一次関数 y = ax + b の式が便利な理由
式がこの形になっていれば、傾きとスタート地点をそのまま読み取り、数秒でグラフをかくことができます。この記事では、式の読み方、2点や別の形の式から y = ax + b を求める方法、そして多くの人がつまずくまちがいを紹介します。
一次関数の式 y = ax + b はどうやって求める？
y = ax + b の式を求めるには、傾き a と切片 b の2つがわかれば十分です。2点から傾きを求めるには、a = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)、つまり「y の増加量 ÷ x の増加量」を計算します。次に、1つの点の座標と傾きを y = ax + b に代入して b を求めます。最後に、a と b に求めた数を入れて式を書きます。
例
2点 (1, 5) と (3, 9) を通る直線の式を求めましょう。
- 傾き：a = (9 − 5) ÷ (3 − 1) = 4 ÷ 2 = 2
- 点 (1, 5) を代入：5 = 2 × 1 + b より b = 3
- 式：y = 2x + 3
- もう1つの点 (3, 9) で確かめる：2 × 3 + 3 = 9。合っています。
この最後の確かめは10秒でできて、ほとんどのまちがいを見つけてくれるので、習慣にする価値があります。
傾きが分数になったら？
ここで分数が出てくるのはまったく普通のことで、分数になったからといって計算をまちがえたわけではありません。2点 (4, 0) と (−2, 4) で考えます。傾きは (4 − 0) ÷ (−2 − 4) = 4 ÷ (−6) = −2/3 です。次に 0 = −2/3 × 4 + b から b = 8/3 となるので、y = −2/3 x + 8/3 です。(−2, 4) で確かめると、4/3 + 8/3 = 12/3 = 4 になります。
傾きは四捨五入した小数にせず、分数のまま残しましょう。分数は正確なので、確かめの計算もぴったり合います。分数で時間がかかってしまうなら、分数ゲームを何ラウンドかプレイすると、大きさの等しい分数を見つけたり約分したりするのがずっと速くなります。
上のラウンドでは、分子と分母の両方に10をかけるので、7/10 = 70/100 になります。
y = ax + b の a と b は何を表す？
y = ax + b では、a が傾き、b が切片です。傾きは、x が1増えたときに y がどれだけ増えるか（変化の割合）を表します。切片は x = 0 のときの y の値で、グラフでは y 軸上の点 (0, b) にあたります。
例
y = 3x − 2 では、傾きは 3、切片は −2 です。グラフは y 軸と (0, −2) で交わり、右に1進むごとに3上がります。y = −2x + 4 では傾きが −2 なので、右に1進むごとに2下がり、y 軸とは (0, 4) で交わります。
教科書 OpenStax College Algebra 2e（英語）では、傾きを「rise over run」、つまり縦の変化を横の変化でわったものとして説明し、切片を入力の値が0になる点として説明しています。傾きが正なら直線は右上がり、負なら右下がりになり、符号を除いた数が大きいほど直線は急になります。
a と b を身近な例でイメージする
長さ 20 cm のろうそくが、1時間に 2 cm ずつ短くなるとします。t 時間後の長さは h = −2t + 20 です。20 が最初の値（b）、−2 が1時間ごとの変化（a）です。3時間後には 14 cm になり、10時間後には燃えつきます。b を「最初の値」、a を「1つ進むごとの変化」と考えると、わかりやすいと感じる人が多いです。
y = ax + b のグラフはどうかく？
y = ax + b のグラフをかくには、まず y 軸上の切片 (0, b) をとります。そこから、傾きを「縦の変化 ÷ 横の変化」として使います。横の変化の分だけ右へ、縦の変化の分だけ上へ（傾きが負なら下へ）進んで、2つめの点を見つけます。2つの点を通る直線を引き、両側にのばします。
例
y = 2x + 1 のグラフをかきましょう。
- 切片 (0, 1) をとります。
- 傾き 2 は 2/1 なので、右へ1、上へ2進みます。点 (1, 3) に着きます。
- (0, 1) と (1, 3) を通る直線を引きます。
