算数の練習 · 新発想
ガウスの消去法ゲーム
ここではガウスの消去法を成分ひとつずつ問います。行基本変形のあとに残る数、階段形から読む未知数、行列全体の階数のどれかです。相手も同じ行列を見ているので、計算がきれいなほど、あなたのファイターが先に攻撃します。
4〜99+歳 · ダウンロード不要 · ブラウザで遊べる · 23言語対応
ガウスの消去法とは？
ガウスの消去法は、連立一次方程式の係数を並べた表、つまり行列を一行ずつ整えて解く方法です。使える操作は、二つの行の入れ替え、行を何倍かすること、ある行から別の行の何倍かを引くことの三つです。一歩ずつ階段の下に0が並び、最後に答えを下から順に読み取ります。
例：[ 1 2 4 8 ; 5 4 6 7 ; 5 4 5 8 ]でR₂ − 5·R₁
- 問われているのはa₂₂、つまりR₂ − 5·R₁のあとの2行2列の新しい成分です。
- その列では、2行目が4、1行目が2です。
- 1行目の成分の5倍を引きます。4 − 5 × 2 = 4 − 10 = −6です。
- 新しい成分は−6なので、マイナス記号ごと入力します。
ステップごとに学ぼう
ガウスの消去法は、行列を1行ずつ整えていきます。いちばんよく使う操作は：ある行から、別の行の何倍かを引くこと。R₂ − 3·R₁ と書き、意味は「新しい第2行 = 第2行 − 3 × 第1行」です。
これを成分ごと、列ごとに行います。第2行・第3列の新しい成分を求めるには、もとの第2行の第3列の成分から、第1行の第3列の成分の3倍を引きます。それらが7と4なら、新しい成分は 7 − 3 × 4 = 7 − 12 = −5。k は、その行の最初の成分が0になるように選ばれています——それがこの操作の目的です——でも、必要なのは問題が指定する1つの成分だけだよ。
たずねられた列の2つの成分を見つけ、上の成分に k をかけ、引いて、新しい成分を入力しよう。
コツとよくあるまちがい
- a₃₂は映画館の座席のように読みます。先に列の段、次に席番号。3行2列であって、逆ではありません。
- よくある間違いは両方の行を変えてしまうことです。R₂ − 5·R₁で書き換わるのは2行目だけで、1行目はそのまま数を貸すだけです。
- x + y = 5とx − y = 1のような小さな連立方程式を紙に書き、誰が先にxを消せるか競争してみましょう。
バトルでの遊び方
各ラウンドでは行列と問いがひとつ表示されます。行基本変形とそれで変わる成分、三角形の連立方程式の未知数、または階数です。相手より先にキーパッドで数を入力すればにんにくの攻撃が決まり、速いほど一撃が重くなります。間違えると少しのあいだ動けなくなります。
— サクッと回答 —
ガウスの消去法:かんたんFAQ
- 後退代入とは？
- 後退代入は、三角形の連立方程式を最後の式から上へ向かって解く方法です。いちばん下の行には未知数がひとつしかないので、まずそれを解きます。その値をすぐ上の行に入れると、そこにも未知数がひとつだけ残り、これを一番上まで続けます。最後の行が2x₄ = 10ならx₄ = 5で、ひとつ上の行はその5を使います。
- 行列の階数（ランク）はどう求める？
- 行列の階数は、行基本変形で階段形にしたあと、すべてが0ではない行の数を数えて求めます。0だけになった行は他の行の組み合わせだったので、新しい情報を持っていません。3行目が1行目と2行目の和になっている3×3行列の階数は2です。
- 行基本変形で符号を間違えるのはなぜ？
- 行基本変形での符号ミスは、ほとんどの場合、負の成分を引くときに起こります。1行目が−3で操作がR₂ − 2·R₁なら、2 × (−3) = −6を引くので、6を足すことになります。引く前に、積を符号ごとかっこに入れて書けばミスはなくなります。
- ガウスの消去法は何歳で習う？
- 多くの学校制度では、ガウスの消去法は大学最初の線形代数の授業で登場しますが、3×3の連立方程式で紹介する高校もあります。ここでは、各レベルは18歳向けです。負の数と簡単な方程式に慣れていれば、誰でも最初のレベルから始められます。
- この行基本変形ゲームは無料で、クラスみんなで遊べる？
- はい、ノートパソコン、タブレット、スマートフォンのどのブラウザでも無料で、何もインストールする必要はありません。行基本変形の練習には、各チームに3×3の連立方程式を配り、消去しながら新しい成分を声に出して言ってもらいます。最初にきれいな階段形にたどり着いたチームが、手順をクラスに説明します。生徒ごとの料金の学校向けプランには、誰が速くなっているかを示す教師用ダッシュボードが付きます。