그게 말이 안 된다고 느껴진다면 혼자가 아닙니다. 박사 학위를 가진 사람들을 포함해 수천 명이 처음에는 이 답을 믿으려 하지 않았습니다. 아래에서 먼저 퍼즐을 소개하고, 문을 바꾸는 것이 왜 유리한지 몇 가지 다른 방법으로 살펴봅니다. 그중 하나는 아마 바로 이해될 겁니다.
몬티 홀 문제는 어떤 문제인가요?
당신은 TV 게임 쇼에 나가 닫힌 문 세 개 앞에 서 있습니다. 한 문 뒤에는 자동차가, 나머지 두 문 뒤에는 염소가 있습니다. 당신이 문 하나를 고릅니다. 자동차가 어디 있는지 아는 진행자가 나머지 두 문 중 하나를 열어 염소를 보여 줍니다. 그러고는 지금 문을 그대로 둘지, 마지막으로 남은 닫힌 문으로 바꿀지 묻습니다.
대부분은 어깨를 으쓱하며 상관없다고 말합니다. 문이 두 개 남았으니 반반이라는 거죠. 그렇지 않습니다. 문을 바꾸면 3번 중 2번 자동차를 얻습니다.
이 퍼즐은 TV 게임 쇼 Let's Make a Deal의 진행자였던 몬티 홀의 이름을 땄습니다. 유명한 답은 세 가지 규칙을 전제로 합니다.
- 진행자는 항상 당신이 고르지 않은 문을 엽니다.
- 진행자는 항상 염소를 보여 주고, 자동차는 절대 보여 주지 않습니다.
- 진행자는 항상 문을 바꿀 기회를 줍니다.
왜 문을 바꾸면 3번 중 2번 이길까요?
처음 고른 문은 3번 중 2번 틀립니다. 틀릴 때마다 진행자에게는 선택권이 없습니다. 남은 염소 문을 열 수밖에 없으니, 자동차는 당신이 바꿀 수 있는 문 뒤에 남습니다. 그래서 문을 바꾸면 처음 추측이 틀렸을 때마다 이기고, 처음부터 우연히 자동차를 골랐을 때만 집니다.
예시
항상 1번 문을 고른다고 해 봅시다. 자동차가 있을 수 있는 곳은 세 군데뿐이고, 가능성은 모두 같습니다.
- 자동차가 1번 문 뒤에 있습니다. 진행자는 2번이나 3번 문을 엽니다. 그대로 두면 이기고, 바꾸면 집니다.
- 자동차가 2번 문 뒤에 있습니다. 진행자는 3번 문을 열 수밖에 없습니다. 그대로 두면 지고, 바꾸면 이깁니다.
- 자동차가 3번 문 뒤에 있습니다. 진행자는 2번 문을 열 수밖에 없습니다. 그대로 두면 지고, 바꾸면 이깁니다.
세어 보세요. 그대로 두면 한 번, 바꾸면 두 번 이깁니다. 어느 문에서 시작하든 마찬가지입니다.
다른 방식으로 그려 볼 수도 있습니다. 당신의 문은 처음에 3분의 1 확률이고, 나머지 두 문이 남은 3분의 2를 나눠 가집니다. 진행자가 그중 하나를 열어도 자동차는 움직이지 않습니다. 두 문 중 어느 쪽이 이제 3분의 2를 통째로 갖고 있는지 알려 줄 뿐입니다.
문이 두 개 남았는데 왜 반반이 아닐까요?
진행자가 아무 문이나 여는 게 아니기 때문입니다. 진행자는 자동차 위치를 알고 항상 그 문을 피하므로, 그가 닫아 둔 문은 그 정보를 바탕으로 고른 문입니다. 당신의 문은 아무것도 모른 채 고른 것이라 3분의 1 확률 그대로입니다. 나머지 닫힌 문이 남은 3분의 2를 갖습니다.
이 퍼즐을 다룬 사이언티픽 아메리칸 기사는 이런 실수를 심리학자들이 등확률 편향이라고 부르는 현상 탓으로 봅니다. 우리는 눈앞에 있는 결과들이 모두 똑같이 일어날 법하다고 여기는 경향이 있습니다. 문 두 개는 동전 던지기처럼 보이니, 거기서 생각을 멈추는 거죠.
또 다른 함정은 진행자의 행동이 아무 정보도 주지 않는 것처럼 보인다는 점입니다. 사실은 많은 것을 알려 줍니다. 당신의 문 뒤에 염소가 있을 때마다 진행자는 자동차 문을 닫아 둘 수밖에 없습니다. 이 어쩔 수 없는 선택이 바로 숨은 정보입니다.
문이 100개라면 더 쉬워질까요?
많은 사람에게는 그렇습니다. 문 100개와 자동차 한 대를 상상해 보세요. 당신이 하나를 고르면, 자동차 위치를 아는 진행자가 나머지 중 98개를 열어 염소 98마리를 보여 줍니다. 문 하나만 닫힌 채 남습니다. 당신의 문은 100분의 1 확률이었습니다. 진행자가 일부러 건너뛴 문은 이제 나머지 100분의 99를 갖습니다.
