사칙연산 순서는 어떻게 적용할까요?
사칙연산 순서(영어로는 PEMDAS)를 따르면 계산을 네 번에 나눠서 합니다. 먼저 괄호 안을 계산하고, 다음에 거듭제곱, 그다음 곱셈과 나눗셈을 왼쪽부터 차례로, 마지막으로 덧셈과 뺄셈을 왼쪽부터 차례로 계산합니다. 한 단계가 끝날 때마다 식 전체를 다시 쓰면 나중에 실수를 쉽게 찾을 수 있습니다.
예시
3 + 4 × (6 − 2)² ÷ 8을 계산해 봅시다.
- 괄호: 6 − 2 = 4이므로 식은 3 + 4 × 4² ÷ 8이 됩니다
- 거듭제곱: 4² = 16이므로 식은 3 + 4 × 16 ÷ 8이 됩니다
- 곱셈과 나눗셈을 왼쪽부터: 4 × 16 = 64, 그다음 64 ÷ 8 = 8이므로 식은 3 + 8이 됩니다
- 덧셈과 뺄셈: 3 + 8 = 11
식을 다시 옮겨 쓰는 일은 느리게 느껴집니다. 그래도 실수를 막는 가장 좋은 방법입니다. 흔한 실수는 처음에 3과 4를 더해 버리는 것입니다. 그러면 7이 되고, 최종 답이 틀리게 됩니다.
PEMDAS에서는 곱셈이 나눗셈보다 먼저일까요?
아닙니다. 곱셈과 나눗셈은 같은 단계이고, 덧셈과 뺄셈도 같은 단계입니다. 같은 단계끼리는 그냥 왼쪽부터 차례로 계산하면 됩니다. PEMDAS에서 M이 D 앞에 있는 것은 단어를 만들려면 글자를 어떤 순서로든 늘어놓아야 했기 때문일 뿐입니다. 글자 순서를 엄격한 순위로 받아들이는 것은 사칙연산 순서에서 가장 흔한 실수 중 하나입니다.
예시
24 ÷ 4 × 2를 계산해 봅시다.
- 왼쪽에서 먼저 나오는 나눗셈부터: 24 ÷ 4 = 6
- 그다음 곱셈: 6 × 2 = 12
곱셈을 먼저 하면 24 ÷ 8 = 3이 되는데, 이는 틀린 답입니다. 덧셈과 뺄셈도 마찬가지입니다. 10 − 4 + 3에서 왼쪽부터 계산하면 6 + 3 = 9입니다. 덧셈을 먼저 하면 10 − 7 = 3이 되어 역시 틀립니다.
무료 교과서 OpenStax Prealgebra 2e는 이를 분명하게 설명합니다. 곱셈과 나눗셈은 우선순위가 같으므로 왼쪽부터 차례로 계산한다는 것입니다. 학교에서 배운 이 부분을 기억하지 못하는 어른이 많고, 인터넷에서 수학 문제를 두고 벌어지는 논쟁 중 상당수도 여기서 시작됩니다.
PEMDAS, BODMAS, BIDMAS는 무엇이 다를까요?
규칙은 같고, 다른 것은 단어뿐입니다. PEMDAS는 괄호(parentheses)의 P로 시작하고, BODMAS와 BIDMAS는 괄호(brackets)의 B로 시작합니다. E(exponents), O(orders), I(indices)는 모두 거듭제곱과 거듭제곱근을 뜻합니다. 어느 방식이든 곱셈과 나눗셈을 한 단계에, 덧셈과 뺄셈을 그다음 단계에 둡니다.
예시
2 + 3 × 4²를 각 방식으로 생각하며 계산해 봅시다.
- 거듭제곱 먼저: 4² = 16
- 그다음 곱셈: 3 × 16 = 48
- 마지막으로 덧셈: 2 + 48 = 50
BODMAS는 공교롭게도 D를 M 앞에 쓰고, PEMDAS는 M을 D 앞에 씁니다. 여기서는 둘 다 50이 나오고, 어떤 계산에서도 두 방식의 답은 같습니다. 글자 순서 때문에 자꾸 헷갈린다면 여섯 글자 대신 네 단계로 규칙을 적어 보세요. 괄호, 거듭제곱, 곱셈 또는 나눗셈, 덧셈 또는 뺄셈입니다.
왜 사칙연산 순서가 필요할까요?
정해진 순서가 없다면 2 + 3 × 4 같은 식은 두 가지 뜻이 될 수 있습니다. 덧셈을 먼저 하면 20, 곱셈을 먼저 하면 14입니다. 약속에 따르면 곱셈이 먼저이므로 답은 14입니다. 이 규칙의 목적은 간단합니다. 같은 식을 읽는 사람이 모두 같은 결과를 얻게 하는 것입니다.
예시
친구가 한 권에 4코인인 공책 3권과 2코인짜리 펜 한 자루를 삽니다. 합계는 2 + 3 × 4 = 2 + 12 = 14코인입니다. 덧셈을 먼저 하면 5 × 4 = 20이 되어, 마치 펜을 네 번 산 것처럼 됩니다.
