数直線で見る整数
数直線の上で、整数は0から右や左へ1つずつ数えたときに止まる、等しい間隔の点です。1/2や3.5、√2のような数はその間のすき間にあるので、整数ではありません。この記事では、整数の見分け方、0が整数に入る理由、そして符号のルールが本当はどう成り立っているのかを説明します。
ある数が整数かどうかはどう見分ける？
分数や小数を使わずに書ける数は整数です。整数は正の数、負の数、0のどれでもかまいません。教科書のOpenStax Prealgebra 2e（英語）は、整数を「数えるときに使う数、その反対の数、そして0」と簡単にまとめています。つまり7、−7、0は整数ですが、7.5は整数ではありません。
例
次の数をすばやくチェックしてみましょう。
- −12は整数です。数えるときに使う12の反対の数だからです。
- 0は整数です。
- 3.5は整数ではありません。小数の部分があるからです。
- 1/2は整数ではありません。
- 8/2は整数です。8/2 = 4だからです。
- √9は整数です。√9 = 3だからです。
- √2は整数ではありません。約1.41だからです。
最後のいくつかの例から、役に立つ習慣がわかります。まず値を計算し、それから判断しましょう。分数やルートに見えても、計算すると整数になることがあります。
0は整数？
はい、0は整数です。数直線のまん中、負の整数と正の整数の間にあります。0は正の数でも負の数でもなく、OpenStaxもはっきりそう書いています。ただし0は偶数です。0 = 2 × 0なので、2でわると余りが出ないからです。
負の数は整数？
負の数が整数になるのは、分数や小数の部分がないときだけです。−5や−100は整数です。−2.5や−3/4は負の数ですが、整数ではありません。符号が何であっても、同じ確かめ方が使えます。
整数と自然数のちがいは？
日本の学校では、自然数は1, 2, 3, …のように、ものを数えるときに使う正の整数のことです。0は自然数に入りません。整数は、自然数に0と負の整数−1, −2, −3, …を加えたものです。そのため、−4は整数ですが自然数ではありません。なお、小学校では0, 1, 2, 3, …を「整数」と呼び、中学1年で正負の数を学ぶと、整数が負の方向にも広がります。
例
おもな数の集まりは、次のように入れ子になっています。
- 自然数（正の整数）：1, 2, 3, 4, …
- 0以上の整数：0, 1, 2, 3, 4, …
- 整数：…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
- 有理数：1/2、−3/4、7（= 7/1）のように、整数を使った分数で表せるすべての数
数学では、整数全体の集合をℤと書きます。この文字はドイツ語で「数」を意味するZahlenから来ています。自然数はℕと書きます。自然数にも小さな意見のちがいがあり、海外の本の中には自然数を0から始めるものもあります。
整数は生活のどこで見られる？
0を基準にして上にも下にも数えるとき、整数が登場します。氷点下の気温、海面より低い深さ、サッカーの得失点差などは、どれも負になることがある整数です。どの場合も0は「何もない」ではなく、基準になる点です。
例
朝の気温が−4 °Cで、お昼までに7度上がりました。−4から数直線を7つ上に数えると、−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3です。お昼の気温は3 °Cなので、−4 + 7 = 3です。
海面を0 mとすると、海面より2 m下にいるダイバーの位置は−2 m、海面より5 m高い岩の上は5 mです。ダイバーが岩の上まで上がると、7 m移動したことになります。5 − (−2) = 7だからです。
整数のたし算とひき算はどうする？
整数のたし算は、数直線を思い浮かべるとわかりやすくなります。正の数をたすと右へ、負の数をたすと左へ進みます。ひき算はたし算の反対なので、負の数をひくと右へ進みます。だから、負の数をひくと答えが大きくなるのです。
例
−3 + 5を計算してみましょう。−3から右へ5つ進みます。−2, −1, 0, 1を通って、2で止まります。つまり−3 + 5 = 2です。
ほかにも試してみましょう。
- −6 + 2 = −4。−6から右へ2つ進むと−4に着きます。
- −2 − 5 = −7。−2から左へ5つ進むと−7に着きます。
- 4 − (−3) = 7。−3をひくことは、3をたすことと同じです。
負の数をひくと、なぜ答えが大きくなる？
ひき算は「差はいくつ？」と考えることです。数直線上で4と−3の差は7目もりなので、4 − (−3) = 7です。OpenStaxは一般的なルールをa − (−b) = a + bと書いています。多くの子どもが−5 + 4でつまずきます。たし算の記号を見て、答えが大きくなると思いこむからです。−5から右へ4つ進むと、答えは−1だとわかります。
負の数×負の数はなぜ正の数になる？
2つの整数をかけるとき、符号が同じなら答えは正、ちがえば負になります。負の数どうしをかけると正になるのは、あるきまりがあるからです。最初の数が1ずつ小さくなるたびに答えは同じだけ変わり、そのきまりが続くには答えが正にならなければなりません。
例
3 × (−2)の最初の数を1ずつ小さくしていくと、どうなるか見てみましょう。
- 3 × (−2) = −6
- 2 × (−2) = −4
- 1 × (−2) = −2
- 0 × (−2) = 0
- (−1) × (−2) = 2
- (−2) × (−2) = 4
答えは1つ前より2ずつ大きくなっています。0を過ぎてもこのきまりが続くためには、(−1) × (−2)は2でなければなりません。別の考え方もあります。−1をかけることは、数直線の上で向きを反対にすることです。2回反対を向けば、もとの向きにもどります。
整数のわり算も同じ符号のルール？
はい。(−12) ÷ 3 = −4、(−12) ÷ (−3) = 4のように、符号のルールはかけ算と同じです。ただし、1つちがいがあります。2つの整数のたし算、ひき算、かけ算の答えはいつも整数ですが、わり算はそうとは限りません。8 ÷ 2 = 4は整数ですが、7 ÷ 2 = 3.5は整数ではありません。
整数の計算を速くするには？
整数の計算が速くなるのは、短い計算をたくさんこなして、数直線が頭の中に浮かぶようになったときです。負の数のゲームでは、攻撃のたびに負の数を使ったすばやい計算が出てくるので、子どもたちはバトルに勝とうと夢中になりながら符号のルールを練習できます。
上のラウンドでは、−17をひくことは17をたすことと同じなので、−1 − (−17) = −1 + 17 = 16です。
ある数の0からの距離を絶対値といいます。たとえば−5の絶対値は5です。整数といっしょに学ぶことが多い考え方で、絶対値のゲームではテンポのよいラウンドで練習できます。
整数は、0から右にも左にも数えてたどり着ける数
どの整数も、0から数えてたどり着ける1歩です。正の数なら右へ、負の数なら左へ進みます。0はまん中にあり、0も整数の仲間です。この数直線を思い浮かべられるようになれば、たし算、ひき算、かけ算のルールは丸暗記するものではなくなり、意味がわかるものに変わっていきます。