暗算の練習にぴったりです。小さな子どもでもわかるほど簡単なきまりなのに、同じ数がひまわりや松ぼっくり、黄金比にも現れます。
数列は0から始まる?1から始まる？
どちらの書き方もよく使われます。0, 1, 1, 2, 3と0から始める本も多く、1, 1, 2, 3と始める本もあります。その後に続く数はどちらでも同じです。数学者はふつう、このきまりをFₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂（F₀ = 0、F₁ = 1）と書きます。これは「どの項も直前の2つの項の和である」という意味です。
数列にかくれたパターン
この数列には、子どもが見つけて楽しめる小さなパターンがあります。3つ目ごとの数は偶数で（0, 2, 8, 34, 144, 610）、それ以外はすべて奇数です。5つ目ごとの数は5で割り切れます（0, 5, 55, 610）。リストのもっと先でもこのパターンが続くか、子どもに確かめてもらいましょう。たし算の練習と、しくみを見つける練習が同時にできる楽しい方法です。
フィボナッチ数列はどこから来たの？
この数列の名前は、フィボナッチとして知られるイタリアの数学者、ピサのレオナルドにちなんでいます。彼は1202年に書いた本『Liber abaci』の中で、ウサギの問題を使ってこの数列を紹介しました。ブリタニカによると、これはヨーロッパで知られている最初の漸化的な数列、つまり各項が前の項から作られる数列です。
例
ウサギの問題は次のようなものです。生まれたばかりのウサギのつがいが1組いるところから始めます。つがいは大人になるまでに1か月かかり、その後は大人のつがいが毎月1組ずつ新しいつがいを産みます。ウサギは1匹もいなくなりません。毎月はじめのつがいの数を数えます。
- 1か月目：1組（生まれたばかり）
- 2か月目：1組（大人になった）
- 3か月目：2組（大人と最初の赤ちゃん）
- 4か月目：3組
- 5か月目：5組
- 6か月目：8組
各月の合計は、前の月の合計に大人のつがいの数を足したものです。そして大人のつがいの数は、ちょうど2か月前の合計と同じです。これがフィボナッチのきまりです。もちろん、本物のウサギはこんなにきれいには増えません。この問題はパターンを説明するためのもので、動物の研究ではありませんでした。
フィボナッチ数列の次の数はどうやって求めるの？
次のフィボナッチ数を求めるには、リストの最後の2つの数を足します。21と34の次は21 + 34 = 55、34と55の次は89です。ずっと先の数を求めたいときは、リストを書き続けるか、黄金比を使ってどの項も直接計算できるビネの公式を使います。
例
F₀ = 0を最初として、10番目のフィボナッチ数を求めましょう。リストを書き出すと0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55となるので、F₁₀ = 55です。
ビネの公式を使えば、リストを書かなくても同じ答えになります。黄金比φ（約1.618）を10乗して√5で割ります。すると約122.99 ÷ 2.236 ≈ 55.004となり、いちばん近い整数に四捨五入すると55です。平方根から作った数が毎回整数のすぐ近くになるので、年上の学習者にはうれしい驚きです。
数の並びの裏にあるきまりを見つける力は、フィボナッチ以外でも役に立ちます。数列ゲームでは、これがバトルになります。攻撃のたびに数列が出され、抜けている数を見つけます。「最後の2つを足す」のようなパターンを、何も書かずに見抜く練習がすぐにできます。
フィボナッチ数列と黄金比はどう関係しているの？
各フィボナッチ数をその1つ前の数で割ると、答えは黄金比の約1.618にどんどん近づきます。たとえば8 ÷ 5 = 1.6、13 ÷ 8 = 1.625、89 ÷ 55 ≈ 1.618です。黄金比そのものは(1 + √5) ÷ 2で、小数がどこまでも続き、くり返しもない数です。
例
数が大きくなるにつれて、比が落ち着いていく様子を見てみましょう。
- 3 ÷ 2 = 1.5
- 5 ÷ 3 ≈ 1.667
