원기둥의 부피는 어떻게 구하나요?
원기둥의 부피를 구하려면 원 모양 밑면의 반지름을 제곱하고, 약 3.14인 π를 곱한 다음, 높이를 곱해요. 이것이 공식 V = πr²h예요. 답은 cm³나 m³ 같은 세제곱 단위로 써요. 부피는 길이나 넓이가 아니라 입체 안쪽 공간의 크기를 나타내기 때문이에요.
예제
반지름이 3 cm이고 높이가 10 cm인 원기둥의 부피를 구해 보세요.
- 반지름을 제곱해요. 3 × 3 = 9
- π를 곱해서 밑넓이를 구해요. 9 × π ≈ 28.27 cm²
- 높이를 곱해요. 9π × 10 = 90π
- 세제곱 단위를 붙여요. 부피는 약 282.74 cm³예요
답을 90π cm³로 남겨 둘 수도 있어요. 이렇게 정확한 형태로 쓰면 반올림을 하지 않아도 되고, 중학교 이후에 자주 쓰여요.
가장 흔한 실수는 반지름을 제곱하지 않고 2를 곱하는 거예요. 반지름이 3 cm라면 3 × 2 = 6이지만 3² = 9예요. 높이까지 제곱하는 실수도 있어요. 밑면만 원이기 때문에 제곱하는 것은 반지름뿐이에요.
원기둥의 부피는 왜 πr²h일까요?
원기둥은 동전을 쌓아 올린 것처럼 똑같은 원을 쌓은 모양이에요. 각 원의 넓이는 πr²이고, 쌓은 높이는 h예요. 그래서 부피는 밑넓이에 높이를 곱한 값이에요. 각기둥도 같은 규칙을 따라요. V = 밑넓이 × 높이예요.
예제
넓이가 20 cm²인 얇고 둥근 크래커를 쌓아 올렸다고 생각해 보세요. 쌓은 높이가 5 cm라면 20 × 5 = 100 cm³의 공간을 차지해요. 밑넓이가 20 cm²이고 높이가 5 cm인 원기둥도 부피가 같아요.
이렇게 생각하면 원기둥의 모양이 바뀔 때 어떤 일이 일어나는지도 알 수 있어요. 높이를 2배로 하면 층의 수가 2배가 되니까 부피도 2배가 돼요. 반지름을 2배로 하면 반지름은 제곱되기 때문에 각 층이 4배로 커져요. 그래서 부피는 4배가 돼요.
원기둥은 다른 두 둥근 입체와도 깔끔한 관계가 있어요. 밑면과 높이가 같은 원뿔의 부피는 원기둥의 딱 3분의 1이에요. 원기둥 안에 꼭 맞게 들어가는 구의 부피는 원기둥의 3분의 2예요. 브리태니커에 따르면 아르키메데스는 이 결과를 무척 자랑스러워해서 자기 무덤에 새겨 달라고 부탁했다고 해요.
지름으로 원기둥의 부피를 구하려면 어떻게 하나요?
지름으로 부피를 구하려면 지름을 반으로 나눠 반지름을 구한 다음 V = πr²h를 써요. 지름은 원 모양 밑면의 중심을 지나 곧게 가로지르는 길이라서 반지름의 2배예요. 한 번에 계산하는 공식은 V = πd²h ÷ 4이고, 답은 정확히 같아요.
예제
지름이 8 cm이고 높이가 12 cm인 캔이 있어요. 지름을 반으로 나누면 반지름은 4 cm예요. 그러면 4² × π × 12 = 192π ≈ 603.19 cm³예요.
한 번에 계산하는 공식을 쓰면 8² = 64이고, 64 × π × 12 ÷ 4 = 192π ≈ 603.19 cm³예요. 두 방법의 답이 같아요.
지름을 그대로 πr²h에 넣는 것은 아주 흔한 실수예요. 위의 캔이라면 64 × π × 12 ≈ 2,412.74 cm³가 되어 4배나 커져요. 답이 생각보다 크다면 먼저 지름을 반으로 나눴는지 확인해 보세요.
원기둥의 부피를 리터로 바꾸려면 어떻게 하나요?
원기둥의 부피를 리터로 바꾸려면 부피를 세제곱센티미터로 구한 다음 1,000으로 나눠요. 1리터는 1,000 cm³이기 때문이에요. 부피가 세제곱미터라면 반대로 1,000을 곱해요. 1 m³에는 1,000리터가 들어가기 때문이에요. 시작하기 전에 모든 길이가 같은 단위인지 확인하세요.
