일차함수 y = ax + b가 유용한 이유
식이 이 꼴로 되어 있으면 기울기와 출발점을 바로 읽어 내고 몇 초 만에 그래프를 그릴 수 있습니다. 아래에서는 이 식을 읽는 방법, 두 점이나 다른 꼴의 식에서 y = ax + b를 구하는 방법, 그리고 많은 학생이 자주 하는 실수를 소개합니다.
일차함수의 식 y = ax + b는 어떻게 구할까?
y = ax + b를 구하려면 기울기 a와 y절편 b, 두 가지가 필요합니다. 두 점이 주어지면 a = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁), 즉 (y의 값의 증가량) ÷ (x의 값의 증가량)으로 기울기를 구합니다. 그다음 한 점의 좌표와 기울기를 y = ax + b에 대입해 b를 구합니다. 마지막으로 a와 b 자리에 구한 수를 넣어 식을 씁니다.
예시
두 점 (1, 5)와 (3, 9)를 지나는 직선의 식을 구해 봅시다.
- 기울기: a = (9 − 5) ÷ (3 − 1) = 4 ÷ 2 = 2
- 점 (1, 5)를 대입: 5 = 2 × 1 + b이므로 b = 3
- 식: y = 2x + 3
- 다른 점 (3, 9)로 확인: 2 × 3 + 3 = 9. 맞습니다.
이 마지막 확인은 10초면 끝나고 대부분의 실수를 잡아 주므로 습관으로 만들 만합니다.
기울기가 분수라면?
여기서 분수가 나오는 것은 아주 자연스러운 일이고, 분수가 나왔다고 해서 계산이 틀린 것은 아닙니다. 두 점 (4, 0)과 (−2, 4)를 봅시다. 기울기는 (4 − 0) ÷ (−2 − 4) = 4 ÷ (−6) = −2/3입니다. 이어서 0 = −2/3 × 4 + b에서 b = 8/3이므로 y = −2/3 x + 8/3입니다. (−2, 4)로 확인하면 4/3 + 8/3 = 12/3 = 4입니다.
기울기는 반올림한 소수로 바꾸지 말고 분수 그대로 두세요. 분수는 정확해서 확인 결과도 딱 맞아떨어집니다. 분수 때문에 속도가 느려진다면 분수 게임을 몇 판 해 보세요. 크기가 같은 분수를 찾고 약분하는 일이 훨씬 빨라집니다.
위 라운드에서는 분자와 분모에 모두 10을 곱하므로 7/10 = 70/100입니다.
y = ax + b에서 a와 b는 무엇을 뜻할까?
y = ax + b에서 a는 기울기, b는 y절편입니다. 기울기는 x의 값이 1 증가할 때 y의 값이 얼마나 변하는지를 나타냅니다. y절편은 x = 0일 때의 y의 값으로, y축 위의 점 (0, b)에 해당합니다.
예시
y = 3x − 2에서 기울기는 3이고 y절편은 −2입니다. 그래프는 y축과 (0, −2)에서 만나고, 오른쪽으로 1만큼 갈 때마다 위로 3만큼 올라갑니다. y = −2x + 4에서는 기울기가 −2이므로 오른쪽으로 1만큼 갈 때마다 2만큼 내려가고, y축과는 (0, 4)에서 만납니다.
교과서 OpenStax College Algebra 2e(영어)는 기울기를 "rise over run", 즉 세로 변화량을 가로 변화량으로 나눈 값으로, y절편을 입력값이 0인 점으로 설명합니다. 기울기가 양수이면 직선은 오른쪽 위로 올라가고, 음수이면 오른쪽 아래로 내려가며, 부호를 뺀 수가 클수록 직선은 더 가파릅니다.
생활 속 예로 a와 b 떠올리기
길이가 20 cm인 양초가 1시간마다 2 cm씩 짧아진다고 합시다. t시간 후의 길이는 h = −2t + 20입니다. 20은 처음 값(b)이고, −2는 1시간마다의 변화량(a)입니다. 3시간 후에는 14 cm가 되고, 10시간 후에는 다 타 버립니다. b를 처음 값, a를 한 단계마다의 변화량으로 생각하면 더 쉽다고 느끼는 학생이 많습니다.
y = ax + b의 그래프는 어떻게 그릴까?
y = ax + b의 그래프를 그리려면 먼저 y축 위의 y절편 (0, b)를 찍습니다. 거기서부터 기울기를 세로 변화량 ÷ 가로 변화량으로 이용합니다. 가로 변화량만큼 오른쪽으로, 세로 변화량만큼 위로(기울기가 음수이면 아래로) 이동해 두 번째 점을 찾습니다. 두 점을 지나는 직선을 긋고 양쪽으로 늘입니다.
예시
y = 2x + 1의 그래프를 그려 봅시다.
- y절편 (0, 1)을 찍습니다.
- 기울기 2는 2/1이므로 오른쪽으로 1, 위로 2만큼 이동합니다. 점 (1, 3)에 도착합니다.
- (0, 1)과 (1, 3)을 지나는 직선을 긋습니다.
기울기가 −2/3처럼 분수이면 오른쪽으로 3, 아래로 2만큼 이동합니다. 분모를 가로 변화량으로 쓰면 항상 모눈의 교점에 도착하므로 직선을 정확하게 그리기 쉽습니다.