예시
당신이 37번 문을 고릅니다. 진행자는 1번부터 100번까지, 37번과 82번을 빼고 모든 문을 엽니다. 아무렇게나 고른 첫 문이 정말 운 좋게 맞았다고 생각하나요? 진행자가 82번 문을 건너뛴 건 그 뒤에 자동차가 있기 때문일 가능성이 훨씬 큽니다.
이 퍼즐을 유명하게 만든 메릴린 보스 사반트는 문이 100만 개인 더 큰 버전을 썼습니다. 문이 세 개일 때도 원리는 같고, 다만 와닿기가 더 어려울 뿐입니다. 문 100개로도 감이 안 온다면 틀리는 쪽에서 생각해 보세요. 처음 고른 문은 3번 중 2번 틀리고, 문을 바꾸면 틀린 선택이 모두 승리로 바뀝니다.
진행자가 자동차 위치를 모른다면 어떻게 될까요?
그러면 문을 바꿔도 도움이 되지 않습니다. 진행자가 아무 문이나 열었는데 우연히 염소가 나온 거라면, 그대로 두든 바꾸든 이길 확률은 절반입니다. 3분의 2라는 답은 진행자가 자동차 위치를 알고, 항상 염소 문을 열고, 항상 바꿀 기회를 줄 때만 성립합니다.
예시
당신이 1번 문을 고르고, 아무것도 모르는 진행자가 2번이나 3번 문을 무작위로 엽니다. 가끔은 실수로 자동차를 보여 주게 되고, 그런 게임은 망친 셈입니다. 염소가 나온 게임만 보면 자동차가 당신 문 뒤에 있는 경우는 정확히 절반입니다.
진짜 몬티 홀도 같은 함정을 지적했습니다. 1991년 뉴욕타임스 기사에서 그는 진행자가 바꿀 기회를 줄지 말지 마음대로 정할 수 있다면 참가자는 조심해야 한다고 경고했습니다. 실제 쇼에서는 그 제안 자체가 함정일 수도 있습니다.
몬티 홀 문제를 직접 확인하려면 어떻게 하나요?
카드 세 장과 친구 한 명만 있으면 됩니다. 에이스 한 장이 자동차, 다른 카드 두 장이 염소입니다. 친구가 카드를 뒤집어 섞고, 당신이 한 장을 가리키면, 친구가 당신이 고르지 않은 염소 카드 한 장을 뒤집어 보여 줍니다. 30판을 하면서 매번 바꿔 보세요. 20판 정도 이길 겁니다.
그다음 30판은 매번 그대로 두세요. 이번에는 10판 정도 이길 겁니다. 판 수가 적어서 숫자가 조금 들쭉날쭉하겠지만, 차이는 금방 드러납니다.
유명한 수학자들도 직접 봐야 했습니다. 사이언티픽 아메리칸에 따르면, 엄청나게 많은 논문을 남긴 수학자 폴 에르되시도 이 퍼즐에 걸려 넘어졌다고 합니다. 그러니 아직도 이상하게 느껴진다면 카드로 해 보세요.
이 퍼즐이 진짜로 길러 주는 건 가능한 모든 경우를 공정하게 세는 힘입니다. 확률 게임은 매 라운드 같은 종류의 질문을 던집니다. 예를 들어 아래 대결에서는 동전 4개에서 앞면이 정확히 1개 나오는 경우의 수를 세야 합니다. 답은 4입니다. 앞면은 네 동전 중 어느 하나에 나올 수 있기 때문입니다.
왜 그렇게 많은 사람이 몬티 홀 문제를 틀릴까요?
닫힌 문 두 개는 그냥 반반의 선택처럼 보이고, 진행자가 숨기고 있는 정보는 놓치기 쉽습니다. 후회도 한몫할 겁니다. 자동차 문에서 바꿔서 지는 게 그대로 있다가 지는 것보다 더 속상하게 느껴지니, 수학을 이해하고도 처음 문을 고수하는 사람이 많습니다.
이 퍼즐은 1975년 통계학자 스티브 셀빈의 편지에서 처음 등장했습니다. 유명해진 건 1990년, 메릴린 보스 사반트가 Parade 잡지의 Ask Marilyn 칼럼에서 이 문제에 답하며 독자들에게 문을 바꾸라고 했을 때입니다. 사이언티픽 아메리칸에 따르면 그녀가 틀렸다는 편지가 약 1만 통이나 왔다고 합니다. 뉴욕타임스는 그중 1,000통 가까이가 박사 학위를 가진 사람들이 보낸 것이었다고 덧붙였습니다.
물론 그녀가 옳았습니다. 그 편지들은 이제 이 이야기의 일부가 되었고, 확률에 대한 자신만만한 직감이 완전히 틀릴 수 있다는 걸 가장 잘 일깨워 줍니다.
진행자가 알고 항상 염소 문을 연다면 바꾸세요
일반적인 규칙에서는 문을 바꾸면 이길 확률이 3분의 1에서 3분의 2로 두 배가 됩니다. 규칙이 바뀌면 답도 바뀔 수 있습니다. 예를 들어 진행자가 아무 문이나 열거나, 자기에게 유리할 때만 바꿀 기회를 주는 경우입니다. 이것이 게임 쇼를 넘어서는 교훈입니다. 어떤 확률을 믿기 전에, 눈앞의 정보가 어떻게 골라졌는지 물어보세요.
다음엔 이걸 훈련하세요