예제
안쪽을 재었을 때 지름이 7 cm이고 높이가 10 cm인 유리컵이 있어요.
- 반지름을 구해요. 7 ÷ 2 = 3.5 cm
- 부피를 구해요. 3.5² × π × 10 ≈ 384.85 cm³
- 리터로 바꿔요. 384.85 ÷ 1,000 ≈ 0.38리터, 즉 약 385 mL
더 큰 예로, 반지름이 0.5 m이고 높이가 1.2 m인 물탱크를 생각해 보세요. 부피는 0.5² × π × 1.2 ≈ 0.94 m³예요. 1,000을 곱하면 이 물탱크에는 약 942리터가 들어가요.
자주 생기는 문제는 반지름은 센티미터, 높이는 미터처럼 단위가 섞여 있는 경우예요. 먼저 모든 것을 한 단위로 맞추세요. cm³, m³, 밀리리터, 리터 사이의 변환은 단위 변환을 몇 판 해 보면 훨씬 빨라져요.
부피로 원기둥의 높이나 반지름을 구하려면 어떻게 하나요?
높이를 구하려면 부피를 밑넓이로 나눠요. 즉 h = V ÷ (πr²)예요. 반지름을 구하려면 부피를 π와 높이의 곱으로 나눈 다음 제곱근을 구해요. 즉 r = √(V ÷ (πh))예요. 두 공식 모두 V = πr²h를 한 단계씩 거꾸로 계산한 것뿐이에요.
예제
원기둥 모양의 물병에 1리터, 즉 1,000 cm³가 들어가야 하고 반지름은 5 cm예요. 높이는 1,000 ÷ (π × 5²) = 1,000 ÷ 78.54 ≈ 12.73 cm여야 해요.
이번에는 반대로 해 볼게요. 높이가 10 cm인 원기둥에 500 cm³가 들어가요. 반지름은 √(500 ÷ (π × 10)) = √15.92 ≈ 3.99 cm예요.
어느 답이든 수를 다시 V = πr²h에 넣어 확인할 수 있어요. 물병의 경우 π × 5² × 12.73 ≈ 1,000 cm³이므로 높이가 맞아요.
공식은 여러 가지 수로 자주 써 볼 때 가장 잘 기억돼요. 도형 게임에서는 대결 중 공격 하나하나가 도형 문제라서, πr²h를 빨리 떠올리는 것이 판을 이기는 데 도움이 돼요. 게임에서는 π를 3으로 계산하므로 모든 답이 암산으로 구할 수 있는 자연수예요. 긴 연습 한 번보다 짧은 판을 자주 하는 것이 더 효과적이에요.
속이 빈 원기둥의 부피는 어떻게 구하나요?
파이프처럼 속이 빈 원기둥은 큰 원기둥의 가운데에서 작은 원기둥을 빼낸 모양이에요. 바깥 원기둥의 부피를 구하고 구멍의 부피를 빼면 남는 것이 재료의 부피예요. 공식으로 나타내면 V = π(R² − r²)h이고, R은 바깥 반지름, r은 안쪽 반지름이에요.
예제
길이가 100 cm이고 바깥 반지름이 5 cm, 안쪽 반지름이 4 cm인 파이프가 있어요.
- 두 반지름을 각각 제곱해요. 5² = 25, 4² = 16
- 빼요. 25 − 16 = 9
- π와 길이를 곱해요. 9 × π × 100 = 900π ≈ 2,827.43 cm³
흔한 실수는 제곱하기 전에 반지름끼리 빼는 거예요. 그러면 (5 − 4)² × π × 100 = 100π ≈ 314.16 cm³가 되어 훨씬 작아져요. 각 반지름을 먼저 제곱한 다음 빼세요.
먼저 밑넓이를 구하고 높이를 곱하세요
원기둥의 부피 문제는 모두 같은 두 단계로 정리돼요. 원 모양 밑면의 넓이를 구한 다음 높이를 곱해요. 아래 목록을 보고 알맞은 출발점을 고르세요.
- 반지름 r과 높이 h를 알 때: V = πr²h
- 지름 d를 알 때: r = d ÷ 2 또는 V = πd²h ÷ 4
- 높이를 구할 때: h = V ÷ (πr²)
- 반지름을 구할 때: r = √(V ÷ (πh))
- 속이 빈 원기둥: V = π(R² − r²)h
- 리터: cm³ ÷ 1,000 또는 m³ × 1,000
답은 세제곱 단위로 쓰고, 부피가 맞게 나온 뒤 마지막에만 리터로 바꾸세요.