- 8 ÷ 5 = 1.6
- 13 ÷ 8 = 1.625
- 21 ÷ 13 ≈ 1.615
- 34 ÷ 21 ≈ 1.619
- 55 ÷ 34 ≈ 1.618
答えは1.618の上と下を行ったり来たりしながら、毎回近づいていきます。ブリタニカによると、この関係は1753年に数学者ロバート・シムソンが説明しました。
フィボナッチのらせんとは？
1辺が1の正方形をかき、その隣にもう1つ1の正方形、次に2、3、5、8の正方形を、それまでにできた長方形にくっつけてかいていきます。それぞれの正方形の向かい合う角を四分円で結ぶと、フィボナッチのらせんができます。これは、4分の1回転するごとに黄金比の割合で大きくなる黄金らせんにとても近い形です。
フィボナッチ数列は自然のどこに現れるの？
フィボナッチ数は植物によく現れます。ひまわりの種は2組のらせんを作り、それぞれの向きのらせんの数は、34と55、55と89のように、となり合うフィボナッチ数の組になることが多いです。松ぼっくりにも同じようならせんがあり、花びらが3、5、8、13、21枚の花もたくさんあります。
例
松ぼっくりかひまわりの写真を用意して、時計回りに曲がるらせんを数えてみましょう。次に、反対向きに曲がるらせんを数えます。サリー大学のロン・ノット博士による自然の中のフィボナッチのページには、一方に55本、もう一方に34本のらせんがあるひまわりや、89本と55本の大きなひまわりがのっています。
同じページには、花びらの数ごとに花が紹介されています。たとえば、デルフィニウムは8枚、ヤコブボロギクや一部のデイジーは13枚、アスターは21枚です。一緒に数えるのは手を動かして楽しめる活動で、数が身のまわりの本物のものを表していることを子どもに伝えられます。
なぜ植物はフィボナッチのらせんで育つの？
多くの植物は、新しい種や葉を、前のものからほぼ同じ角度、約137.5°ずつ回転させた位置につけます。黄金比と結びついたこの角度だと、種がすき間なくぎっしり並びます。数えられるらせんは、この一定の回転から生まれた結果です。ロン・ノットのガイドの第2部では、この角度がなぜうまくいくのかが説明されています。
フィボナッチ数列は本当に自然のどこにでもあるの？
いいえ。フィボナッチ数は植物によく見られますが、自然の法則ではありません。ロン・ノットのサリー大学のページでも、花びらや種の部分にいつもフィボナッチ数が見つかるわけではないと指摘されていて、フクシアのように花びらが4枚の花もあります。ネット上の多くの主張、特に貝がらや顔、有名な建物についての話は、根拠を大げさに広げすぎています。
例
オウムガイの貝がらは、黄金らせんを重ねてかいた図でよく紹介されます。たしかに貝がらは対数らせん、つまり大きくなっても同じ形を保つ曲線にそって成長します。しかしノットのページによると、その成長の割合はまちまちで黄金比ではないかもしれず、黄金らせんと呼ぶのは正しくありません。つまりオウムガイは美しいらせんですが、フィボナッチの証拠ではないのです。
これは年上の子どもにとっても役に立つ教訓です。よく現れるパターンは注目する価値がありますが、正直に問うべきなのはいつも「どのくらいの頻度で、どのくらい正確に？」ということです。本物の松ぼっくりのらせんを数えるほうが、ネット上のどんな写真よりもよい確かめ方です。
2つの最初の数と1つのきまりで数列全体ができる
どのフィボナッチ数も、前の2つの数を足すという同じ手順から生まれます。F₀ = 0から始めた最初の21項をのせておくので、自分のリストを確かめてみましょう。
- 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34
- 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987
- 1,597, 2,584, 4,181, 6,765
子どもがわからなくなったら、確実だとわかっている最後の2つの数までもどって、もう一度足しましょう。きまりは変わらないので、まちがいが1つあってもいつでも簡単に直せます。
次はこれを鍛えよう