円柱の体積はどうやって求めますか？
円柱の体積を求めるには、底面の円の半径を2乗し、約3.14であるπをかけ、さらに高さをかけます。これが公式V = πr²hです。答えはcm³やm³のような立方の単位で書きます。体積は長さや面の広さではなく、立体の内側の空間の大きさを表すからです。
例題
半径3 cm、高さ10 cmの円柱の体積を求めましょう。
- 半径を2乗します。3 × 3 = 9
- πをかけて底面積を求めます。9 × π ≈ 28.27 cm²
- 高さをかけます。9π × 10 = 90π
- 立方の単位をつけます。体積は約282.74 cm³です
答えを90π cm³のまま書くこともできます。この正確な形なら四捨五入をしなくてすみ、中学校以降でよく使われます。
いちばん多いまちがいは、半径を2乗せずに2倍してしまうことです。半径3 cmなら、3 × 2 = 6ですが、3² = 9です。高さまで2乗してしまうまちがいもあります。2乗するのは半径だけです。円なのは底面だけだからです。
円柱の体積はなぜπr²hなのですか？
円柱は、硬貨を積み重ねたように、同じ大きさの円を積み重ねたものです。どの円も面積はπr²で、積み重ねた高さはhです。だから体積は底面積×高さになります。角柱も同じきまりで、V = 底面積 × 高さです。
例題
面積が20 cm²の薄くて丸いクラッカーを積み重ねたところを想像してください。高さが5 cmになれば、20 × 5 = 100 cm³の空間をしめます。底面積20 cm²、高さ5 cmの円柱も同じ体積です。
この見方をすると、円柱の形が変わったときに何が起こるかもわかります。高さを2倍にすると、層の数が2倍になるので、体積は2倍になります。半径を2倍にすると、半径は2乗されるので、それぞれの層が4倍の大きさになります。だから体積は4倍になります。
円柱は、ほかの2つの丸い立体ともきれいな関係にあります。底面と高さが同じ円錐の体積は、円柱のちょうど3分の1です。円柱の中にぴったり入る球の体積は、円柱の3分の2です。ブリタニカによると、アルキメデスはこの発見をとても誇りに思い、自分の墓に刻んでほしいと頼んだそうです。
直径から円柱の体積を求めるには？
直径から体積を求めるには、直径を2でわって半径にしてから、V = πr²hを使います。直径は底面の円の中心を通ってまっすぐ横切る長さなので、半径の2倍です。1つの式にまとめるとV = πd²h ÷ 4となり、まったく同じ答えになります。
例題
直径8 cm、高さ12 cmの缶があります。直径を2でわると、半径は4 cmです。すると4² × π × 12 = 192π ≈ 603.19 cm³です。
1つにまとめた式を使うと、8² = 64、そして64 × π × 12 ÷ 4 = 192π ≈ 603.19 cm³です。どちらの方法でも同じ答えになります。
直径をそのままπr²hに入れてしまうのは、とてもよくあるまちがいです。上の缶だと64 × π × 12 ≈ 2,412.74 cm³となり、4倍も大きくなってしまいます。答えが思ったより大きいときは、先に直径を2でわったか確かめましょう。
円柱の体積をリットルに直すには？
円柱の体積をリットルに直すには、体積を立方センチメートルで求めてから1,000でわります。1リットルは1,000 cm³だからです。体積が立方メートルのときは、反対に1,000をかけます。1 m³には1,000リットル入るからです。始める前に、すべての長さが同じ単位になっているか確かめましょう。
例題
内側で測って、直径7 cm、高さ10 cmのコップがあります。
- 半径を求めます。7 ÷ 2 = 3.5 cm
- 体積を求めます。3.5² × π × 10 ≈ 384.85 cm³
- リットルに直します。384.85 ÷ 1,000 ≈ 0.38リットル、つまり約385 mL
もっと大きな例として、半径0.5 m、高さ1.2 mの水そうを考えます。体積は0.5² × π × 1.2 ≈ 0.94 m³です。1,000をかけると、この水そうには約942リットル入ります。
よくある問題は、半径がセンチメートルで高さがメートルのように、単位がまざっていることです。まず、すべてを1つの単位にそろえましょう。cm³、m³、ミリリットル、リットルの間の換算は、単位換算を何回か練習するとずっと速くなります。
体積から円柱の高さや半径を求めるには？
高さを求めるには、体積を底面積でわります。つまりh = V ÷ (πr²)です。半径を求めるには、体積をπ×高さでわってから、その平方根をとります。つまりr = √(V ÷ (πh))です。どちらの式も、V = πr²hを1ステップずつ逆にたどっただけです。
例題
円柱の形をした水差しに1リットル、つまり1,000 cm³入るようにしたいとします。半径は5 cmです。高さは1,000 ÷ (π × 5²) = 1,000 ÷ 78.54 ≈ 12.73 cmにする必要があります。
今度は逆です。高さ10 cmの円柱に500 cm³入ります。半径は√(500 ÷ (π × 10)) = √15.92 ≈ 3.99 cmです。
どちらの答えも、数をV = πr²hに戻して入れれば確かめられます。水差しならπ × 5² × 12.73 ≈ 1,000 cm³なので、高さは正しいとわかります。
公式は、いろいろな数で何度も使うといちばんよく身につきます。図形ゲームでは、対戦中の攻撃がすべて図形の問題なので、πr²hをすばやく思い出せることがラウンドに勝つ力になります。ゲームではπを3として計算するので、どの答えも暗算で出せる整数になります。長い練習を1回するより、短いラウンドをこまめにくり返すほうが効果的です。
中空円柱の体積はどうやって求めますか？
パイプのような中空円柱は、大きな円柱の真ん中から小さな円柱を取りのぞいた形です。外側の円柱の体積を求め、穴の部分の体積をひくと、残りが材料の部分の体積です。式で表すとV = π(R² − r²)hで、Rは外側の半径、rは内側の半径です。
例題
長さ100 cm、外側の半径5 cm、内側の半径4 cmのパイプがあります。
- 両方の半径を2乗します。5² = 25、4² = 16
- ひき算をします。25 − 16 = 9
- πと長さをかけます。9 × π × 100 = 900π ≈ 2,827.43 cm³
よくあるまちがいは、2乗する前に半径どうしをひいてしまうことです。すると(5 − 4)² × π × 100 = 100π ≈ 314.16 cm³となり、ずっと小さすぎます。それぞれの半径を先に2乗してから、ひきましょう。
まず底面積を求めて高さをかける
円柱の体積の問題は、どれも同じ2つのステップにまとまります。底面の円の面積を求めて、高さをかけます。次の一覧で、正しい出発点を選びましょう。
- 半径rと高さhがわかっているとき：V = πr²h
- 直径dがわかっているとき：r = d ÷ 2、またはV = πd²h ÷ 4
- 高さを求めるとき：h = V ÷ (πr²)
- 半径を求めるとき：r = √(V ÷ (πh))
- 中空円柱：V = π(R² − r²)h
- リットル：cm³ ÷ 1,000、またはm³ × 1,000
答えは立方の単位で書き、体積が正しく求められてから、最後にリットルに直しましょう。