2x + 3y = 6 같은 식을 y = ax + b 꼴로 바꾸려면?
Ax + By = C 같은 일차방정식을 y = ax + b 꼴로 바꾸려면 y에 대하여 풉니다. x항을 반대쪽으로 이항한 다음, 모든 항을 y의 계수로 나눕니다. 그러면 x의 계수가 기울기, 홀로 남은 수가 y절편이 됩니다.
예시
2x + 3y = 6을 바꿔 봅시다.
- 양변에서 2x를 뺍니다: 3y = −2x + 6
- 모든 항을 3으로 나눕니다: y = −2/3 x + 2
기울기는 −2/3이고 y절편은 2입니다. 자주 하는 실수는 2x + 3y = 6에서 기울기를 바로 2라고 읽는 것입니다. y만 한쪽에 남은 꼴이 되어야 비로소 수가 기울기와 y절편을 뜻합니다.
한 점과 기울기를 이용한 식과 y = ax + b
기울기와 한 점을 알 때는 y − y₁ = a(x − x₁) 꼴을 바로 쓸 수 있어서 편리합니다. 점 (1, 5)와 기울기 2라면 y − 5 = 2(x − 1)입니다. 괄호를 풀고 정리하면 y = 2x − 2 + 5가 되어 다시 y = 2x + 3이 됩니다. 두 꼴 모두 같은 직선을 나타냅니다.
y = ax + b 꼴로 쓸 수 없는 직선은?
y축에 평행한 직선, 즉 세로 직선은 y = ax + b 꼴로 쓸 수 없습니다. 세로 직선 위의 점은 모두 x의 값이 같으므로 가로 변화량이 0이 되고, 기울기를 구하려면 0으로 나누어야 합니다. 그래서 세로 직선의 기울기는 정의되지 않습니다. x = 3을 지나는 세로 직선은 그냥 x = 3이라고 씁니다.
예시
점 (3, 1)과 (3, 6)은 세로 직선 위에 있습니다. 기울기는 (6 − 1) ÷ (3 − 3) = 5 ÷ 0이 되어 답이 없습니다. 따라서 직선은 x = 3입니다. 또 세로 직선은 y축 자신이 아닌 한 y축과 만나지 않으므로 b 자리에 넣을 y절편도 없습니다.
가로 직선은 문제없습니다. 점 (−1, 4)와 (5, 4)에서 기울기는 0 ÷ 6 = 0이므로 직선은 y = 0x + 4, 즉 y = 4입니다.
일차함수의 식에서 가장 흔한 실수는?
일차함수의 식에서 나오는 실수는 대부분 이해 부족이 아니라 작은 착각입니다. 점의 좌표를 바꿔 쓰거나, 기울기 공식의 분자와 분모에서 빼는 순서를 다르게 하거나, y만 남기기 전에 a와 b를 읽어 버리는 경우입니다. 완성한 식을 처음 점 중 하나로 확인하면 거의 모든 실수를 잡을 수 있습니다.
실수별 빠른 해결법
자주 반복되는 실수와 각각의 빠른 해결법입니다.
- 점에서 x와 y를 헷갈린다. (5, 7)은 x = 5, y = 7이라는 뜻입니다. "가로 먼저, 세로 나중"이라고 생각하며 읽으세요.
- 빼는 순서를 바꾼다. 분자에서 9 − 5를 계산했다면 분모에서는 3 − 1을 계산해, 두 번 모두 같은 점을 앞에 둡니다.
- a와 b를 바꿔 읽는다. y = 4 + 3x에서도 기울기는 3입니다. a는 어디에 있든 x에 곱해진 수이기 때문입니다.
- 음의 부호를 빠뜨린다. y = −x + 2의 기울기는 1이 아니라 −1입니다.
- 분수는 틀린 답이라고 생각한다. 3/4나 −2/3 같은 기울기도 2와 똑같이 올바른 답입니다.
일차함수가 저절로 읽힐 때까지 연습하기
직선을 빠르게 읽는 힘은 많은 직선을 보는 데서 나옵니다. 일차함수 게임에서는 공격할 때마다 직선에 관한 문제가 나오므로, 숙제한다는 느낌 없이 기울기와 y절편을 찾는 연습을 충분히 할 수 있습니다.
b를 구하는 것도 한 단계짜리 작은 방정식일 뿐입니다. 그 단계에서 막힌다면 방정식 게임이 좋은 준비 운동이 됩니다.
쓰는 문자는 나라마다 다릅니다. 우리나라에서는 y = ax + b라고 쓰지만, 미국 등 영어권 나라에서는 y = mx + b, 러시아에서는 y = kx + b, 이탈리아에서는 y = mx + q라고 씁니다. 문자가 무엇이든 x에 곱해진 수는 언제나 기울기이고, 홀로 있는 수는 직선이 y축과 만나는 위치를 나타냅니다.
세로 직선이 아니면 두 수로 나타낼 수 있다
세로 직선이 아닌 직선은 모두 y = ax + b로 쓸 수 있으므로, 두 수만 있으면 완전히 나타낼 수 있습니다. 기울기는 직선이 얼마나 가파르고 어느 방향인지를, y절편은 어디에서 시작하는지를 알려 줍니다. 이 두 수를 구하고 한 점으로 식을 확인하면 나머지는 자연스럽게 따라옵니다.