そんなはずはない、と思ったなら、あなただけではありません。博士号を持つ人も含めて、何千人もの人が最初はこの答えを信じようとしませんでした。以下ではまずパズルを紹介し、続いて、ドアを変えるとなぜ得なのかをいくつかの見方で説明します。どれか一つは、きっと腑に落ちるはずです。
モンティ・ホール問題とはどんな問題?
あなたはテレビのゲーム番組に出ていて、目の前に閉まったドアが3つあります。1つの後ろには車、残りの2つの後ろにはヤギがいます。あなたはドアを1つ選びます。車の場所を知っている司会者が、残りの2つのうち1つを開けてヤギを見せます。そして、そのままのドアにするか、最後に残った閉じたドアに変えるかを聞いてきます。
ほとんどの人は、どっちでも同じだと答えます。ドアは2つ残っているのだから五分五分だろう、と。でも、そうではありません。ドアを変えると、3回に2回車が当たります。
この問題の名前は、テレビのゲーム番組「Let's Make a Deal」の司会者モンティ・ホールにちなんでいます。有名な答えは、次の3つのルールが前提です。
- 司会者は必ず、あなたが選ばなかったドアを開ける。
- 司会者は必ずヤギを見せ、車を見せることはない。
- 司会者は必ず、ドアを変えるチャンスをくれる。
なぜドアを変えると3回に2回当たるの?
最初の選択は3回に2回はずれです。はずれているとき、司会者には選択肢がありません。もう一方のヤギのドアを開けるしかないので、車は、あなたが変えられるほうのドアの後ろに残ります。つまり、ドアを変えると、最初の予想がはずれていたときは毎回当たり、たまたま最初から車を選んでいたときだけ負けます。
例
いつもドア1を選ぶとしましょう。車がある場所は3通りしかなく、どれも同じくらい起こりやすいです。
- 車はドア1の後ろ。司会者はドア2かドア3を開けます。そのままなら当たり、変えるとはずれ。
- 車はドア2の後ろ。司会者はドア3を開けるしかありません。そのままならはずれ、変えると当たり。
- 車はドア3の後ろ。司会者はドア2を開けるしかありません。そのままならはずれ、変えると当たり。
数えてみましょう。そのままで当たるのは1回、変えて当たるのは2回です。最初にどのドアを選んでも同じです。
別の見方もあります。あなたのドアの確率は最初3分の1で、残りの2つのドアが合わせて3分の2を持っています。司会者がそのうち1つを開けても、車が動くわけではありません。2つのうちどちらのドアが3分の2をまるごと持っているのかを、教えてくれているだけです。
ドアが2つ残ったのに、なぜ五分五分ではないの?
司会者がでたらめにドアを開けているわけではないからです。司会者は車の場所を知っていて、いつも車のドアを避けます。だから、司会者が閉じたまま残したドアは、その知識をもとに選ばれています。あなた自身のドアは何も知らずに選んだものなので、確率は3分の1のままです。もう一つの閉じたドアが、残りの3分の2を受け取ります。
この問題を取り上げたサイエンティフィック・アメリカンの記事は、この間違いの原因を、心理学で「等確率バイアス」と呼ばれるものだと説明しています。私たちは、目の前にある結果はどれも同じくらい起こりやすいと思い込みがちです。ドアが2つならコイン投げのように見えて、そこで考えるのをやめてしまうのです。
もう一つの落とし穴は、司会者の行動が何の情報も与えていないように見えることです。実際には、たくさんの情報を与えています。あなたのドアの後ろがヤギなら、司会者は車のドアを閉じたままにするしかありません。その「そうするしかない選択」こそが、隠れた情報なのです。
ドアが100枚なら分かりやすくなる?