傾きが −2/3 のような場合は、右へ3、下へ2進みます。分母を横の変化に使うと、いつも方眼の交点に着くので、直線を正確にかきやすくなります。
2x + 3y = 6 のような式を y = ax + b に変形するには？
Ax + By = C のような二元一次方程式を y = ax + b の形にするには、y について解きます。x の項を反対側に移項し、すべての項を y の係数でわります。すると、x の係数が傾き、残った数が切片になります。
例
2x + 3y = 6 を変形しましょう。
- 2x を移項する：3y = −2x + 6
- すべての項を3でわる：y = −2/3 x + 2
傾きは −2/3、切片は 2 です。よくあるまちがいは、2x + 3y = 6 から傾きを 2 とそのまま読んでしまうことです。y だけが片側にある形にしてはじめて、数が傾きと切片を表します。
1点と傾きから求める式と y = ax + b
傾きと1点がわかっているときは、y − y₁ = a(x − x₁) という形がすぐに書けて便利です。点 (1, 5) と傾き 2 なら、y − 5 = 2(x − 1) です。かっこをはずして整理すると y = 2x − 2 + 5 となり、y = 2x + 3 にもどります。どちらの形も同じ直線を表しています。
y = ax + b の形で書けない直線は？
y 軸に平行な直線（縦の直線）は、y = ax + b の形では書けません。縦の直線上の点はすべて同じ x の値をもつので、横の変化が0になり、傾きを求めようとすると0でわることになってしまいます。そのため、縦の直線の傾きは定義されません。x = 3 を通る縦の直線は、そのまま x = 3 と書きます。
例
点 (3, 1) と (3, 6) は縦の直線上にあります。傾きは (6 − 1) ÷ (3 − 3) = 5 ÷ 0 となり、答えがありません。したがって、直線は x = 3 です。また、縦の直線は y 軸そのものでないかぎり y 軸と交わらないので、b に入れる切片もありません。
横の直線は問題ありません。点 (−1, 4) と (5, 4) から傾きは 0 ÷ 6 = 0 となるので、直線は y = 0x + 4、つまり y = 4 です。
一次関数の式でよくあるまちがいは？
一次関数の式でのまちがいの多くは、理解不足ではなく小さなうっかりミスです。点の座標を入れかえたり、傾きの公式の分子と分母でひき算の順番を変えたり、y だけの形にする前に a と b を読んだりしてしまいます。完成した式を最初の点の1つで確かめれば、ほとんどのミスを見つけられます。
うっかりミスとその直し方
何度も出てくるうっかりミスと、それぞれの手早い直し方です。
- 点の x と y を取りちがえる。(5, 7) は x = 5、y = 7 という意味です。「横が先、縦があと」と考えながら読みましょう。
- ひき算の順番を変えてしまう。分子で 9 − 5 を計算したら、分母は 3 − 1 にして、どちらも同じ点を先にします。
- a と b を取りちがえる。y = 4 + 3x でも傾きは 3 です。a は、どこにあっても x にかけられている数だからです。
- マイナスの符号を落とす。y = −x + 2 の傾きは −1 で、1 ではありません。
- 分数はまちがいだと思いこむ。3/4 や −2/3 のような傾きも、2 と同じように正しい答えです。
一次関数を自然に読めるまで練習しよう
直線をすばやく読めるようになるには、たくさんの直線を見るのがいちばんです。一次関数ゲームでは、攻撃のたびに直線についての問題が出るので、宿題をしている感覚なしに、傾きや切片を見つける練習をたっぷりできます。
b を求めるのも、1ステップの小さな方程式にすぎません。そこで手が止まるなら、方程式ゲームがちょうどよいウォーミングアップになります。
使う文字は国によってちがいます。日本では y = ax + b と書きますが、アメリカなど英語圏の国では y = mx + b、ロシアでは y = kx + b、イタリアでは y = mx + q と書きます。文字が何であっても、x にかけられている数はいつも傾きで、単独の数は直線が y 軸と交わる位置を表します。
縦の直線以外は2つの数で表せる
縦でない直線はすべて y = ax + b と書けるので、2つの数があれば完全に表せます。傾きは直線がどれだけ急で、どちら向きかを、切片はどこから始まるかを教えてくれます。この2つの数を求めて、1つの点で式を確かめれば、あとは自然についてきます。