이 약속은 줄임말보다 훨씬 오래되었습니다. 세인트앤드루스 대학교의 수학사 아카이브인 MacTutor에 따르면, 곱셈을 덧셈과 뺄셈보다 먼저 하는 것은 16세기의 초기 기호 대수학 책에서 이미 규칙이었습니다. 같은 페이지에는 1920년대 후반에 ÷와 × 중 무엇을 먼저 해야 하는지 아직 합의가 없다고 쓴 한 역사학자의 말도 인용되어 있습니다.
8 ÷ 2(2 + 2)의 답은 무엇일까요?
학교에서 배우는 사칙연산 순서를 따르면 8 ÷ 2(2 + 2)는 16입니다. 괄호를 먼저 계산하면 4입니다. 괄호 바로 앞에 붙은 2는 곱셈을 뜻하고, 나눗셈과 곱셈은 왼쪽부터 차례로 계산하므로 8 ÷ 2 × 4 = 4 × 4 = 16입니다.
예시
두 가지 읽는 방법을 나란히 놓아 봅시다.
- 왼쪽부터 차례로: 8 ÷ 2 × 4 = 4 × 4 = 16
- 2(2 + 2)를 한 덩어리로 보면: 8 ÷ (2 × 4) = 8 ÷ 8 = 1
진짜 문제는 식을 쓰는 방식에 있습니다. 버클리 대학교 수학과 웹사이트의 한 글은 이런 식에는 표준 규칙이 없다고 지적합니다. 수를 괄호에 바로 붙여 쓰면 둘이 한 덩어리처럼 보이기 때문입니다. 수학자들은 괄호를 더 넣어서 논쟁 자체를 피합니다. (8 ÷ 2)(2 + 2) 또는 8 ÷ (2(2 + 2))처럼 씁니다.
분수의 가로선도 같은 방식으로 묶어 줍니다. 가로선 위에 6 + 4, 아래에 2가 있으면 덧셈을 먼저 하므로 답은 10 ÷ 2 = 5입니다.
사칙연산 순서에서 가장 흔한 실수는 무엇일까요?
대부분의 실수는 줄임말을 정해진 순서의 여섯 단계로 따로따로 읽는 데서 생깁니다. 그래서 나눗셈보다 곱셈을, 뺄셈보다 덧셈을 먼저 하게 됩니다. 그 밖에도 분수의 가로선이 위아래를 각각 묶는다는 것을 잊거나, 음수를 괄호 없이 제곱하는 실수가 있습니다. 한 단계마다 식을 다시 쓰면 대부분 잡아낼 수 있습니다.
자꾸 반복되는 실수
- 나눗셈보다 곱셈을 먼저 하기. 24 ÷ 4 × 2에서는 왼쪽부터 계산합니다. 6 × 2 = 12.
- 뺄셈보다 덧셈을 먼저 하기. 10 − 4 + 3에서는 왼쪽부터 계산합니다. 6 + 3 = 9.
- 음수를 제곱하기. −3²은 −(3²) = −9이지만 (−3)² = 9입니다. 마이너스 부호까지 제곱할지는 괄호가 정합니다.
- 바깥 괄호부터 시작하기. 2 × [5 + (3 − 1)²]에서는 안쪽부터 계산합니다. 3 − 1 = 2, 그다음 2² = 4, 그다음 5 + 4 = 9, 마지막으로 2 × 9 = 18.
- 분수의 가로선 무시하기. 분자와 분모를 각각 먼저 계산한 다음 나눕니다.
사칙연산 순서는 어떻게 연습할까요?
이 규칙을 익히는 가장 좋은 방법은 짧은 계산을 자주 해 보는 것입니다. 사칙연산 순서 게임에서는 공격할 때마다 (5 + 3) × 7 같은 혼합 계산이 나옵니다. 괄호를 계산하고, 곱한 다음, 56을 입력하면 공격이 들어갑니다.
거듭제곱에서 속도가 느려지는 사람이 많고, 음수가 나오면 더욱 그렇습니다. 그 부분에서 막힌다면 먼저 거듭제곱 게임을 해 보세요. 그러고 나면 거듭제곱이 들어간 긴 계산도 훨씬 수월해집니다.
규칙의 이름은 어디서 배우느냐에 따라 다릅니다. 미국에서는 PEMDAS, 영국에서는 BODMAS나 BIDMAS라고 합니다. 다른 언어에서는 저마다 짧은 표현을 쓰지만, 그 밑에 있는 규칙은 어디서나 같습니다. 한국에서는 "괄호 안을 먼저, 곱셈과 나눗셈은 덧셈과 뺄셈보다 먼저"라는 혼합 계산의 순서로 배웁니다.
하나의 규칙을 함께 쓰면 모두가 같은 답을 얻는다
사칙연산 순서는 자연법칙이 아니라 약속이며, 모두가 같은 약속을 쓰기 때문에 쓸모가 있습니다. 괄호가 먼저, 다음은 거듭제곱, 그다음 곱셈과 나눗셈을 왼쪽부터, 마지막으로 덧셈과 뺄셈을 왼쪽부터 계산합니다. 식이 여전히 두 가지로 읽힐 수 있다면 괄호를 넣으세요. 그러면 논쟁은 끝납니다.