多くの人にとっては、そうです。ドアが100枚あって、車は1台だけだと想像してください。あなたが1枚選ぶと、車の場所を知っている司会者が残りのうち98枚を開けて、98匹のヤギを見せます。閉じたままのドアが1枚残ります。あなたのドアの確率は100分の1でした。司会者がわざわざ開けなかったドアには、残りの100分の99があります。
例
あなたはドア37を選びます。司会者は1から100までのドアを、37と82以外すべて開けます。適当に選んだ最初のドアが当たりだったと、本当に思いますか? 司会者がドア82を飛ばしたのは、その後ろに車があるからだと考えるほうが、ずっと可能性が高いです。
この問題を有名にしたマリリン・ボス・サバントは、さらに大きい100万枚のドアの例を使いました。ドアが3枚でも考え方は同じで、ただ実感しにくいだけです。100枚のドアでもぴんと来なければ、はずれる側から考えてみてください。最初の選択は3回に2回はずれで、ドアを変えれば、はずれの選択がすべて当たりに変わります。
司会者が車の場所を知らなかったら?
その場合、ドアを変えても得はしません。司会者がでたらめにドアを開けて、たまたまヤギが出ただけなら、そのままでも変えても、当たるのは半分です。3分の2という答えが成り立つのは、司会者が車の場所を知っていて、必ずヤギのドアを開け、必ずドアを変えるチャンスをくれるときだけです。
例
あなたはドア1を選び、何も知らない司会者がドア2かドア3をでたらめに開けます。うっかり車を見せてしまうこともあり、そのゲームは台なしです。ヤギが出たゲームだけを見ると、車があなたのドアの後ろにあるのはちょうど半分です。
本物のモンティ・ホールも、同じ落とし穴を指摘していました。1991年のニューヨーク・タイムズの記事で彼は、司会者がドアを変えるチャンスを出すかどうかを自由に決められるなら、出場者は用心したほうがいいと注意しています。本物の番組では、その申し出自体がわなかもしれません。
モンティ・ホール問題を自分で確かめるには?
必要なのはトランプ3枚と友だち1人だけです。エース1枚を車、ほかの2枚をヤギにします。友だちがカードを裏向きにして混ぜ、あなたが1枚を指さします。友だちは、あなたが選ばなかったヤギのカードを1枚めくります。30回やって、毎回カードを変えてみましょう。20回くらいは勝てるはずです。
次に、もう30回、今度は毎回そのままにします。勝てるのは10回くらいのはずです。回数が少ないので数字は多少ぶれますが、差はすぐに見えてきます。
有名な数学者でさえ、自分の目で確かめる必要がありました。サイエンティフィック・アメリカンによると、膨大な数の論文を残した数学者ポール・エルデシュも、この問題でつまずいたそうです。だから、まだ納得できないなら、カードでやってみてください。
このパズルで本当に鍛えられるのは、起こりうる場合をすべて公平に数える力です。確率ゲームでは、毎回同じような問題が出ます。たとえば下の対戦では、4枚のコインのうち表がちょうど1枚になる場合が何通りあるかを数えます。答えは4通りです。表になるのは4枚のどれか1枚だからです。
なぜ多くの人がモンティ・ホール問題を間違えるの?
閉じたドアが2つあると、どうしても五分五分の選択に見えますし、司会者が持っている隠れた知識は見落としやすいものです。後悔も関係していそうです。車のドアから変えて負けるほうが、そのままにして負けるより悔しく感じるので、理屈が分かっていても最初のドアにこだわる人が多いのです。
この問題が初めて登場したのは1975年、統計学者スティーブ・セルビンの手紙の中でした。有名になったのは1990年、マリリン・ボス・サバントがParade誌のコラム「Ask Marilyn」でこの問題に答え、読者にドアを変えるよう勧めたときです。サイエンティフィック・アメリカンによれば、彼女のもとには、間違っているという手紙が推定1万通届きました。ニューヨーク・タイムズは、そのうち1,000通近くが博士号を持つ人からのものだったと付け加えています。
もちろん、正しかったのは彼女です。今ではこの手紙もこの話の一部になっていて、確率についての自信たっぷりの直感がまったく間違っていることもある、という何よりの教訓になっています。
司会者が知っていて必ずヤギのドアを開けるなら、ドアを変えよう
ふつうのルールなら、ドアを変えると当たる確率は3分の1から3分の2へ、2倍になります。ルールが変われば、答えも変わることがあります。たとえば、司会者がでたらめにドアを開ける場合や、自分に都合のいいときだけドアを変えるチャンスをくれる場合です。これは、ゲーム番組を超えて役に立つ教訓です。確率を信じる前に、目の前の情報がどうやって選ばれたのかを考えてみましょう。
次はこれを鍛えよう